Vorbereitungsaufgaben für die ¨Ubungen

Höhere Mathematik für technische Studiengänge
Vorbereitungsaufgaben für die Übungen
Vektoren und Analytische Geometrie des Raumes






2
−2
−1
1. Berechnen Sie für die Vektoren ~a =  −1  , ~b =  2  , ~c =  −1  .
1
0
1
a) ~a + ~b , ~a − ~b , 3~a − 5~b , |~a| , |~b| , |~b − 2~a| , ~a0 (Einheitsvektor in Richtung ~a) ;
b) alle Winkel zwischen je zwei der Vektoren ~a , ~b , ~c ;
c) die (orthogonale) Projektion von ~a auf (die Richtung von) ~b ;
 
d) die Winkel zwischen ~b und den Koordinatenachsen;
0
e) den Einheitsvektor in Richtung der Winkelhalbierenden von ~b und d~ =  1  ;
1
f) ~a × ~b , ~a × ~c , ~c × ~a , (~a × ~b) · ~c , (~a × ~c) · ~b , (~c × ~a) · ~b , (~a × ~b) × ~c , ~a × (~b × ~c) ;


3
g) den reellen Parameter α so, daß ~a , ~b und ~g =  α  in einer Ebene liegen.
−2
2. ~a und ~b seien Einheitsvektoren des Raumes, die einen Winkel von 600 einschließen.
Zeigen Sie, daß ~x = 2~a − 3~b und ~y = 4~a + ~b aufeinander senkrecht stehen und bestimmen Sie
die Winkel ](−~x, ~y − ~x) und ](−~y , ~x − ~y ) .
3. Ermitteln Sie Einheitsvektoren, die senkrecht auf
~b = e~1 + e~2 − e~3 einen Winkel von 300 einschließen.
~a = 3e~1 − e~2 + e~3
stehen und mit
4. Gesucht ist eine Parameterdarstellung der Geraden durch den Punkt P0 (3; 5; 2) und
a) den Punkt P1 (−1; 3; 0),
d) senkrecht zur y, z-Ebene,
b) parallel zur z-Achse,
e) parallel zur x, y-Ebene.
c) durch den Ursprung,
5. Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g1 , g2 zueinander? Berechnen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt, und Schnittwinkel.




 
 
−1
−1
0
8
a) g1 : ~x =  5  + t  2 
g2 : ~x =  3  + s  1 
0
−1
1
4








−1
−1
2
4
b) g1 : ~x =  5  + t  2 
g2 : ~x =  −1  + s  −8 
0
−1
3
4






 
3
1
4
−4
c) g1 : ~x =  −3  + t  −2 
g2 : ~x =  27  + s  8 
4
1
3
−4
 
 




0
8
−4
0
d) g1 : ~x =  3  + t  1 
g2 : ~x =  0  + s  2 
1
4
3
−1
6. Für welche reellen λ, µ liegen die Punkte P0 (2; 3; 0), P1 (4; 1; 3) und P2 (0; λ; µ) auf einer Geraden?
7. Geben Sie eine Parameterdarstellung und eine parameterfreie Darstellung der Ebene E an.




a) E enthält die Punkte P0 (1; 0; 1), P1 (1; 4; 0), P2 (−2; 1; −1),
−1
3
b) E enthält P0 (2; −2; 1) und ist senkrecht zu der Geraden g : ~x =  4  + t  −5 ,
1
4
c) E enthält A(1; 2; 3), B(2; 3; 1) und ist senkrecht zu der Ebene
E : z = 1 + x − 4y,
d) E enthält P0 (4; −6; −2) und ist parallel zu der Ebene E : 3x − y + 2z = 1 .
 
 


0
1
1
8. Für die Ebene E : ~x =  1  + s  4  + t  −2  berechne man den Normaleneinheitsvektor,
4
2
−2
gebe die Hessesche Normalform an und berechne den Abstand des Punktes Q(−2; −2; 3) .
Wie lautet die Achsenabschnittsform der Ebene E ?
9. Die Ebene E sei bestimmt durch die Punkte A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) und C(1; 0; 1) .
a) Berechnen Sie den Fußpunkt L des vom Punkt P (2; −1; 4) auf E gefällten Lotes und




bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E .
2
3
b) In welchem Punkt und unter welchem Winkel durchstößt g : ~x =  −2  + t  −5 
−1
8
die Eben E ?
10. Für welche Werte der reellen Parameter a, b sind die Ebenen E1 : 6x − 3z + 1 = 0 und
E2 : ax + by + z − 3 = 0 parallel, für welche orthogonal?
Berechnen Sie für a = b = 1 die Gleichung der Schnittgeraden und den Schnittwinkel von E1
und E2 und geben Sie Parameterdarstellungen für beide Ebenen an.
11. Bestimmen Sie die reellen Zahlen a, b so, daß sich die drei Ebenen E1 : x − y − z + 2 = 0 ,
E2 : 3x + y − z − b = 0 , E3 : ax + 8y + 2z − 7 = 0 in einer Geraden schneiden und geben
Sie dafür eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden an.
12. Gegeben sind Punkte P1 (2; −1; 1), P2 (−1; 3; 1), Q(1; 0; 1) und die Ebene E : 4x + 3y − z = 6.
Bestimmen Sie die Länge des Schattens der Strecke P1 P2 , den eine in Q angebrachte punktförmige Lichtquelle auf die Ebene E wirft.
13. Gegeben sind die Geraden


 
 
 
2
1
1
0







1 +s 3
g1 : ~x =
, s ∈ R , und g2 : ~x = 2 + t 1  , t ∈ R .
−1
2
1
1
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E, die den Schnittpunkt der beiden Geraden enthält
und zu g1 orthogonal ist.
Geben Sie Richtungsvektoren an, die die Ebene E aufspannen.
Wie muss man im Punkt P (2, γ, −2) die Koordinate γ wählen, damit der Abstand zwischen P
und E den Wert 1 hat?
b) Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes von A(2, −3, −9) auf die Gerade g1 .
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B(xB , yB , zB ) , der spiegelsymmetrisch zu A auf der
anderen Seite von g1 liegt.