Technische Universität Braunschweig Leichtweiß-Institut für Wasserbau Abteilung Hydromechanik und Küsteningenieurwesen Prof. Dr.-Ing. Hocine Oumeraci WS 2014/2015 Prüfungstermin: 18. März 2015 Musterlösung K L A U S U R HYDROMECHANIK - ohne Unterlagen, keine programmierbaren Taschenrechner, Dauer: 120 Minuten N A M E: V O R N A M E: Matrikel-Nr.: Zur Mitteilung/Veröffentlichung der Prüfungsergebnisse dieser Klausur werden zwei Möglichkeiten angeboten: 1) Ich bin mit der Veröffentlichung meines Prüfungsergebnisses im Internet und auf einem Aushang unter Nennung meiner Matrikelnummer, der Note und der Anzahl der erreichten Punkte einverstanden. Mir ist bewusst, dass bei dieser Art der Veröffentlichung mein Prüfungsergebnis von jedem Teilnehmer, jeder Teilnehmerin dieser Prüfung gelesen werden kann. _______________________________ Unterschrift 2) Ich möchte mein Prüfungsergebnis während der Einsicht erfahren. Aufgabe Zeitbedarf erreichte Punkte 1 14 2 11 3 10 4 25 5 19 6 22 7 19 Summe 120 Die vollständige Bearbeitung der Aufgaben umfasst Erläuterungen zu Ansätzen, Einheiten und ggf. Antwortsätze. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 2 Aufgabe 1: Zeit: 14 Min. Als planender Ingenieur führen Sie Untersuchungen zum Wellenüberlauf an Deckwerksmodellen der Insel Wangerooge an einem Modell in der Versuchshalle des Leichtweiß-Institutes für Wasserbau durch. Es stellt sich die Frage, ob das Material für das Modell richtig ausgesucht wurde. Dafür muss untersucht werden, welche Kräfte auf die einzelnen Modellabschnitte wirken. In Abbildung 1.1 ist die schematische Darstellung eines der Deckwerke in Wangerooge gegeben. Die Sohle des Modells ist komplett mit einer Dichtung abgedichtet. Gegeben: ρW = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s² l1 = 0,1 m l2 = 0,3 m l3 = 0,6 m l4 = 0,2 m h0 = 0,3 m h1 = 0,4 m h2 = 0,1 m RWS A h1= 0,4 m h0 = 0,3 m l4= 0,2 m Abb. 1.1: h0 Modell h2= 0,1 m D Abdichtung B C l3= 0,6 m l2= 0,3 m l1= 0,1 m Boden Schematische Darstellung eines Deckwerksmodell auf Wangerooge (nicht maßstabsgerecht) a) Zeichnen Sie qualitativ die resultierende hydrostatische Druckverteilung an der gesamten Oberfläche des Modells in Abb. 1.1 ein. b) Berechnen Sie die Drücke an den Punkten B, C und D. c) Wie groß sind die resultierenden Druckkräfte pro laufendem Meter auf die einzelnen Abschnitte A-B, B-C und C-D? Muss ein Abschnitt nachgebessert werden, wenn auf das Modell nur eine maximale Kraft von 1 kN/m wirken darf? Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 3 Sie stellen fest, dass der kreisförmige Abfluss im Boden der Versuchseinrichtung nicht dicht verschlossen ist. Aus der Produktinformation entnehmen Sie, dass der Abfluss am besten abgedichtet ist, wenn eine Kraft von 0,3 kN auf den Gummipfropfen wirkt (Abb. 1.2). Gegeben: ρW = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s² D = 0,4 m l3 = 0,6 m h0 = 0,3 m h2 = 0,1 m l4 = 0,2 m RWS h0 = 0,3 m FD B C D = 0,4 m Gummipfropfen D Modell h2= 0,1 m Abdichtung Abfluss l4= 0,2 m l3= 0,6 m Boden Abb. 1.2: Schematische Darstellung des Abflusses der Versuchseinrichtung (nicht maßstabsgerecht) d) Wie groß ist die Kraft FD, die auf den Pfropfen (Abb. 1.2) wirkt? Liegt eine optimale Dichtung durch eine wirkende Kraft mit 0,3 kN vor und wenn nicht, wie viel cm Wasser müsste aus der Versuchseinrichtung abgeschöpft oder hinzugegeben werden, damit dies erreicht wird.? Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 4 Aufgabe 2: Zeit: 11 Min. Der in Abb. 2.1 dargestellte Schwimmponton trägt ein Offshore-Baugerät. Der symmetrische Ponton verfügt über vier zylindrische Schwimmkörper (Durchmesser D = 20 m). Die Gesamtmasse m des Pontons beträgt 50.000 t und das Flächenträgheitsmoment beträgt I0 = 2,4∙106 m4. Die vier Schwimmkörper weisen eine Höhe von hSchwimm = 60 m auf (siehe Abb. 2.1). Gegeben: I0 = 2,4∙106 m4 b = 115 m D = 20 m ρw = 1000 kg/m³ a = 10 m L = 75 m g = 9,81 m/s² hSchwimm = 60 m m = 50.000 t a) Querschnitt b) Draufsicht b D b a L t L b hschwimm L D Abb. 2.1: Symmetrischer Ponton auf vier kreiszylindrischen Schwimmkörpern (nicht maßstabsgerecht): a) Querschnitt, b) Draufsicht a) Wie groß ist die Eintauchtiefe t der Schwimmkörper? b) Berechnen Sie den Körperschwerpunkt des Pontons. Dabei können die Aufbauten auf der Plattform vernachlässigt werden. Bestimmen Sie anschließend die metazentrische Höhe hM. Sollte Aufgabenteil a) nicht berechnet worden sein, nehmen Sie bitte eine Eintauchtiefe t von 40 m an. c) Wie beurteilen Sie die Schwimmlage des Pontons? Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 5 Aufgabe 3: Zeit: 10 Min. Ein Wagen fährt mit der Beschleunigung a, parallel zur Rampe, einen gefüllten Wassertank auf einer um α= 30° geneigten Rampe hinab (siehe Abb.3.1). Der Wassertank ist bis zu einer Wasserhöhe von h = 1,7 m gefüllt. Gegeben: ρw = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s² L = 10,0 m α = 30° H = 0,3 m h = 1,7 m a = 0,54 m/s² L = 10,0 m H = 0,3 m Druckmessdose (DMD) ρw = 1000 kg/m3 h = 1,7 m a Rampe α=30° Abb. 3.1: Wagen mit Wassertank auf einer Rampe herunter (nicht maßstabsgerecht) a) Wie groß ist die vertikale und horizontale Beschleunigung des Wassers, wenn der Wagen aus dem Ruhezustand mit der Beschleunigung a die Rampe herunterrollt? Wie hoch ist die zu erwartende Auslenkung e des Wasserspiegels an der Behälterwand? Schwappt Wasser aus dem Tank? b) Berechnen Sie den Druck an der Position der Druckmessdose (DMD) in der linken Ecke des beschleunigten Behälters. Falls Sie Aufgabenteil a) nicht gelöst haben sollten, nehmen Sie eine Auslenkung e von 22 cm und eine vertikale Beschleunigung ay = 0,27 m/s² an. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 6 Aufgabe 4: Zeit: 25 Min. Aus einem sehr großen Wasserbehälter mit freier Oberfläche und konstantem Wasserspiegel (v0 = 0) wird durch eine Rohrleitung (Durchmesser D1) Wasser entnommen. Der Ausfluss am unteren Ende der Rohrleitung kann durch den Anbau eines Diffusors reguliert werden. Ein Diffusor ist ein Bauteil, das in Fließrichtung den Querschnitt vergrößert (von D1 auf D3). (siehe Abb. 4.1) Für diese Aufgabe kann die Strömung als reibungs- und verlustfrei betrachtet werden. Gegeben: v0 = 0 m/s ρw = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s² H = 7,50 m h1 = 3,00 m h2 = 0,80 m D1 = 0,25 m D3 = 0,30 m RWS v0=0 sehr großer Wasserbehälter h1 = 3,00 m h2 = 0,80 m 1 H = 7,50 m Punkt 1 D1 Punkt 2 Diffusor 3 2 D1 D3 Punkt 3 Abb. 4.1: Wasserbehälter mit Rohrleitung und optimalem Diffusor (nicht maßstabsgerecht) a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v und die Drücke p in den Punkten 1 und 2 sowie den Ausfluss Q vor Anbau des Diffusors. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v und die Drücke p in den Punkten 2 und 3 nach Anbau des Diffusors. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 7 c) Ist die Anordnung in Aufgabenteil b) möglich, ohne dass es in der Rohrleitung zu Kavitation kommt? Beantworten Sie diese Frage bitte zunächst anhand der von Ihnen bereits durchgeführten Berechnungen und begründen Sie Ihre Antwort. Kennzeichnen Sie die Stelle in der Rohrleitung in Abb. 4.1, an der die Gefahr für das Auftreten von Kavitation am größten ist. Begründen Sie Ihre Antwort stichwortartig. Sollte Kavitation auftreten, dann schlagen Sie eine Änderung an dem System vor, so dass Kavitation vermieden wird. An die Wasserleitung an Punkt 2 wird statt eines Diffusors ein düsenförmiges Endstück mit sechs Schrauben angeflanscht, das den Rohrdurchmesser von D1 auf DD verkleinert (siehe Abb. 4.2). Die wirkenden Kräfte sind gleichmäßig auf die Schrauben verteilt. Nehmen Sie an, dass der Ausfluss ins Freie Q = 25 l/s beträgt. d) Berechnen Sie