Universität Ulm

Prof. W. Arendt
M. Gerlach
Wintersemester 11/12
Universität Ulm
Abgabe:
14.11.11, vor der Übung
16 Punkte
Übungen zu Maßtheorie
Blatt 3
9. Zeige oder widerlege die folgenden Aussagen.
(4)
(a) Es sei J ∈ B(R) sowie Bj ∈ B(R) für alle j ∈ J. Dann ist ∪j∈J Bj ∈ B(R).
(b) Es sei (Ω, Σ) ein messbarer Raum und (An ) ⊂ P(Ω)\Σ. Dann ist ∪n∈N An 6∈ Σ.
(c) In (R, B(R), λ) ist ∅ die einzige offene Nullmenge.
(d) Es sei (Ω, Σ, µ) ein Maßraum und S ⊂ Σ derart, dass σ(S) = Σ und µ(A) = 0 für
alle A ∈ S. Dann ist µ(A) = 0 für alle A ∈ Σ.
10. Es sei Ω := N und S := P(2N), die Menge aller Teilmengen von N, die nur aus geraden
Zahlen bestehen.
(a) Charakterisiere die Elemente von Σ := σ(S).
(2)
(b) Es sei µ = δ2011 , das Dirac-Maß im Punkt 2011. Entscheide, ob der Maßraum (1)
(Ω, Σ, µ) nicht-messbare Nullmengen enthält.
(c) Es sei µ = δ2012 , das Dirac-Maß im Punkt 2012. Entscheide, ob der Maßraum (1)
(Ω, Σ, µ) nicht-messbare Nullmengen enthält.
11. Wir betrachten die Grundmenge Ω = [0, 1] mit der Borel-σ-Algebra B([0, 1]) und dem
Lebesguemaß λ. Es sei
Cn :=
3n−1
[−1
k=0
3k 3k + 1
3k + 2 3k + 3
,
,
∪
3n
3n
3n
3n
(n ∈ N)
und
C :=
\
Cn .
n∈N
(a) Zeichne die Mengen C1 , C2 und C3 sowie C1 ∩ C2 ∩ C3 .
(2)
(b) Entscheide, ob die Menge C Borel-messbar ist. Berechne ggf. ihr Lebesguemaß λ(C). (3)
Hinweis: Betrachte die Mengen Ak = ∩n≤k Cn .
(c) Zeige, dass C überabzählbar ist.
Hinweis: Finde für eine potenzielle Abzählung (xn ) der Menge C eine monoton fallende Folge
abgeschlossener Intervalle (An ) ⊂ [0, 1], sodass xn 6∈ An und ∩n∈N An ⊂ C.
Die Übungsblätter sowie aktuelle Informationen sind unter folgender Adresse verfügbar:
http://www.uni-ulm.de/mawi/iaa/courses/ws11/mass11.html
(3)