M Math hem matik k - BSZ

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Stihl___
Infformation zur Aufnah
hmeprü
üfung W
WO
Math
M hem
matikk
Welche matheematischen Kenntnissee und Fertiggkeiten sollten Sie mitbringen?
Mussterprüfungg:

Lösen von lineareen Gleichun
ngen
Auffgabe 1

Lösen von quadraatischen Gleeichungen
Auffgabe 2

Vereinnfachen einffacher Term
me
(binom
mische Form
meln, Auskllammern, A
Ausmultiplizzieren, Kürzzen)
Auffgabe 3

Lösen von Bruchggleichungen
n
Auffgabe 4

G
systeme
Lösen einfacher Gleichungss
(maxim
mal drei Gleeichungen mit
m drei Unbbekannten)
Auffgabe 5

Lösen einfacher Textaufgabe
T
en
Auffgabe 6 & 7

d Geradenngleichungeen
Kenntnnisse auf deem Gebiet der
Auffgabe 8
Zu
ur Informatiion und zur Übung erhaalten Sie diee Aufgaben
nblätter zweier Musterpprüfungen
Eb
benso erhaltten Sie nochh einige Auffgabenblätteer mit ergän
nzenden Au
ufgaben.
Zu
um Selbststuudium und zur
z Wiederh
holung des Stoffes nutzzen Sie bittee auch Ihre eigenen Un
nterlagen voon
der Realschulle bzw. Lehrrbücher derr Mittelstufee.
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T
Terme
Üb
bungsblatt:
Au
ufgabe 1
Berechne und fasse wenn
w
möglicch zusammeen:
a) -3 + 4x – 7x - 3 + 5x
5
c) – (3a - (a
( - b) + 2b)) + (4b - a)
e) (-2a)(-33x)(-b)
Au
ufgabe 2
Berechne und fasse wenn
w
möglicch zusammeen:
a) (-a + b)x - a(-b – 2x
x)
c) 4a2 - 3bb 2a - (4a - 3b)
3 4a
Au
ufgabe 3
b) -5ab + 3b
3 - 5b + 3aa + 5ab
d) -4(5x – 5y) + 5(-2yy – 4x)
f) (3x – 2y)(a – 2b)
b) 4cd – 3d 2c - (aa – 3c) 4d - ( - ( + 32cd
d - 4ad) + 5aad)
d) -(+(-56 + 4a)-5a)
Berechne und fasse wenn
w
möglicch zusammeen:
a) (2a –b)((c + 3d) – (2
2a + b)(-c - 3d)
c) 2(–b + a)
a – (–a – 2b
b)  3
b) 2a –b(c + 3d) – (2aa + b)(-c) - 3d
3
d) (a – 2b)(a + 3b) – ((2a + 4b)( –b
b + 2a)
Au
ufgabe 4
Berechne und fasse wenn
w
möglicch zusammeen:
a) (-1)5 + (-2)
( 4
b) (-3x)³ - 2x³
Au
ufgabe 5
Berechne und fasse wenn
w
möglicch zusammeen:
a) (24x²y³zz – 16xy²z²)):(-8xy²z)
b) 15ab²c³--33a³b³c³:(- 11a²b)
3
12a ² 115ab
9
30a  220b

c)
:
d)
5
45a  30b
18
7b² 8b
Au
ufgabe 6
Berechne und fasse wenn
w
möglicch zusammeen:
2
2
b) (x+y
y)
c) ((3a+5b)2
a) (a+b)
d) (a-b)2
e) (y – 3b)²
f) (a-b)(a+
+b) g) (x – a)(x + a)
ufgabe 7
Au
Berechne und fasse wenn
w
möglicch zusammeen:
2
2
a) (x + 4) - (x – 1)
b) ((7a – 1)2 + (3a + 1)2
c) (1-4m)²²
d) ((3x3+2x)²
e) (x² - 3x)(x² + 3x)
Au
ufgabe 8
m
in F
Faktoren du
urch Ausklam
mmern:
Zerlege soo weit wie möglich
2
2
a) 4ay – 12az + 16az
b) 224a – 6a + 18ab
c) x2 – 12x + 36
e) 33u² – 48v²
d) 3a2 + 42ax
4
+ 147x
x2
f) 22a²bb  11ab² + 33ab²
g) 24ab + 16ab² + 6ab
b
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Üb
bungsblatt:
Bru
uchgleeichu
ungen mit ppq
Au
ufgabe : Beestimme diee Definitions- und Lösuungsmenge::
6x  4
24 x  18
x

