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Ausarbeitung Pohlsches Rad / Chaos
Autoren: Simone Lingitz, Sebastian Jakob
1. Vorarbeiten zu Hause
1.1 Erzwungene Schwingung einer Feder mit Dämpfung
Bewegungsgleichung:
m ⋅ &x&′ + b ⋅ x& ′ + k ⋅ x ′ − m ⋅ g = F0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
b beschreibt das Maß der Dämpfung
k ist die Federkonstante
F0 ⋅ cos(ω ⋅ t ) ist die antreibende Kraft
Führt man ein anderes Koordinaten system ein, in dem der Nullpunkt der
Gleichgewichtspunkt der Feder mit Masse ist, so kommt man auf folgende Gleichung:
&x& = &x&′
x ′ = x + x0
x0 = m ⋅ g / k
x& = x& ′
⇒ m ⋅ &x& + b ⋅ x& + k ( x + x0 ) − m ⋅ g = F0 cos(ω ⋅ t ) mit k ⋅ x 0 = m ⋅ g folgt:
⇒ m ⋅ &x& + b ⋅ x& + k ⋅ x = F0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
Die Eigenfrequenz des Oszillators ist definiert als die Frequenz, die beobachtet wird, wenn
weder antreibende noch dämpfende Kräfte wirksam sind. Die Eigenfrequenz der Feder
berechnet sich also aus m ⋅ &x& + k ⋅ x = 0 zu ω 0 = k / m .
Die Resonanzfrequenz lässt sich aus der Gleichung für die zeitabhängige Amplitude
bestimmen. Dazu betrachtet man die obige Differenzialgleichung nach dem
Einschwingvorgang. Man setzt den Ansatz x = A ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ ) in die Differenzialgleichung
ein und bekommt nach Anwendung des Additionstheorems und nach dem Ordnen der Glieder
folgenden Ausdruck: mit γ = b /(2m)
[(ω
)
]
[(
]
)
− ω 2 A cos ϕ − 2γA ω sin ϕ − F0 / m cos( ω ⋅ t ) − ω 02 − ω 2 A sin ϕ − 2γA ω cos ϕ sin( ω ⋅ t ) = 0
Da diese Gleichung für beliebige Zeiten t gelten soll, müssen die beiden Vorfaktoren in den
eckigen Klammern identisch 0 sein. Daraus ergibt sich die Phasenverschiebung ϕ und ein
F0 / m
Ausdruck für die Amplitude in Abhängigkeit von ω: A(ω ) =
.
(ω 02 − ω 2 )2 + (2γω )2
Setzt man den Nenner null, so bekommt man die Resonanzfrequenz, bei der die Amplitude
b2
2
.
unendlich groß wird. ⇒ ω R = ω 0 − 2γ 2 = ω 02 −
2m 2
Bei einer Überdehnung der Feder gilt das Hook’sche Gesetz nicht mehr und es kommt zu
Nichtlinearitäten. Ebenso, wenn die Geschwindigkeit zu groß wird und die Reibungskraft
proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit wird (⇒Wirbelbildung, turbulente Strömung).
Man erhält dann eine quadratische Differenzialgleichung 2. Ordnung. Zudem könnte die
äußere Erregung gewissen Schwankungen unterliegen (Motor läuft ungleichmäßig bei zu
geringe Leistung).
2
0
[
]
1.2 Lineare Systeme und Schwingungen in der Natur
Weitere lineare Systeme sind Wachstumsmodelle (Populationswachstum, radioaktiver
Zerfall), der elektrische Schwingkreis, Molekühlschwingungen, das Fadenpendel (für kleine
Auslenkungen). In der Natur überwiegen die nicht-linearen Systeme, da nahezu jede
Bewegung störenden äußeren Einflüssen (wie Wirbeln) unterworfen ist oder einfach keine
Idealbedingungen wie homogen Dichte vorliegen.
1.3 Hauptmerkmale linearer und nicht-linearer Systeme
Das Hauptmerkmal linearer Systeme ist, dass Ursache und Wirkung proportional zueinander
sind, wohingegen bei nichtlinearen Systemen Ursache und Wirkung nicht proportional
zueinander sind.
Lineare Systeme lassen sich mit einer periodischen Funktion wie z.B. der
Exponentialfunktion lösen und es gilt das Superpositionsprinzip. Ihre Eigenfrequenz ist nicht
amplitudenabhängig und ihre Amplitude erreicht nur an einer Stelle ein Maximum. Bei nichtlinearen Systemen hingegen, kann das System z.B. zwischen zwei Amplitudenmaxima hin
und her pendeln. Das System ist chaotisch. Außerdem sind die Schwingungsparameter
amplitudenabhängig. Man spricht von einer Amplituden-Frequenzkopplung. Für solche
Systeme lassen sich auch nur Näherungslösungen finden.
