Merkhilfe für das Fach Mathematik (Broschüre)

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

Die Merkhilfe steht unter www.isb.bayern.de  Gymnasium  Fächer  Mathematik zum Download bereit.
Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Bezeichnungen
werden nicht erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt.
 x1  m1 2   x 2  m2 2   x3  m3 2  r 2
Kugelgleichung
 Normalenform in Koordinatendarstellung: n1x1  n2 x 2  n3 x3  n0  0
  
 Normalenform in Vektordarstellung: n  X  A  0
 


 Parameterform: X  A  λ u  μ v
Ebene im IR3
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
as
ar


ZA
AB

ZA AB
ZA ZB ZA
ZB
,





ZA ZB AA BB
Ist AB || A  B , so gilt:
Strahlensätze
a
r
1
loga
r
s
 ars
r
b
 loga b  loga c
c
ar  br   ab 
a 
b  b2  4ac
2a
 ar  s
a r 
loga  bc   loga b  loga c
Logarithmen
ar  as  ar  s
a n  n am
m
Potenzen
ax 2  bx  c  0  x1/2 
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
1 Inhalte der Mittelstufe
Mathematik am Gymnasium
Merkhilfe
2. Auflage
loga br  r  loga b
r
a
 
r
b
b
ar
STAATSINSTITUT FÜR SCHULQUALITÄT
UND BILDUNGSFORSCHUNG
MÜNCHEN
2
Rechtwinkliges Dreieck
 Satz des Pythagoras: a2  b2  c 2
 Höhensatz: h2  pq
a
b
sin α a

, cos α  , tan α 
c
c
cos α b
 Kathetensatz: a2  cp , b2  cq
 sin α 
Allgemeines Dreieck
 Sinussatz: a : b : c  sin α : sinβ : sin γ
 Kosinussatz:
cos  φ   cos φ
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
 sin φ 2   cos φ 2  1
a2  b2  c 2  2bc cos α , b2  a2  c 2  2ac cosβ , c 2  a2  b2  2ab cos γ
sin  φ    sin φ
cos  90  φ   sin φ
Sinus und Kosinus
sin  90  φ   cos φ
ac
h
2
Figurengeometrie
 Trapez: A 
 Kreis: U  2r π , A  r 2 π
Raumgeometrie
 Prisma: V  Gh
 Pyramide: V  31 Gh
M  r πm
 gerader Kreiszylinder: V  r 2 πh , M  2r πh
 gerader Kreiskegel: V 
1 r 2 πh ,
3
 Kugel: V  34 r 3 π , O  4r 2 π
4 Geometrie
Skalarprodukt im IR3
a  b 
   1  1
 Definition: a  b   a2    b2   a1b1  a2b2  a3b3
   
 a3   b3 
 
 
 zueinander senkrechte Vektoren: a  b  a  b  0

 
 Betrag eines Vektors: a  a  a
 
 AB  AC
1
6

Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium

  
AB  AC  AD

0 a
 Einheitsvektor: a  
a
 
ab
 Winkel zwischen zwei Vektoren: cos φ    ( 0  φ  π )
ab
Vektorprodukt im IR3
1
2
 a b  a3b2 
   2 3

 Definition: a  b   a3b1  a1b3 


 a1b2  a2b1 
 


 Richtung: a  b steht senkrecht auf a und b
   
 Betrag: a  b  a  b  sinφ ( 0  φ  π )
 Flächeninhalt eines Dreiecks ABC: F 
 Volumen einer dreiseitigen Pyramide ABCD: V 

Mittelpunkt einer Strecke [AB]


