Universität Ulm

Universität Ulm
Abgabe:
14.11.11, vor der Übung
Prof. W. Arendt
M. Gerlach
Wintersemester 11/12
16 Punkte
Lösungen zu Maßtheorie
Blatt 3
9. Zeige oder widerlege die folgenden Aussagen.
(4)
(a) Es sei J ∈ B(R) sowie Bj ∈ B(R) für alle j ∈ J. Dann ist ∪j∈J Bj ∈ B(R).
(b) Es sei (Ω, Σ) ein messbarer Raum und (An ) ⊂ P(Ω)\Σ. Dann ist ∪n∈N An 6∈ Σ.
(c) In (R, B(R), λ) ist ∅ die einzige offene Nullmenge.
(d) Es sei (Ω, Σ, µ) ein Maßraum und S ⊂ Σ derart, dass σ(S) = Σ und µ(A) = 0 für
alle A ∈ S. Dann ist µ(A) = 0 für alle A ∈ Σ.
Lösung:
(a) Falsch. Es sei E ⊂ [0, 1] die nicht-messbare Menge aus der Vorlesung und J = [0, 1]. Wir
setzen Bj := {j} falls j ∈ E und Bj = ∅ sonst. Dann ist ∪j∈J Bj = E 6∈ B(R).
(b) Falsch. Wir betrachten wieder die bekannte nicht-messbare Menge E ⊂ [0, 1] und setzen
A1 := E und An+1 := R\E für alle n ∈ N. Dann ist ∪n∈N An = R und somit messbar.
(c) Richtig. Es sei U ⊂ R offen und nicht-leer. Dann gibt es a < b mit [a, b) ⊂ U und somit ist
λ(V ) ≥ b − a > 0 für alle V ∈ B(R) mit U ⊂ V .
(d) Falsch. Betrachte Ω = {1, 2}, Σ = P(Ω) und S = {{1}}, versehen mit dem Maß µ(∅) =
µ({1}) = 0 und µ(Ω) = µ({2}) = 1.
10. Es sei Ω := N und S := P(2N), die Menge aller Teilmengen von N, die nur aus geraden
Zahlen bestehen.
(a) Charakterisiere die Elemente von Σ := σ(S).
(2)
(b) Es sei µ = δ2011 , das Dirac-Maß im Punkt 2011. Entscheide, ob der Maßraum (1)
(Ω, Σ, µ) nicht-messbare Nullmengen enthält.
(c) Es sei µ = δ2012 , das Dirac-Maß im Punkt 2012. Entscheide, ob der Maßraum (1)
(Ω, Σ, µ) nicht-messbare Nullmengen enthält.
Lösung:
(a) Es ist
Σ = {M ⊂ N : M enthält alle ungeraden Zahlen oder keine ungerade Zahl } =: A.
Man sieht leicht, dass die Menge A eine σ-Algebra ist und dass S ⊂ A. Andererseits gilt
für jede Menge M ∈ A, dass entweder M ∈ S oder M c ∈ S, weshalb A ⊂ σ(S).
(b) Es sei N ⊂ N eine µ-Nullmenge, d.h. es gibt eine Menge A ∈ Σ mit N ⊂ A und µ(A) = 0.
Dann ist 2011 6∈ A und nach Teil (a) enthält A somit keine ungerade Zahlen. Also enthält
auch N keine ungeraden Zahlen, d.h. N ∈ S ⊂ Σ. Es gibt folglich keine nicht-messbaren
Nullmengen.
c 2011 Universität Ulm
(c) Betrachte die Menge N := {1, 2} 6∈ Σ. Da N ⊂ N ′ := {2} ∪ {2n − 1 : n ∈ N} ∈ Σ und
µ(N ′ ) = 0, ist N eine nicht-messbare Nullmenge.
11. Wir betrachten die Grundmenge Ω = [0, 1] mit der Borel-σ-Algebra B([0, 1]) und dem
Lebesguemaß λ. Es sei
3n−1
[−1 3k 3k + 1 3k + 2 3k + 3 Cn :=
∪
(n ∈ N)
,
,
3n
3n
3n
3n
k=0
und
C :=
\
Cn .
n∈N
(a) Zeichne die Mengen C1 , C2 und C3 sowie C1 ∩ C2 ∩ C3 .
(2)
(b) Entscheide, ob die Menge C Borel-messbar ist. Berechne ggf. ihr Lebesguemaß λ(C). (3)
Hinweis: Betrachte die Mengen Ak = ∩n≤k Cn .
(c) Zeige, dass C überabzählbar ist.
(3)
Hinweis: Finde für eine potenzielle Abzählung (xn ) der Menge C eine monoton fallende Folge
abgeschlossener Intervalle (An ) ⊂ [0, 1], sodass xn 6∈ An und ∩n∈N An ⊂ C.
Lösung:
(a) Siehe Übung.
(b) Die Mengen Cn sind abgeschlossen als endliche Vereinigung abgeschlossener Intervalle. Somit ist auch die Menge C abgeschlossen als Durchschnitt abgeschlossener Mengen. Also ist
C ∈ B([0, 1]). Definiere
k
\
Cn (k ∈ N).
Ak :=
n=1
Dann ist die Folge (Ak ) monoton fallend mit λ(Ak ) = (2/3)k und somit
k
\
\
2
λ(C) = λ
Ak = lim λ(Ak ) = lim
Cn = λ
= 0.
k→∞
k→∞ 3
n∈N
k∈N
(c) Wir nehmen an, dass die Menge C abzählbar wäre, d.h. dass C = {xn : n ∈ N} für eine
Folge (xn ) ⊂ [0, 1]. Wir betrachten erneut die monoton fallende Folge
Ak :=
k
\
Cn
(k ∈ N).
n=1
Beachte, dass
Ak =
[ m m + 1
,
3k
3k
m∈M (k)
für eine gewisse endliche Menge M (k) ⊂ N. Wähle nun induktiv für alle k ∈ N ein Intervall
mk mk + 1
Ik,mk = k ,
3
3k
mit mk ∈ M (k) derart, dass xk 6∈ Ik,mk und Ik+1,mk ⊂ Ik,mk für alle k ∈ N. Dann ist
\
Ik,mk = {x}
k∈N
für ein x ∈ C aber x 6= xk für alle k ∈ N im Widerspruch zur Wahl der Folge (xn ).