Mathematik - BSZ

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Stihl
Information zur Aufnahmeprüfung WO
Mathematik
Welche mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten sollten Sie mitbringen?
Musterprüfung:

Lösen von linearen Gleichungen
Aufgabe 1

Lösen von quadratischen Gleichungen
Aufgabe 2

Vereinfachen einfacher Terme
(binomische Formeln, Ausklammern, Ausmultiplizieren, Kürzen)
Aufgabe 3

Lösen von Bruchgleichungen
Aufgabe 4

Lösen einfacher Gleichungssysteme
(maximal drei Gleichungen mit drei Unbekannten)
Aufgabe 5

Lösen einfacher Textaufgaben
Aufgabe 6 & 7

Kenntnisse auf dem Gebiet der Geradengleichungen
Aufgabe 8
Zur Information und zur Übung erhalten Sie die Aufgabenblätter zweier Musterprüfungen
Ebenso erhalten Sie noch einige Aufgabenblätter mit ergänzenden Aufgaben.
Zum Selbststudium und zur Wiederholung des Stoffes nutzen Sie bitte auch Ihre eigenen Unterlagen von
der Realschule bzw. Lehrbücher der Mittelstufe.
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Terme
Übungsblatt:
Aufgabe 1
Berechne und fasse wenn möglich zusammen:
a) -3 + 4x – 7x - 3 + 5x
c) – (3a - (a - b) + 2b) + (4b - a)
e) (-2a)(-3x)(-b)
Aufgabe 2
Berechne und fasse wenn möglich zusammen:
a) (-a + b)x - a(-b – 2x)
c) 4a2 - 3b 2a - (4a - 3b) 4a
Aufgabe 3
b) -5ab + 3b - 5b + 3a + 5ab
d) -4(5x – 5y) + 5(-2y – 4x)
f) (3x – 2y)(a – 2b)
b) 4cd – 3d 2c - (a – 3c) 4d - ( - ( + 32cd - 4ad) + 5ad)
d) -(+(-56 + 4a)-5a)
Berechne und fasse wenn möglich zusammen:
a) (2a –b)(c + 3d) – (2a + b)(-c - 3d)
c) 2(–b + a) – (–a – 2b)  3
b) 2a –b(c + 3d) – (2a + b)(-c) - 3d
d) (a – 2b)(a + 3b) – (2a + 4b)( –b + 2a)
Aufgabe 4
Berechne und fasse wenn möglich zusammen:
a) (-1)5 + (-2)4
b) (-3x)³ - 2x³
Aufgabe 5
Berechne und fasse wenn möglich zusammen:
a) (24x²y³z – 16xy²z²):(-8xy²z)
b) 15ab²c³-33a³b³c³:(-11a²b)
3
12a ² 15ab
9
30a  20b

:
c)
d)
5
45a  30b
18
7b² 8b
Aufgabe 6
Berechne und fasse wenn möglich zusammen:
a) (a+b)2
b) (x+y)2
c) (3a+5b)2
d) (a-b)2
e) (y – 3b)²
f) (a-b)(a+b) g) (x – a)(x + a)
Aufgabe 7
Berechne und fasse wenn möglich zusammen:
a) (x + 4)2 - (x – 1)2
b) (7a – 1)2 + (3a + 1)2
c) (1-4m)²
d) (3x3+2x)²
e) (x² - 3x)(x² + 3x)
Aufgabe 8
Zerlege so weit wie möglich in Faktoren durch Ausklammern:
a) 4ay – 12az + 16az
b) 24a2 – 6a + 18ab2
c) x2 – 12x + 36
e) 3u² – 48v²
d) 3a2 + 42ax + 147x2
f) 22a²b  11ab² + 33ab²
g) 24ab + 16ab² + 6ab
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Übungsblatt:
Bruchgleichungen mit pq
Aufgabe : Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge:
6x  4
x
24 x  18

