13.3 Der Satz von Fubini

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13.3. DER SATZ VON FUBINI
setzen
π π
Πn : (0, ∞) × (−π, π) × (− , )n−2 → Rn
2 2


 Πn−1 (r, ϕ1 , . . . , ϕn−2 ) cos ϕn−1 
: Πn (r, ϕ1 , . . . , ϕn−1 ) = 
r sin ϕn−1
.
Damit ergibt sich die Jacobi-Matrix zu
DΠn (r, ϕ1 , . . . , ϕn−1 )


 DΠn−1 (r, ϕ1 , . . . , ϕn−2 ) cos ϕn−1 −Πn−1 (r, ϕ1 , . . . , ϕn−2 ) sin ϕn−1 
=
.
sin ϕn−1 0 . . .
0
r cos ϕn−1
Durch vollständige Induktion (Aufgabe!) zeigt man
|det DΠn (r, ϕ1 , . . . , ϕn−1 )| = rn−1
n−1
Y
cosj−1 ϕj .
j=1
Πn ist injektiv und surjektiv auf Rn \N , dabei ist N die oben genannten
Nullmenge.
13.3
Der Satz von Fubini
Der Satz von Fubini macht eine sehr wichtige theoretische Aussage für Integrale
auf Maßräumen, welche Produkte von anderen Maßräumen sind. Wir beschränken
uns auf den Fall, dass beide Räume Teilmengen eines euklidischen Raumes sind.
Wir beginnen mit einem wichtigen Satz über parameterabhängige Integrale.
Im Folgenden sei (X, d) ein vollständiger, metrischer Raum, (Ω, A, µ) ein Maßraum und f : X × Ω → R sei eine Abbildung. Für jedes x ∈ X , y ∈ Ω setzen
wir die Funktionen
fx : Ω → R : y 7→ f (x, y) und f y : X → R : x 7→ f (x, y).
Für jedes x ∈ X sei fx integrierbar. Wir definieren eine Funktion
F : X → R : x 7→
Z
fx dµ.
Ω
Unter diesen Voraussetzungen gilt der folgende Satz.
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KAPITEL 13. ANWENDUNGEN DES LEBESGUE-INTEGRALS
Satz 13.3.1 (Stetigkeit der bzgl. einer Variablen integrierten Funktion)
Ist für jedes y ∈ Ω\N , wobei N eine Nullmenge ist, die Funktion f y : X → R
stetig und gibt es eine integrierbare Funktion g : Ω → R mit
|fx (y)| ≤ g(y) für alle x (f ü).
Dann ist F stetig.
Beweis. Wir nutzen das Folgenkriterium aus Satz 4.2.6. Sei x0 ∈ X und {xn }n∈N
eine Folge mit limn→∞ xn = x0 . Setze für n ∈ N0
fn : Ω → R : y 7→ fxn (y).
Dann ist für alle y ∈ Ω \ N
lim fn (y) = n→∞
lim fxn (y) = n→∞
lim f (xn , y) = f (x0 , y),
n→∞
da f y stetig dort ist. Weiterhin ist |fn | ≤ g (f ü). Damit können wir den Satz von
der dominierten Konvergenz (Satz 12.7.5) anwenden und erhalten
lim
n→∞
Z
fn dµ =
Ω
Z
f0 dµ
Ω
oder anders formuliert
lim
Z
n→∞
f (xn , ·) dµ =
Ω
Z
f (x0 , ·) dµ.
Ω
Dies heißt aber F (x0 ) = limn→∞ F (xn ).
Dieser Satz hat eine Vielzahl von Anwendungen, auf die wir in den Übungen
genauer eingehen werden.
Ein entsprechender Satz gilt auch für die Differenzierbarkeit von F , wenn f
entsprechend differenzierbar ist. Wir formulieren den Satz und verschieben den
Beweis auf die Übungen.
Satz 13.3.2 (Partiale Integration und stetige partielle Differenzierbarkeit)
Sei X ⊂ Rn offen. Sei N eine Nullmenge und für jedes y ∈ Ω \ N die
Funktion f y : X → R stetig partiell nach xi differenzierbar und gibt es eine
integrierbare Funktion g : Ω → R mit
∂
fx (y)
∂xi
≤ g(y) für alle x (f ü).
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13.3. DER SATZ VON FUBINI
Dann ist F stetig partiell nach xi differenzierbar und es gilt
Z
∂
F (x) = Dxi f dµ.
∂xi
Ω
Wir kommen nun zum Satz von Fubini, dem entscheidenden Hilfsmittel, um mehrfache Integrale durch eine Folge von eindimensionalen Integrationen zu berechnen.
Satz 13.3.3 (Fubini)
Es seien X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm messbare Mengen. Dann ist X × Y ⊂ Rn × Rm
messbar. Für eine integrierbare Funktion f : X × Y → R gilt:
1. Es gibt eine Nullmenge N ⊂ Y , so dass für y ∈ Y \ N die Funktion
fy : X → R (Bezeichnung wie oben) integrierbar über X ist.
2. Wir setzen für y ∈ Y die Funktion F (y) fest durch die Definition:
F (y) =