1.4 Gleichrichter
12V
~
+12 V
0V
-12 V
2. Versuch
Aufbau:
Pohlsches Rad
Um lineare und nicht-lineare Schwingungen an derselben Anordnung untersuchen zu können,
eignet sich ein Drehpendel (Pohlsches Rad). Dieses besteht aus einer runden Kupferscheibe,
welche in ihrem Schwerpunkt auf einer fixen, drehbaren Achse befestigt ist und mit Hilfe
einer verankerten Spiralfeder zum Hin- und Herschwingen gebracht werden kann. Zusätzlich
kann an dem kleinen Aluminiumzeiger ein Gewicht montiert werden, so dass eine
inhomogene Massenverteilung auf der Scheibe erreicht werden kann. Der Ausschlag des
Drehpendels kann mit Hilfe des Zeigers an der Messskala abgelesen werden.
Das Pohlsche Rad kann mit Hilfe einer regelbaren Wirbelstrombremse gedämpft werden und
über einen drehzahlgeregelten Motor, einen Exzenter und einer Gewindestange angetrieben
werden.
Ausschlag und Drehrichtung können über einen Messfühler registriert und daraus durch eine
Zählelektronik und einen Computer die Geschwindigkeit berechnet und die Messungen
graphisch dargestellt und numerisch ausgewertet werden.
Zuerst wird das lineare System mit homogener Massenverteilung, dann das nicht-lineare
System mit einer zusätzlich angebrachten Masse betrachtet.
2.1 Lineares System
Das lineare System wird mit und ohne Antrieb, aber immer mit einem Dämpfungsstrom von
0,4 A betrachtet.
a) Bestimmung der Frequenz, der Abklingzeit τ und der Dämpfungskonstanten λ
Zur Bestimmung der Frequenz des gedämpften Pendels misst man die Zeit, die das Pendel für
10 Schwingungen benötigt. (5 Messungen). Daraus berechnet sich dann die Frequenz.
Die Anfangsauslenkung hierbei hatte den Wert A0=12.
T [s]
T10 [s]
Versuchsreihe
1
20,7
2,1
2
20,9
2,1
3
20,9
2,1
4
20,8
2,1
5
20,9
2,1
Mittelwert:
20,8
2,1
T10 [s]: Zeit für 10 Schwingungen
T [s]: Zeit für eine Schwingung (Umlaufzeit)
1
f [Hz]: Umlauffrequenz
f =
ω [1/s]
f [Hz]
0,48
0,48
0,48
0,48
0,48
0,48
3,04
3,01
3,01
3,02
3,01
3,01
T
ω [1/s]: Winkelgeschwindigkeit
ω = 2π ⋅ f
Umlaufzeit
20,95
20,9
20,9
20,9
Umlaufzeit [s]
20,9
20,85
20,8
20,8
20,75
20,7
20,7
20,65
0
1
2
3
4
5
6
Versuch
Die Bestimmung der Abklingzeit τ und der Dämpfungskonstante λ erfolgt graphisch. Dazu
misst man 10 Schwingungen lang die Amplitude nach jeder Periode und trägt diese als
Funktion der Zeit auf. (siehe Anlage). τ ist die Zeit, bei dem die Anfangsamplitude auf das
1
-fache abgesunken ist.
e
A
Somit kann bei Aτ = 0 = 4,41 der Wert τ =8,4s abgelesen werden (Graph siehe Anhang)
e
1
und es ergibt sich λ = 0,12 , da τ = 1 / λ .
s
Graph für Ausschwingverhalten ohne Masse!!!!!!
200
150
100
50
0
0,00
-50
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
-100
-150
-200
Daß der Graph anfangs Zacken auf der ersten Auslenkung aufweist, liegt am Zittern der
Hand des Experimentators während des Auslenkens.
Die Bewegungsgleichung für die gedämpfte Schwingung lautet:
Θ ⋅ ϕ&& + γ ⋅ ϕ& + k ⋅ ϕ = 0
Es liegt eine schwache Dämpfung vor und die Schwingung genügt der Gleichung:
k
ϕ (t ) = ϕ 0 ⋅ e −λt ⋅ cos(ω 0 t − β ) mit ω 0 = k/Θ - λ2 und λ2 <
Θ
⎛ λ = Dämpfungskonstante,Θ = Trägheitsmoment⎞
⎜⎜
⎟⎟
k
Winkelrich
tgröße,
β
=
Phasenvers
chiebung
=
⎝
⎠
Für die Maxima der Amplitudenausschläge ergibt sich daraus die Formel:
− λt
ϕ (t ) = ϕ 0 ⋅ e
Die Meßaufzeichnung lieferte folgendes Bild:
200
180
Auslenkung
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
Zeit [s]
Die ersten zwei Meßwerte wurden während des Auslenkens auf die Anfangs- (Maximal-)Amplitude
aufgezeichnet (vgl. „Zittern“ weiter oben) und müssen deshalb bei der Betrachtung der maximalen
Auslenkung über die Zeit nicht berücksichtigt werden.
