Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Lehrstuhl I für

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Lehrstuhl I für Mathematik (für Ingenieure)
Prof. Dr. Wolfgang Dahmen
Prof. Dr. Michael Wiegner
PD. Dr. H. Jarausch
Aufgaben zur Mathematik III (CES / WI) — Blatt 7
Aufgabe 7–1
TÜV Beantworten Sie die folgenden Fragen — mit Begründung —
jeweils innerhalb weniger Sekunden.
i) Zählen Sie die wichtigsten (mind. 4) Eigenschaften eines Maßes auf!
ii) Welche wichtige Eigenschaft eines Maßes besitzt ein äußeres Maß i.A. nicht?
iii) Welche der folgenden Aussagen sind für Teilmengen von R richtig?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
alle endlichen Mengen sind Nullmengen
alle abzählbaren Mengen sind Nullmengen
eine nicht–abzählbare Menge kann keine Nullmenge sein
Nullmengen sind immer messbar
stetige Funktionen sind immer (Lebesgue–)messbar
stetige Funktionen sind immer (Lebesgue–)integrierbar
charakteristische Funktionen sind immer (Lebesgue–)integrierbar
Aufgabe 7–2 Zeigen Sie mit Hilfe der Definition des äußeren Lebesgue–Maßes, dass
die Menge der positiven, rationalen Zahlen eine Nullmenge ist.
Anleitung:
i) Es sei (xk )k∈N eine Folge in R . Zeigen Sie, dass die Menge {xk | k ∈ N} eine
(Lebesgue–)Nullmenge ist.
ii) Nutzen Sie, dass die Folge
1 2 1 3 2
,
, ,
, ,
1 |1 {z2} |1 {z
2
1 4 3 2
,
, , ,
3} |1 2{z3
!
1
, ...
4}
die positiven, rationalen Zahlen “erzeugt”.
Aufgabe 7–3 Skizzen Sie die folgenden Mengen D , zerlegen Sie sie in geeignete
“Scheibchen” und berechnen Sie die folgenden Integrale!
i)
Z
(x + sin y) dλ
mit
D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3x}
D
Abgabe: 14.12.’05
RWTH–Aachen 2005
—
Mathematik III (CES/WI)
Blatt
7/2
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ii)
Z
(x + y)−3 dλ
D = {(x, y) | x ≥ 1, y ≥ 1, x + y ≤ 3}
mit
D
iii)
Z
x y z dλ
mit
D =
n
o
p
(x, y, z) | x, y ∈ [0, 1],
x2 + y 2 ≤ z ≤ 2
D
Aufgabe 7–4 Es sei f ∈ C 1 (Rn , R) und ϕ ∈ C01 (Rn , R) (d.h.
kompakten Träger). Zeigen Sie für 1 ≤ j ≤ n
Z
∂j f
Rn
Tipp:
Z
ϕ dλ
=
−
f
∂j ϕ
ϕ hat einen
dλ
Rn
Betrachten Sie einen (genügend großen) Quader, der den Träger von ϕ enthält.
Aufgabe 7–5 (!) Es
S ∈ Rn×n
sei
eine spd–Matrix.
n T
E(r) ≡ x ∈ R
x S x ≤ r2 ist ein Ellipsoid. Gesucht wird sein Volumen
(ausgedrückt mit Hilfe des Volumens der n–dimensionalen Einheitskugel).
i) Betrachten Sie zunächst den Fall, dass S zusätzlich eine Diagonalmatrix ist!
ii) Benutzen Sie im allgemeinen Fall die Spektralzerlegung von S !
(!) Vorsicht: diese Aufgabe erfordert eine Aktivierung der grauen Zellen.
Abgabe: 14.12.’05
RWTH–Aachen 2005