R



fy dλn
für y ∈
/N
X



für y ∈ N
0
Dann ist F auf Y integrierbar und es gilt
Z
Y
F dλm =
Z
f dλn×m .
X×Y
Bevor wir zum eigentlichen Beweis kommen, beweisen wir zwei Lemmata, von
denen das erste schon wesentliche Erkenntnisse enthält.
Lemma 13.3.4 (Nullmengen in Produkträumen)
Zu jeder Nullmenge Z ⊂ X × Y gibt es eine Nullmenge N ⊂ Y , so dass für
y∈
/ N gilt
Zy = x ∈ X (x, y) ∈ Z
ist eine Nullmenge in X.
Beweis. Sei {εj }j∈N eine Folge positiver Zahlen εj → 0 mit j → ∞ gegeben, dann
P
gibt es eine Überdeckung von Z mit Quadern Qjk , k ∈ N mit k∈N λ(Qjk ) < εj .
Jeder Quader Qjk hat die Form
Qjk = QX,j
× QY,j
k
k .
Offenkundig ist es nicht klar, dass die Lebesgue-Maße in X bzw. Y dieser Menge
klein sein müssen, denn wir betrachten ja Produkte. Wie kommen wir nun dazu,
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KAPITEL 13. ANWENDUNGEN DES LEBESGUE-INTEGRALS
dass bis auf eine Nullmenge die Menge Zy eine Nullmenge ist (dass hier die
Formulierung mit der Nullmenge N in der angeführten Weise nötig ist, beweist
bereits die Nullmenge Q × R in R2 ). Sei y ∈ Y . Setze f (y) = λ∗X (Zy ). Dann ist
f : Y → Rerw , f ≥ 0. Für jedes j ∈ N gilt
χZy ≤
X
k∈
N
χQX,j χQY,j (y),
k
(13.1)
k
denn χZy (x) ∈ {0, 1} und χZy (x) = 1 impliziert, dass (x, y) ∈ Z, dann ist aber
(x, y) ∈ Qjk für ein k und χQX,j (x)χQY,j (y) = 1, also folgt die Abschätzung (13.1).
k
k
Die Funktion h = inf j∈N k∈N λn (QX,j
ist messbar (als Infimum messbarer
k )χQY,j
k
Funktionen), f ≤ h und für j ∈ N gilt
P
X
h(y) ≤
k∈
N
χQY,j (y)λn (QX,j
k ).
k
Dann ist (monotone Konvergenz)
Z
h dλm ≤
X
k∈
Y
N
Y,j
λn (QX,j
k )λm (Qk ) =
X
N
λ(Qjk ) < εj .
k∈
Daraus folgt die Integrierbarkeit von h. Da dies für jedes εj > 0 gilt, folgt
Z
h dλm = 0.
Y
Also ist h = 0 (f ü). Dann ist f = 0 (f ü). Sei N die Menge der y mit λ(Zy ) 6= 0.
Dann ist für y ∈ Y \ N der Wert λ∗ (Zy ) = 0. Damit ist die Aussage gezeigt.
Lemma 13.3.5 (Produkte, Algebren und Maße)
Seien Bn+m die Borel-Algebra auf Rn+m und Bn bzw. Bm die Borel-Algebren
auf Rn bzw. auf Rm , entsprechend seien λn+m , λn , λm das Borel-Lebesguesche
Maß bzw. das Lebesgue-Maß auf Rn+m , Rn bzw. Rm . Dann gilt
1. Bn+m = σ(Bn × Bm ). Ln × Lm 6= Ln+m .
2. Ist A ⊂ Rn × Rm B-messbar, so sind für alle x ∈ Rn bzw. alle y ∈ Rm
die Mengen
Ax = y ∈ R
m
(x, y) ∈ A , A = x ∈ R
y
n
(x, y) ∈ A
Borel-messbar.
3. Die Funktionen x 7→ λm (Ax ) bzw. y 7→ λn (Ay ) sind messbar und
4. ν(A) =
R
Rn
λm (Ax ) dλn bzw. µ(A) =
R
Rm
λn (Ay ) dλm sind Maße auf