 2
4 x  12 x  3 3x  27
G=Q
I. Wir bestimmen den Hauptnenner (wenn wir ihn nicht von vorne herein sehen), indem wir die vorhandenen
Nenner in Faktoren zerlegen. Als Hilfsmittel bei Termen mit Variablen haben wir dazu Ausklammern und
Binomische Formeln.
4x + 12 = 4 (x + 3) = 2  2  (x + 3)
x  3 = (x  3)
3x²  27 = 3(x²  9) = 3(x  3)(x + 3)
Ausklammern, dann Zahlen in Primzahlen
nichts möglich, deshalb ganzen Nenner einklammern
erst Ausklammern, dann Binomische Formel
Es kommen 4 verschiedene Faktoren vor, 2, 3, (x + 3) und (x  3), alle einfach, bis auf die 2, die im ersten
Nenner doppelt vorkommt.
Deshalb müssen im Hauptnenner alle 4 Faktoren vorkommen, die 2 doppelt, die restlichen einfach:
HN = 2  2  3  (x + 3)  (x  3)
II. Die Definitionsmenge D bestimmen wir nun, indem wir schauen, für welche Zahlen einer der Nenner zu Null
wird (wenn sie für x eingesetzt werden).
(Frage: 4 mal was plus 12 gibt 0? 4 mal 3 plus 12 gibt 0, also darf für x nicht 3 eingesetzt werden)
So kommen wir hier auf die Zahlen 3 und 3, die nicht für x eingesetzt werden dürfen.
D ist deshalb
D = R\{3;3} (R ohne 3 und 3)
III. Nun erweitern wir alle Brüche auf den Hauptnenner: Dazu schauen wir, was HN mehr an Faktoren hat als der
jeweils vorhandene Nenner. Vorhandene Summen in Zählern oder Nennern müssen in Klammern gesetzt
werden!
(6 x  4)  3  (x - 3)
x  2  2  3  (x +3)
(24 x  18)  2  2


(4 x  12)  3  (x - 3) ( x  3)  2  2  3  (x +3) (3x 2  27)  2  2
Jetzt steht überall der HN unter dem Bruchstrich:
IV. Wenn wir jetzt die ganze Gleichung mit dem HN multiplizieren, fällt überall der Nenner weg:
(6 x  4)  3  (x - 3) x  2  2  3  (x +3) (24 x  18)  2  2


|  HN
HN
HN
HN
(6 x  4)  3  (x - 3)= x  2  2  3  (x +3)  (24 x  18)  2  2
V. Jetzt wird ausmultipliziert, zusammengefasst:
(6x²  18x  4x + 12)  3 = 12x(x + 3)  (24x  18)  4
18x²  54x  12x + 36 = 12x² + 36x  (96x  72)
18x²  66x + 36 = 12x² + 36x  96x + 72
18x²  66x + 36 = 12x²  60x + 72
(bei minus Klammer setzen!)
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VI. Das x² wird sich nicht auflösen also haben wir eine quadratische Gleichung zu lösen:
18x²  66x + 36 = 12x²  60x + 72 |12x² + 60x  72
6x²  6x  36 = 0 |:6
x²  x  6 = 0
Mit quadratischer Ergänzung oder pq-Formel ergeben sich
x1 = 3 und x2 = 2.
VII Wir prüfen jetzt, ob die gefundenen x-Werte in der Definitionsmenge sind, also überhaupt als Lösungen
eingesetzt
werden können (ohne dass Nenner zu Null werden, was Unsinn ergibt). Wir stellen fest:
x1 = 3D
x2 = 2D
Also ist die Lösungsmenge L = {2}
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Übungsblatt:
Terme & Gleichungen
Aufgabe 1
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich:
3 p 4a  4b
a) 2  ( xy  y)  y  (2  x) b)

a  b 5 pq
x y
x
x

e) x 
f)
1  2x 1  2x
2
10ab
8a 2 b
c).
:
21 p 2 q 2 15 pq 2
3a  b
2a  b
 2
g) 2
2
a b
a  ab
3x 2  3
d)
x 1
Aufgabe 2
Schreibe die folgenden Terme als Produkt:
a) 9 x  24 x  16
2
b)
 12 x 4 y 2  3
c)
(2 x  3 y ) 2  (2 y ) 2
c)
x
Aufgabe 3
Schreibe die folgenden Terme als Summe:
a)
5  2 x 
2
1

b)   x  
4

2
2

y  xy 2 x  y 
Aufgabe 4
Bestimme zu den folgenden Gleichungen jeweils die Definitionsmenge und die Lösungsmenge:
4x
2x