b) Ermittlung der Resonanzkurve und der Resonanzfrequenz
Nun wird das Drehpendel mit dem Motor als antreibende Kraft betrieben. Nun lautet die
Bewegungsgleichung:
Θ ⋅ ϕ&& + γ ⋅ ϕ& + k ⋅ ϕ = M 0 ⋅ sin(ωt )
Die Schwingung genügt nun der Gleichung:
ϕ (t ) = A(w) ⋅ sin (ωt − β ) + ϕ 0 ⋅ e − λt ⋅ cos(ω 0 t − β )
Dabei geht der 2. Term der Gleichung mit der Zeit gegen Null, so dass für das
Langzeitverhalten des Systems der 1. Term von Bedeutung ist. Man misst daher erst nach
dem Einschwingvorgang. Nun lässt sich in Abhängigkeit der Erregerfrequenz der Ausschlag
des Pohlschen Rades bestimmen. Das Pendel erreicht bei der Resonanzfrequenz ωR dabei sei
Maximum.
Aus den Messdaten wird die Resonanzkurve gezeichnet.
Schalterstellung Amplitude
T10
3
1,0
4
2,4
5
2,6
5-6
5,9
6,6
8,8
6
10,4
7
1,5
6-7
f
3,2
45,4
28,9
25,8
21,6
19,8
18,3
16,6
0,22
0,35
0,39
0,46
0,51
0,55
0,60
18,3
0,55
Der Wert bei Schalterstellung 6-7 ist nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Es handelt
sich hierbei um einen Meßfehler, da der ermittelte Punkt nicht in das Bild, das aus den
restlichen erhobenen Daten her vorgeht, paßt.
Resonanzfrequenz
12
10,4
Amplitude
10
8,8
8
5,9
6
4
2
0
0,20
2,4
3,2
2,6
1,5
1
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
Frequenz [Hz]
Es lässt sich nun die Resonanzfrequenz ablesen. fR=0,51Hz
c) Verifizierung von ∆ω = λ
Aus der Resonanzkurve kann man auch ∆ω ablesen.
⇒
0,50
0,55
0,60
0,65
2.2 Nicht-lineares System
Es wird nun das nicht-lineare System mit der Zusatzmasse betrachtet.
a) Ausschwingverhalten
Das Ausschwingverhalten des nichtlineare System wird mit einem Dämpfungsstrom von 0,4A
und von 0,3A untersucht.
••
•
Man hat folgende Bewegungsgleichung: Θ ⋅ ϕ + γ ⋅ ϕ + k ⋅ ϕ − m ⋅ g ⋅ R ⋅ sin (ϕ ) = 0 (R Radius
des Massenelements von der Achse).
Das Pendel schwingt von der maximalen Auslenkung in die eine Richtung über den
„Totpunkt“ (Ruhepunkt des Zeigers, ohne Einwirkung von außen) in die zweite Hälfte des
Rades und schwingt dort aus, ohne den Totpunkt ein zweites Mal zu passieren.
Ausschwingverhalten bei einem Dämpfungsstrom von 0,4A
200
Amplitude
150
100
50
0
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
-50
Zeit [s]
Ausschwingverhalten bei einem Dämpfungsstrom von 0,3A
200
180
160
Amplitude
140
120
100
80
60
40
20
0
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
Zeit [s]
Beim Vergleich der beiden Diagramme ist zu erkennen, daß sich bei niedrigerem
Dämpfungsstrom (=schwächeres Magnetfeld) die Ausschwingzeit um ca. 10s verlängert.
b) Periodischer Antrieb
Nun wird das nicht-lineare Pendel mit dem Motor angetrieben. Die Bewegungsgleichung
lautet:
••
•
Θ ⋅ ϕ + γ ⋅ ϕ + k ⋅ ϕ − m ⋅ g ⋅ R ⋅ sin (ϕ ) = M 0 ⋅ sin (ωt )
Es tritt nun nur bei gewissen Frequenzen eine periodische Schwingung auf (Bifurkation). Bei
allen anderen Frequenzen ist die Bewegung nicht vorhersehbar, d.h. das System ist chaotisch.
Im Versuch wurde die zweite Bifurkation gefunden.
2. Bifurkation
250
200
150
Amplitude
100
50
0
-500,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
-100
-150
-200
-250
Zeit [s]
Das Phasenraumdiagramm (siehe Handzeichnung in der Anlage) ist nun flächenfüllend, im
Gegensatz zum linearen Pendel, bei dem der Phasenraum (bei Antrieb) sich auf eine Ellipse
beschränkt.