 
M  21  A  B

Schwerpunkt eines Dreiecks ABC


  
S  31  A  B  C
7
6
PA
P  A  B
i1
2
2
2
2
ex
xr
0
Als Signifikanzniveau bezeichnet man den Wert, den die Wahrscheinlichkeit für
einen Fehler 1. Art nicht überschreiten darf.
 Fehler 2. Art: H0 wird irrtümlich nicht abgelehnt
 Fehler 1. Art: H0 wird irrtümlich abgelehnt
x
r 1

x  x0
1
x
 Kettenregel:
f  x   u  v  x 
v x
ux



f x  ux  v x
 Produktregel:
 Quotientenregel: f  x  


x
x
 lna
loga x  
1
x  lna
 v  x  
2
u  x   v  x   u  x   v  x 
f   x   u  v  x    v  x 
f x 
f   x   u  x   v  x   u  x   v  x 
f   x   a  u  x 
f   x   u  x   v  x 
a   a
f x  a  ux
f x  ux  v x
ln x  
 sin x   cos x
 cos x    sin x
d f x d
dy
f x 

 y
dx
dx
dx
(falls der Grenzwert existiert und endlich ist)
x  x0
(jeweils r  0 )
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
f  x   f  x0 

lim xr  ln x  0
x 0
 Faktorregel:
 Summenregel:
Ableitungsregeln
x
r
 e   e
Signifikanztest
0
Ableitungen der Grundfunktionen
n
n k
 P  X  k   B  n;p;k      pk  1  p 
k
 
 Varianz: Var  X   n  p  1  p 
xr
ln x
f  x   f  x0 
 Schreibweisen: f   x  
x  x0
 f   x0   lim
 x   r  x
 Erwartungswert: E  X   n  p
lim
x 
 Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate):
Ableitung
x 
lim
Grenzwerte
2 Analysis
Ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt nach B  n;p  , so gilt:
 Standardabweichung: σ  Var  X 
i 1
 Varianz: Var  X     xi  μ  pi   x1  μ  p1   x 2  μ  p2  ...   xn  μ  pn
n
 Erwartungswert: μ  E  X    xi  pi  x1  p1  x 2  p2  ...  xn  pn
n
Eine Zufallsgröße X nehme die Werte x1, x 2 , …, xn mit den Wahrscheinlichkeiten
p1 , p2 , …, pn an. Dann gilt:
Zufallsgrößen – Binomialverteilung
P  A  B   P  A   P B 
Unabhängigkeit zweier Ereignisse
PA B  
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
3
4
Anwendungen der Differentialrechnung
1
f   x0 
 Tangentensteigung: mT  f   x0 
 Normalensteigung: mN  
 Monotonie
f   x   0 im Intervall I  Gf fällt streng monoton in I
f   x   0 im Intervall I  Gf steigt streng monoton in I
 Extrempunkte
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
Ist f   x0   0 und wechselt f  an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat Gf an der
Stelle x0 einen Extrempunkt.
 Krümmung
f   x   0 im Intervall I  Gf ist in I rechtsgekrümmt
f   x   0 im Intervall I  Gf ist in I linksgekrümmt
 Wendepunkte
f  xn 
f   xn 
Ist f   x0   0 und wechselt f  an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat Gf an der
Stelle x0 einen Wendepunkt.
 Newton‘sche Iterationsformel: xn 1  xn 
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
x
b
(F ist eine Stammfunktion von f)
Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f ist eine Stammfunktion von f.
a
I  x    f  t  dt  I  x   f  x 
Bestimmtes Integral
b
 f  x  dx  F b   F  a   F  x a
a
Unbestimmte Integrale
(r  1)
1
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
 x dx  ln x  C
xr 1
 x dx  r  1  C
 cos x dx  sin x  C
r
 sin x dx   cos x  C
dx  e x  C
 ln x dx  x  x  ln x  C
x
e
f x
dx  e    C
(F ist eine Stammfunktion von f)
f x
 f  x  e
f x
 f  x  dx  ln f  x   C
 f  ax  b  dx  a1  F  ax  b   C
3 Stochastik
Binomialkoeffizient
n   n  1  ...   n  k  1
n
n!

 
k!
 k  k!   n  k  !
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge
mit n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden.
Urnenmodell
 Ziehen ohne Zurücklegen
Aus einer Urne mit N Kugeln, von denen K schwarz sind, werden n Kugeln ohne
Zurücklegen gezogen.
K  N  K 
 

k
nk 
P(„genau k schwarze Kugeln“)    
N
 
n
 Ziehen mit Zurücklegen
Aus einer Urne, in der der Anteil schwarzer Kugeln p ist, werden n Kugeln mit
Zurücklegen gezogen.
n
n k
P(„genau k schwarze Kugeln“)     pk  1  p 
k 
5