Einführung in die Numerik

Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen (IWR)
Ruprecht–Karls–Universität Heidelberg
Prof. Dr. Dr. h.c. H.G. Bock,
Dr. C. Kirches, A. Potschka, L. Wirsching
Website zur Vorlesung: http://bit.ly/ppIkKZ
14. Oktober 2011
Einführung in die Numerik
WS 2011/2012
1. Übungsblatt
Aufgabe 1.1 (Taylorentwicklung) (4 Punkte)
Man gebe zum Entwicklungspunkt x = 0 die ersten drei Terme der Taylor–Entwicklungen der
folgenden Funktionen mit Restglied der Form O(xm ) mit einem möglichst großen m ∈ N an:
1
1+x
,
a. f (x) =
c. f (x) = ln
,
1+x
1−x
b. f (x) =
x sin(x)
,
cos(x)
1
d. f (x) = p
.
(1 − x)3
Aufgabe 1.2 (Landau–Symbole) (4 Punkte)
Man schreibe die folgenden Ausdrücke in der Form f (h) = O(hm ) bzw. f (h) = o(hm ) für
h ∈ R+ , h → 0 , mit einem möglichst großen m ∈ N:
a. f (h) = 4(h2 + h)2 − 4h4 ,
b. f (h) = sin(h),
c. f (h) =
h
,
ln(h)
d. f (h) =
sin(1 + h) − 2 sin(1) + sin(1 − h)
+ sin(1).
h2
Aufgabe 1.3 (Finite Arithmetik) (4 Punkte)
In den folgenden Rechnungen führe man die arithmetischen Operationen ⊕, , und in
finiter Arithmetik aus. Man nehme für alle Zahlen die Darstellung 0.XXX · 10y an, wobei XXX
ein Platzhalter für drei Nachkommastellen und y ∈ Z ein ganzzahliger Exponent ist. Das
Zwischenergebnis jedes elementaren Rechenschritts ist durch Rundung in diese Darstellung zu
bringen.
Beispiele: 0.9 =
ˆ 0.900 · 100 , 13.37 =
ˆ 0.134 · 102 , 15102010 =
ˆ 0.151 · 108
Man berechne und vergleiche mit den exakten Ergebnissen:
a. x2 − y 2 als (x x) (y y) mit x = 1.35, y = 1.37
b. (x + y)(x − y) als (x ⊕ y) (x y) mit Werten wie in a.,
c. b2 − 4ac als (b b) (4 a c) mit a = 1.22, b = 3.34, c = 2.28,
p
d. s(s − a)(s − b)(s − c) wobei s = (a + b + c)/2 mit a = 9.0, b = c = 4.53.
Aufgabe 1.4 (Heron–Verfahren) (4 Punkte)
Aus der Mittelstufe
kennen Sie das Heron–Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der
√
Quadratwurzel a:
a
1
xn +
, für n ≥ 1.
xn+1 :=
2
xn
Man berechne unter Verwendung der in Aufgabe 1.3 angegebenen Arithmetik und des Startwerts x1 = 1 eine Näherung an die Quadratwurzel des Werts a = 3. Das Iterationsverfahren
ist abzubrechen, sobald xn+1 = xn . Man vergleiche mit der exakten Lösung.
Programmieraufgabe P1 (Einführung in Matlab/Octave): (unbewertet)
Am ersten Termin der praktischen Übungen werden die Übungsgruppenleiter eine Einführung
in die Benutzung von Matlab bzw. Octave präsentieren. Sie wird sich an dem Getting Star”
ted“ Tutorial von MathWorks orientieren, siehe hierzu http://www.mathworks.com/help/
pdf doc/matlab/getstart.pdf, Kapitel 1–4.
Abgabe: Freitag, 21.10.2011, bis 9 Uhr s.t. (Briefkästen in INF 288)