 2
4 x  12 x  3 3x  27
G=Q
I. Wir bestimm
men den Hauuptnenner (w
wenn wir ihn nicht von vo
orne herein sehen), indem
m wir die vorrhandenen
Nenner in F
Faktoren zerllegen. Als Hiilfsmittel beii Termen mitt Variablen haben
h
wir dazzu Ausklamm
mern und
Binomischee Formeln.
4x + 112 = 4 (x + 3) = 2  2  (x + 3)
x  3 = (x  3)
3x²  227 = 3(x²  9) = 3(x  3)(x
3 + 3)
Ausklam
mmern, dann Zahlen
Z
in Prim
mzahlen
nichts möglich,
m
deshaalb ganzen Nen
enner einklamm
mern
erst Aussklammern, dann Binomiscche Formel
Es kommenn 4 verschieddene Faktoren
n vor, 2, 3, (xx + 3) und (x
x  3), alle eiinfach, bis auuf die 2, die im ersten
Nenner dopppelt vorkom
mmt.
Deshalb müüssen im Hauuptnenner allle 4 Faktorenn vorkommen
n, die 2 dopp
pelt, die restllichen einfacch:
HN = 2  2  3  (x + 3)  (x  3))
II. Die Definitiionsmenge D bestimmen
n wir nun, inddem wir schaauen, für wellche Zahlen eeiner der Nenner zu Nulll
wird (wenn sie für x einngesetzt werd
den).
(Frage: 4 m
mal was plus 12
1 gibt 0? 4 mal
m 3 plus 1 2 gibt 0, also
o darf für x nicht
n
3 eingessetzt werden
n)
So kommenn wir hier auff die Zahlen 3 und 3, diie nicht für x eingesetzt werden
w
dürfen
en.
D ist deshallb
D=R
R\{3;3} (R ohne 3 und 3)
III. Nun erweiteern wir alle Brüche
B
auf den
d Hauptnennner: Dazu scchauen wir, was
w HN mehhr an Faktoreen hat als derr
jeweils vorhhandene Nennner. Vorhan
ndene Summeen in Zählern
n oder Nenneern müssen iin Klammern
n gesetzt
werden!
(6 x  4)  3  (x - 3)
(24 x  18)  2  2
x  2  2  3  (x +3)


(4 x  12)  3  (x - 3) ( x  3)  2  2  3  (x +3) (3x 2  27)  2  2
Jetzt steht üüberall der HN
N unter dem
m Bruchstrichh:
IV
V. Wenn wir jjetzt die ganzze Gleichung
g mit dem HN
N multiplizieeren, fällt üb
berall der Nennner weg:
(6x  4)  3  (x - 3
3) x  2  2  3  (x + 3) (24x  18)  2  2


|  HN
HN
HN
HN
(6 x  44)  3  (x - 3
3)= x  2  2  3  (x + 3
3)  (24x  18)  2  2
V. Jetzt wird auusmultiplizieert, zusammeengefasst:
(6x²  18x  4x + 12)  3 = 12
2x(x + 3)  (24x  18)  4
18x²  54x  12x + 36 = 12x
x² + 36x  (996x  72)
18x²  66x + 36 = 12x² + 36x
x  96x + 772
18x²  66x + 36 = 12x²  60x
x + 72
(beii minus Klam
mmer setzen!)
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VII. Das x² wirdd sich nicht auflösen
a
also
o haben wir eeine quadratiische Gleichu
ung zu lösenn:
18x²  66x + 36 = 12x²  60x
x + 72 |12 x² + 60x  72
7
6x²  66x  36 = 0 |:6
x²  x  6 = 0
Mit quadrattischer Ergännzung oder pq-Formel
p
erggeben sich
x1 = 3 und x2 = 2.
2
VIII Wir prüfenn jetzt, ob diee gefundenen
n x-Werte in der Definitio
onsmenge sin
nd, also überrhaupt als Lö
ösungen
eingesetzt
d Nenner zu Null werrden, was Un
nsinn ergibt). Wir stellen fest:
werden köönnen (ohne dass
x1 = 3  D
x2 = 2D
2
Also ist die Lösungsmennge L = {2}
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Üb
bungsblatt:
Terrme & Gleichun
ngen
ufgabe 1
Au
Veereinfache die folgenden Teerme so weit wie
w möglich:
3 p 4a  4b
a) 2  (  xy  y )  y  ( 2  x ) b)

a  b 5 pq
x y
x
x

e) x 
f)
1  2x 1  2x
2
10
8a 2b
0ab
c).
:
21 p 2 q 2 15 pq 2
3a  b
2a  b
g) 2
 2
2
a b
a  ab
3x 2  3
d)
x 1
ufgabe 2
Au
Sch
hreibe die folggenden Termee als Produkt:
a) 9 x  24 x  16
2
b)
 12
2x 4 y 2  3
c)
(2 x  3y ) 2  (2 y ) 2
c)
x
ufgabe 3
Au
Sch
hreibe die folggenden Termee als Summe:
a)
5  2 x 
2
1

b)   x  
4

2
2

y  xy 2  x  y 
Au
ufgabe 4
Bestimme zu denn folgenden Gleichungen
G
jeeweils die Deffinitionsmeng
ge und die Lössungsmenge:
4x
2x

2
x 1 x 1
 3x
 21
3x  7
 2

d)
x  3 x  3x
x
2x
2 x  10 x  3


0
g)
3x  9 12  4 x 6 x
114  3x
2x 1
3


i)
2
4 x  81 6 x  27 4 x  18
a)
2
4x
4
x4
0
 x

c) x  2 
x2
x2
x 2x 1
2
2 x  10 x  25
1
4x  6 3
2 x  3 3x  2 20


e)

f)

