Sommer 2004 - Institut für Numerische und Angewandte Mathematik

Algebra
Aufgabe 1
Beweise den folgenden Satz:
Ist R ein kommutativer Ring (nicht notwendig mit Eins!) mit mindestens zwei Elementen,
der nur die trivialen Ideale {0} und R besitzt, so ist R entweder ein Körper oder es gibt
eine Primzahl p dergestalt, dass R die folgenden beiden Eigenschaften hat:
i) Die additive Gruppe von R ist isomorph zur Gruppe (Z/pZ, +).
ii) Es gilt ab = 0 für alle a, b ∈ R.
Hinweis:
Der Beweis ist (natürlich) auf verschiedene Arten durchführbar. Ein möglicher Weg führt
unter anderem über die folgenden Stationen:
1. Zeige: Ist ab = 0 für alle a, b ∈ R, so ist jede Untergruppe der additiven Gruppe von
R ein Ideal in R.
2. Zeige: Eine zyklische Gruppe G mit neutralem Element e, für die G 6= {e} gilt und
die als Untergruppen nur {e} und G besitzt, ist isomorph zu einer Gruppe Z/pZ
mit einer Primzahl p.
3. Wenn nicht gilt, dass ab = 0 für alle a, b ∈ R ist, dann zeige, dass es ein u ∈ R und
ein b ∈ R \ {0} mit ub = b gibt. Zeige weiter, dass u ein Einselement in R ist.
Aufgabe 2
p
√
√
√
die positive reelle QuadratSei K = Q( 5) und L = K( 5 + 5). Dabei bezeichnet
wurzel einer positiven reellen Zahl.
p
√
1. Bestimme das Minimalpolynom f von 5 + 5 über Q sowie alle Nullstellen von
f in C. Zeige, dass [L : Q] = 4 gilt.
2. Bestimme alle Einbettungen σ : L → C.
Dabei ist eine Einbettung ein injektiver Homomorphismus.
p
√ √ p
5+ 5 ·
5 − 5 und folgere, dass L eine Galoiserweiterung von
3. Berechne
Q ist.
4. Zeige: Die Galoisgruppe von L/Q ist zyklisch.
1
Zahlentheorie
Aufgabe 1:
1. (Einstiegsaufgabe, unabhängig von den Teilaufgaben 2-4)
Seien a, b, x, y ganze Zahlen mit ax + by = ggT(a, b). Zeigen Sie, dass ggT(x, y) = 1
gilt.
2. Zeigen Sie, dass für ungerades a und n ≥ 3 gilt:
a2
n−2
≡1
mod 2n .
3. Sie m ≥ 2 eine positive ganze Zahl. Definieren Sie den Begriff Primitivwurzel modulo
m.
4. Zeigen Sie, dass 2 und 4 die einzigen Zweierpotenzen sind, modulo denen es Primitivwurzeln gibt.
Aufgabe 2:
Sei p eine ungerade Primzahl.
1. Definieren Sie das Legendre Symbol ap und nennen Sie das Quadratische Reziprozitätsgesetz und die beiden Ergänzungssätze.
Finden Sie eine dem zweiten Ergänzungssatz analoge Aussage für −2
.
p
2. Zeigen Sie: Wenn p 6≡ 5 mod 8 gilt, dann hat die Kongruenz x8 ≡ 16 mod p eine
Lösung.
3. Zeigen Sie, dass auch im Fall p ≡ 5 mod 8 die Kongruenz x8 ≡ 16 mod p lösbar
ist. Gehen Sie in folgenden Schritten vor:
(a) Begründen Sie, warum die Kongruenz y 2 ≡ −1 mod p lösbar ist und die Kongruenz z 4 ≡ −1 mod p nicht lösbar ist.
(Für letzteres zeigen Sie, dass eine potentielle Lösung z die Beziehung ordp z = 8
erfüllen würde und führen Sie dies zum Widerspruch.)
2
(b) Zeigen Sie, dass für jede Lösung y der Kongruenz y ≡ −1 mod p gilt: 2y
=
p
1.
(c) Schließen Sie daraus, dass es ein x mit x2 ≡ 2y mod p gibt und zeigen Sie,
dass dieses x die gewünschte Kongruenz x8 ≡ 16 mod p erfüllt.
2
Kryptographie
Aufgabe 1
1. Erkläre das Sieb des Eratosthenes und den Rabin-Miller-Test.
2. Wie kann man praktisch große (etwa 100-stellige) Primzahlen erzeugen?
Wie lautet eine mathematisch exakte Interpretation des Ergebnisses?
3. Sei nun n ∈ N größer als 2 eine Zahl, die den Rabin-Miller-Test zur Basis 2 besteht.
