Übungsaufgaben Ulmer Universitätstrainingscamp

Aufgaben zum Mathematik-Trainingscamp 2016
Summen und Produkte
Aufgabe 1. a) Schreibe für beliebiges n ∈ N die Summe der n kleinsten ungeraden
natürlichen Zahlen mit dem Summenzeichen und berechne den Wert dieser Summe.
b) Berechne für n ∈ N und q ∈ R \ { 1 }
(i)
n
X
qk ,
(ii)
k=1
n−1
X
k
(iii)
q ,
n
X
q 2k .
k=0
k=0
Aufgabe 2 (Teleskopsumme). Zeige für n ∈ N und beliebige Zahlen a1 , . . . , an :
n−1
X
(ak − ak+1 ) = a1 − an .
k=1
Aufgabe 3.
a) Schreibe mit dem Summenzeichen:
(i) x5 + x4 + x3 + x2 + x,
(iii) x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16.
(ii) x4 − x3 + x2 − x + 1,
b) Schreibe mit dem Produktzeichen:
(iii) 81 · 27x · 9x2 · 3x3 · x4 .
(i) x · x2 · x3 · x4 · x5 ,
1
1
(ii) 1 · · x2 · 3 · x4 ,
x
x
Aufgabe 4. Zeige für n ∈ N:
2n
X
k=3
k=n
n
X
k.
k=1
Aufgabe 5. Vereinfache für n ∈ N:
n
1 Y
(2k).
n!
k=1
Aufgabe 6.
a) Schreibe
(4n)!
für n ∈ N als Produkt natürlicher Zahlen.
(2n)!
b) Berechne den Quotienten in a) für n = 0, 1, 2, 3
1
Summen und Produkte
c) Finde alle Zahlen n ∈ N0 , für die
(4n)!
(4n)!
= 2 bzw.
= 12 ist.
(2n)!
(2n)!
Aufgabe 7. Berechne die Summen.
a)
19
X
(2k + 1),
c)
k=0
b)
20
X
k=1
10
X
1,
k=−10
(2k − 1),
d)
e)
10
X
k=−10
8
X
(4l + 5),
l=0
2
k.
Aufgaben zum Mathematik-Trainingscamp 2016
Vollständige Induktion
Aufgabe 8. Zeige durch vollständige Induktion (oder auch, wenn möglich, durch einen
direkten Beweis) n ∈ N0 :
a) n2 + n ist gerade.
b) n3 − n ist durch 6 teilbar.
c) 5n + 7 ist durch 4 teilbar.
Aufgabe 9. Schreibe mit dem Summenzeichen und zeige durch vollständige Induktion:
a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 .
b) 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n = 2n+1 − 1.
c) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
.
3
Aufgabe 10. Schreibe mit dem Produktzeichen und zeige durch vollständige Induktion:
a) 41 · 42 · · · · · 4n = 2n(n+1) .
1
1
1
1
· 1−
· ··· · 1 −
= für n ≥ 2.
b) 1 −
2
3
n
n
2
3
n−1
1
1
· 1−
· 1−
· ··· · 1 −
=
für n ≥ 2.
c) 1 −
2
3
4
n
n!
Aufgabe 11. Zeige durch vollständige Induktion:
a) n2 − 2n − 1 > 0 für N 3 n ≥ 3.
b) 2n > n3 für N 3 n ≥ 10.
c) n! > 2n für N 3 n ≥ 4.
Aufgabe 12. Wählt man aus der Menge der Menschen irgendeine Gruppe von n Personen aus, so haben diese alle dieselbe Haarfarbe!
Der “Beweis” wird durch Induktion nach n geführt:
Im Falle n = 1 ist nichts zu zeigen.
Nun sei die Aussage für n wahr.
Für n + 1 folgt sie dann so: Wählt man n + 1 Personen P1 , . . . , Pn+1 aus, so haben
nach Induktionsvoraussetzung P1 , . . . , Pn dieselbe Haarfarbe, aber auch P2 , . . . , Pn+1 ,
und damit hat Pn+1 dieselbe Haarfarbe wie Pn und somit P1 , . . . , Pn .
Wo steckt der Fehler?
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