2
x 1 x 1
 3x
 21
3x  7
 2

d)
x  3 x  3x
x
2x
2 x  10 x  3


0
g)
3x  9 12  4 x 6 x
3
14  3x
2x 1


i)
2
4 x  81 6 x  27 4 x  18
a)
2
4x
4
x4
2 
0
 x
c) x  2 
x 2x 1
x2
x2
2
4x  6 3
1
2 x  3 3x  2 20 x  10 x  25
 


e)
f) 2
2
4x  5 4x  5
x  2x x x  2
16 x  25
2
4t  1 2t  5
 2

 1
h) 
t  3 t  9 2t  6
5x  2
15
5 x  20 5
 2


j)
36  12 x 6 x  54 12 x  36 6
b)
Aufgabe 5
Zwei Kinder spielen im Sand. Der eine benötigt mit seiner Schippe 40 Sekunden, um seinen Sandeimer mit Sand zu befüllen.
Der andere benötigt für den gleichen Eimer 30 Sekunden (er hat nämlich eine größere Schippe).
Wie lange dauert es, bis beide zusammen einen Eimer mit Sand befüllen (vorausgesetzt sie streiten zwischendurch nicht)
Aufgabe 6
a. Schreibe einen Term t auf: Addiere zu einer ganzem Zahl z das Quadrat der Hälfte der um 1 kleineren Zahl.
b. Zeige an einem Beispiel, dass bei der Belegung mit einer ganzen Zahl der Termwert das Quadrat einer rationalen Zahlen ist
Aufgabe 7
Ich behaupte: Es gibt eine rationale Zahl mit folgender Eigenschaft: Dividiert man die um 4 vergrößerte Zahl durch die Zahl
selbst, so erhält man das gleiche Ergebnis, wie wenn man die Zahl durch die um 4 vergrößerte Zahl dividiert.
Nimm Stellung zu dieser Behauptung, begründet mit einer geeigneten Rechnung.
Aufgabe 8
Wie lautet der Satz des Pythagoras?
Fertige eine passende Skizze an und gib ein Rechenbeispiel.
Aufgabe 9
a. Bestimme die Länge der Hypotenuse durch Zeichnung und Rechnung, wenn die Katheten 7 cm und 4 cm lang sind!
b. Berechne die Diagonale eines Quadrats mit a = 7 cm
c. Berechne den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks, wenn a = 4 cm lang ist.
d. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Stücken a, b, c, p, q, h sind die
fehlenden Stücke zu berechnen, wenn gegeben sind: a = 4cm , b = 3 cm und h = 2,4 cm
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Übungsblatt:
1)
2)
3)
Lineare – Gleichungssysteme
Löse nach dem Additionsverfahren
a)
7x + 3y = 5
und
2x – 3y = 13
b)
7x + 12y = 27
und
11x – 8y = –65
c)
1,4x – 1,5y = 5,9
und
1,6x + 2,5y = –5,9
d)
(x + 1)(y + 4) = (x – 4)(y + 9)
und
(x – 2)(y – 1) = (x – 3)(y – 2)
Stelle selbst ein LGS (3 x 3) auf.
x
y
z=
x
y
z=
x
y
z=
L={
;
;
LGS mit Bruchgleichungen
a)
2x  3y 4x  3y

5
4
3
und
6x  y 7 x  2 y

3
10
5
b)
x3 x6

y 8 y 9
und
x2 x2

y4 y3
d)
2
1

3x  5 2 y  3
und
1
1

3x  5 2 y  3
4)
Ein Rechteck hat den Umfang 15 cm.: Verkürzt man die eine Seite um 1 cm und verlängert die
andere Seite um 1 cm, so verkleinert sich der Flächeninhalt um 6 cm2.Zeichne beide Rechtecke
5)
Ute bezahlt für 12 Brötchen und 6 Brezeln 10,80 €. Jörg kauft beim selben Bäcker 7 Brötchen
und 7 Brezeln für 8,75 €. Wie viel kostet ein Brötchen, wie viel eine Brezel?
6)
Bestimme die gesuchte Zahl.
a) Eine zweistellige Zahl wird um 9 größer, wenn man ihre Ziffern vertauscht. Ihre Zehnerziffer
ist halb so groß wie ihre Einerziffer.
b) Eine zweistellige Zahl ist doppelt so groß wie das Sechsfache ihrer Zehnerziffer und um 18
größer als ihre Quersumme.
c) Eine zweistellige Zahl übertrifft ihre Quersumme und ihre Zehnerziffer um je 54.
}
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Übungsblatt:
Prozent, Promille, und Zins
Prozent
1
2
3
Promille
4
5
6
7
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Zinsen
10
9
14
11
12
13
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Stihl
15
19
16
20
21
22
23
24
17
25
18
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Übungsblatt:
Lineare Funktionen
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