Beweise: n ist nicht durch 9, 15, 21, 35 oder 39 teilbar.
4. Beschreibe ein Kryptographieverfahren, welches auf der Konstruktion großer Primzahlen basiert.
5. Zeige n ist genau dann prim, wenn (Z/nZ)∗ zyklisch von Ordnung n − 1 ist.
Hierzu dürfen alle Sätze aus der Vorlesung verwendet werden.
Aufgabe 2
1. Berichte über endliche Körper:
Definiere die Begriffe Charakteristik eines Körpers, Körpergrad und Körperhomomorphismus. Welche Charakteristiken können bei endlichen Körpern auftreten? Formuliere Sätze über Existenz, Eindeutigkeit und Konstruktion von endlichen Körpern
und über Eigenschaften der multiplikativen Gruppe.
2. Sei nun K ein endlicher Körper der Charakteristik n und
ϕ : K→K
x 7→ xn .
Zeige, dass ϕ ein bijektiver Homomorphismus von K nach K ist.
3. Zeige, dass ϕr höchstens nr Fixpunkte hat.
Wie viele Fixpunkte haben ϕ und ϕ2 ?
4. Für welche s > 0 ist ϕs die Identität auf K ?
Aufgabe 3
Sei K = F2 und f = x127 + x + 1 ∈ K[x] sowie R = K[x]/(f ). Weiterhin setzen wir
n = 2127 − 1. Wie Lucas bereits 1876 zeigen konnte, ist n prim. 127 ist übrigens auch
prim, das ist aber offensichtlich.
3
1. Wie kann man xn+1 mod f mit vernünftigem Aufwand ausrechnen? Die Rechnung
soll hier nicht durchgeführt werden, sondern nur so genau beschrieben werden, dass
eine Durchführung reine Fleißarbeit ist.
Das Ergebnis dieser Rechnung wäre dann übrigens x. Es kann bei Bedarf verwendet
werden. (Für diese Rechnung hat mein Computer bei dilettantischer Programmierung 1,8 Sekunden gebraucht.)
2. Wie ist R∗ definiert? Zeige, dass R∗ höchstens n Elemente hat.
3. Zeige: R ∼
= F2127
4. Zeige, dass es keinen Körper L mit F2 ( L ( F2127 gibt.
5. Zeige, dass f in K[x] irreduzibel ist.
6. Beschreibe ein Kryptographieverfahren, welches wesentlich auf der Konstruktion
großer Körper wie etwa F2127 oder besser F21000 basiert.
Differentialgleichungen
Aufgabe 1
Löse folgende Differentialgleichungen:
1. y 000 (x) − 3y 0 (x) + 2y(x) − xex = 0
2. u̇(t) + tu(t) − t2 u2 (t) = 0
Aufgabe 2
1. Beschreibe den Phasenraum und Lösungskurven der gewöhnlichen Differentialgleichung
f 00 (t) = −f (t) + sgn(f (t)),
(1)
wobei
sgn(x) = 1 für x > 0,
= 0 für x = 0,
= −1 für x < 0.
2. Zeige, daß die Lösungen von (1) periodisch sind. Hängt die Periode stetig von den
Anfangsbedingungen ab?
4
Funktionentheorie
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass der Hauptzweig des Logarithmus keine rationale Funktion ist.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass durch
f (z) =
∞
X
ein
3z
n=0
eine holomorphe Funktion in der oberen Halbebene Im(z) > 0 definiert ist.
Numerik
Aufgabe 1
1. Die Funktion f (x) := e−x soll in den Punkten x1 = 0, x2 = 21 und x3 = 1 durch
ein quadratisches Polynom p2 (f ) interpoliert werden. Man berechne p2 (f ) in der
Lagrange- und Newton-Darstellung und leite eine möglichst gute Abschätzung für
den maximalen Interpolationsfehler
sup f (x) − p2 (f )(x)
x∈[0,1]
her.
2. Sei wiederum f (x) := e−x . Zu jeder Zahl n ∈ N seien im Intervall [0, 1] n+1 paarwei(n)
(n)
se verschiedene Stützstellen x1 , . . . , xn+1 gegeben. Weiter sei pn (f ) das zugehörige
Interpolationspolynom vom Grad ≤ n. Zeigen Sie, dass die Folge pn (f ) n∈N für
n → ∞ auf [0, 1] gleichmäßig gegen f konvergiert.
Aufgabe 2
Gegeben sie die symmetrische tridiagonale