4x  5 4x  5
16 x 2  25
2
x 2  2x x x  2
4t  1 2t  5
2
 2

 1
h) 
t  3 t  9 2t  6
15
5 x  20 5
5x  2
 2


j)
36  12 x 6 x  54
4 12 x  36 6
b) 2 
Au
ufgabe 5
Zw
wei Kinder spielen im Sand.. Der eine ben
nötigt mit seineer Schippe 40
0 Sekunden, um
m seinen Sanddeimer mit Saand zu befüllenn.
Deer andere benöötigt für den glleichen Eimerr 30 Sekundenn (er hat nämliich eine größeere Schippe).
Wiie lange dauerrt es, bis beidee zusammen eiinen Eimer m
mit Sand befülllen (vorausgessetzt sie streiteen zwischendu
urch nicht)
Au
ufgabe 6
a. Schreibe
S
einenn Term t auf: Addiere
A
zu einer ganzem Z
Zahl z das Quaadrat der Hälftte der um 1 klleineren Zahl.
b. Zeige
Z
an einem
m Beispiel, daass bei der Belegung mit einner ganzen Zaahl der Termw
wert das Quadrrat einer rationalen Zahlen ist
ufgabe 7
Au
Ich
h behaupte: Ess gibt eine ratiionale Zahl mit folgender E
Eigenschaft: Dividiert
D
man die
d um 4 vergrrößerte Zahl durch
d
die Zahll
selb
bst, so erhält m
man das gleicche Ergebnis, wie
w wenn mann die Zahl durrch die um 4 vergrößerte
v
Zaahl dividiert.
Nim
mm Stellung zzu dieser Behauptung, begrründet mit ein er geeigneten Rechnung.
ufgabe 8
Au
Wiie lautet der Satz des Pythaggoras?
Ferrtige eine passsende Skizze an
a und gib ein
n Rechenbeisppiel.
ufgabe 9
Au
a. Bestimme
B
die Länge der Hyypotenuse durrch Zeichnungg und Rechnun
ng, wenn die Katheten
K
7 cm
m und 4 cm lan
ng sind!
b. Berechne
B
die Diagonale einnes Quadrats mit
m a = 7 cm
c. Berechne
B
den Flächeninhaltt eines gleichsseitigen Dreieecks, wenn a = 4 cm lang istt.
d. In
I einem rechtwinkligen Drreieck ABC mit
m den Stückeen a, b, c, p, q,, h sind die
feh
hlenden Stücke zu berechneen, wenn gegeben sind: a = 4cm , b = 3 cm
m und h = 2,4
4 cm
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Stihl___
Üb
bungsblatt:
1)
2)
3)
L
Linear
re – G
Gleich
hungsssystem
me
Löse nnach dem Additionsver
A
rfahren
a)
7x + 3y = 5
und
2x – 3y = 13
b)
7x + 12y = 27
und
11x
x – 8y = –655
c)
1,4x – 1,5y = 5,9
und
1,6x + 2,5y = ––5,9
d)
(x + 1)(y + 4) = (x – 4)(y
4 + 9)
und
(x – 2)(y – 1) = (x – 3)(y – 2)
Stelle selbst ein LGS
L
(3 x 3) auf.
x
y
z=
x
y
z=
x
y
z=
L={
;
;
LGS m
mit Bruchgleichungen
a)
2x  3y 4x  3y
5

4
3
und
6x  y 7x  2 y
3

5
10
b)
x3 x6

y 8 y 9
und
x2 x2

y4 y3
d)
2
1

3x  5 2 y  3
und
1
1

3x  5 2 y  3
4)
ng 15 cm.: V
Verkürzt maan die eine Seite
S
um 1 ccm und verllängert die
Ein Reechteck hat den Umfan
anderee Seite um 1 cm, so verrkleinert sicch der Fläch
heninhalt um
m 6 cm2.Zeiichne beide Rechtecke
5)
Ute beezahlt für 122 Brötchen und
u 6 Brezeeln 10,80 €.. Jörg kauft beim selben
en Bäcker 7 Brötchen
hen, wie vieel eine Brezzel?
und 7 Brezeln fürr 8,75 €. Wiie viel kosteet ein Brötch
6)
mme die gessuchte Zahl.
Bestim
a) Einne zweistelllige Zahl wird um 9 gröößer, wenn man ihre Ziffern
Z
vertaauscht. Ihre Zehnerziffeer
ist halb so grooß wie ihre Einerziffer.
E
b) Einne zweistelllige Zahl istt doppelt soo groß wie das
d Sechsfacche ihrer Zeehnerziffer und
u um 18
gröößer als ihree Quersumm
me.
c) Einne zweistelllige Zahl üb
bertrifft ihree Quersumm
me und ihre Zehnerziffe
fer um je 54.
}
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Stihl___
Üb
bungsblatt:
Prozennt, Prom
mille, und
u Zinns
Prozzent
1
2
3
Prom
mille
4
5
6
7
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Stihl___
Z
Zinsen
n
10
9
14
11
12
13
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Stihl___
15
19
16
20
21
22
23
24
17
25
18
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Üb
bungsblatt:
Lin
neare Funk
ktionen
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