a

 b
A := 

n × n-Matrix

b
.. ..

.
.


.. ..
.
. b 
b a
mit a, b ∈ R und n ≥ 3.
5
1. Man gebe hinreichende Bedingungen dafür an, dass A nichtsingulär bzw. positiv
definit ist.
Hinweis: Es darf der Satz von Gerschgorin
P angewandt werden. Dieser hat folgende
Aussage: Ist A = (aijS) ∈ Rn×n und ri := nj=1,j6=i |aij | für i = 1, . . . , n so liegt jeder
Eigenwert von A in ni=1 Gi , wobei Gi := {z ∈ C : |z − aii | ≤ ri } für i = 1, . . . , n.
2. Man gebe eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz des GSV zur Lösung
linearer Gleichungssysteme mit der Koeffizientenmatrix A an.
3. Wie sieht das Gauß’sche Eliminationsverfahren für die Matrix A in einer nichtredundanten Version aus? Welchen Aufwand hat es als Funktion von n? Kann im
Falle der Matrix A auf eine Pivotisierung verzichtet werden?
6
Stochastik
Aufgabe
Sei X : Ω → IN0 eine diskrete Zufallsvariable. Im folgenden betrachten wir
Eigenschaften der erzeugenden Funktion, die durch
MX (s) = EsX
definiert ist.
a) Zeigen Sie, dass
EX = lim
s↑1
d
MX (s) = MX0 (1)
ds
gilt und finden Sie eine analoge Darstellung für die Varianz von X.
b) Zeigen Sie, dass für stochastisch unabhängige Zufallsvariable X und Y
MX+Y (s) = MX (s)MY (s) gilt.
c) Seinen (Xi ) stochastisch unabhängig verteilte Zufallsvariable auf IN0 , die
von N unabhängig sind. Zeigen Sie die folgende Darstellung der erzeugenden
Funktion für die Summe
MPN
i=1
Xi
(s) = MN (MX1 (s))
und damit die Waldsche Identität
N
X
E(
Xi ) = (EN )(EX1 ).
i=1
d) Ein radioaktives Präparat sendet pro Minute N Teilchen aus, wobei N
Poissonverteilt mit Parameter λ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen
vom Meßgerät registriert wird, sei θ. Wie ist die Anzahl der registrierten
Teilchen verteilt. Wie ist ihr Erwartungswert und die Varianz?
Aufgabe
a) Beweisen Sie die Tschebyschev Ungleichung, dass für eine Zufallsvariable
X mit endlicher Varianz für jeder > 0
P (|X − EX| ≥ ) ≤
1
V ar(X)
2
gilt.
b) Formulieren Sie das schwache Gesetz der großen Zahlen und zeigen Sie
wie es sich aus a) herleiten läßt.
c) Sei (Xi ) eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen, X1 :
Ω → IN0 mit Verteilung PX1 . Definiere durch
n
1X
P̂n (B) =
1B (Xi )
n i=1
das empirische Maß von B ⊂ IN0 . Zeigen Sie, dass für alle B ⊂ IN0 und
n→∞
stoch
P̂n (B) → PX1 (B)
gilt.
d) Läßt sich aus b) auch
n
1X
stoch
Xi → 0
n i=1
für n → ∞ folgern, wenn die Xi unabhängig Cauchy verteilt sind, also die
1
Verteilung die Dichte π1 1+x
2 hat?
2