die auf die Flanschverbindung wirkende Kraft, die durch eine einzelne Schraube aufgenommen wird. Reibungsverluste und Gewichtskräfte sind zu vernachlässigen. Gegeben: D1 = 250 mm ρw = 1000 kg/m³ DD = 40 mm g = 9,81 m/s² m = 400 kg Q = 25 l/s e = 0,8 m L = 1m A e Flansch mit Schraubverbindung (6 Schrauben) L DD D1 2 Q Punkt 2 Abb. 4.2: Punkt D Rohr mit angeflanschtem, düsenförmigem Auslassrohr und drehbar gelagerte Platte (nicht maßstabsgerecht) Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 8 Nach dem Austritt aus der Düse trifft der Wasserstrahl auf eine an der Oberkante A drehbar gelagerte Platte. Die Platte hat eine Länge von L = 1 m, eine gleichmäßig verteilte Masse von m = 400 kg und wird in einer vertikalen Entfernung vom Drehpunkt A von e = 0,8 m vom Wasserstrahl getroffen. e) Berechnen Sie den Auslenkwinkel , um den die Platte durch den Wasserstrahl ausgelenkt wird. Sollte die Stützkraft SD aus Aufgabenteil d) nicht errechnet worden sein, nehmen Sie hierfür ein SD von 500 N an. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 9 Aufgabe 5: Zeit: 19 Min. An einem kleinen Hafen soll eine Anlage zur Befüllung der Schiffe mit Frischwasser installiert werden. Dabei soll das Wasser mittels einer Pumpe durch ein Druckrohrsystem mit freiem vertikalen Auslauf aus einem sehr großen Wassertank bei freier Wasseroberfläche (v0 = 0) auf das angelegte Schiff gefördert werden (siehe Abb. 5.1). Sie werden als planender Ingenieur mit der Dimensionierung der Anlage beauftragt. Gegeben: w = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s² = 10-6 m²/s E = 0,5 K = 0,3 VTank = 300 m³ k1=k3 = 0,10 mm k2 = 0,02 mm = 0,8 D1 = 0,50 m D2 = 0,40 m D3 = 0,20 m 5,00 m K k1 D1 2,00 m k3 pp Pumpe k2 K D2 D3 Q A=0 D1 k1 Sehr großer Wassertank (mit freier Wasseroberfläche) 4,00 m p 0=0 9,00 m v0=0 k1 K D1 E 2,00 m Frischwassertank Schiff Abb. 5.1: Anlage zur Befüllung der Frischwassertanks von Schiffen (nicht maßstabsgerecht) 6,00 m 4,00 m Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 10 Die Anlage soll so bemessen werden, dass ein Frischwassertank mit einem Volumen von 300 m³ innerhalb von 25 Minuten befüllt werden kann. a) Berechnen Sie den erforderlichen Durchfluss Q in dem System (siehe Abb. 5.1). b) Berechnen Sie die erforderliche manometrische Förderhöhe hman. c) Berechnen Sie die erforderliche Bruttoleistung der Pumpe. Der Wirkungsgrad der Pumpe beträgt = 80 %. d) Welcher Druck pp in [Pa] ergibt sich direkt hinter der eingebauten Pumpe (siehe Abb. 5.1)? Hinweis: Es ist auch eine Lösung ohne Teilaufgabe b) möglich! Bachelorklausur Hydromechanik Abb. 5.2: Moody-Nomogramm WS 2014/2015 11 11 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 12 Aufgabe 6: Zeit: 22 Min. Der in Abbildung 6.1 dargestellte Fließgewässerquerschnitt hat eine Wassertiefe von h = 1,80 m. Am rechten Ufe schließt eine senkrechte Wand an, die eine Straße begrenzt. Die Neigung des linken Ufers beträgt 1:2. Oberhalb dieser Böschung befindet sich eine Blumenwiese. Der Abflussbeiwert von Strickler über den gesamten benetzten Umfang des Fließquerschnitts beträgt kSt = 20 m1/3/s und die Sohlneigung beträgt 37 ‰. Gegeben: h = 1,80 m b = 5,00 m kst = 20 m1/3/s I = 37 ‰ 1: 2 g = 9,81 m/s² h 1,80 m b 5, 00 m Abb. 6.1: Fließquerschnitt A mit Blumenwiese (nicht maßstabsgerecht) a) Berechnen Sie den Abfluss Q und die dazugehörige mittlere Fließgeschwindigkeit v für die vorliegende Wassertiefe h = 1,80 m. b) Bestimmen Sie den spezifischen Durchfluss q des Flussquerschnittes A unter Verwendung der mittleren Gewässerbreite. Sollte Qges aus Aufgabenteil a) nicht berechnet worden sein, nehmen Sie hierfür 50 m³/s an. c) Der Fließzustand in Fließquerschnitt A befindet sich im Grenzzustand. Berechnen Sie hgr und vgr und tragen Sie die Werte hgr und vgr²/2g in das Diagramm der Energiehöhe für konstanten Abfluss q (Abb. 6.2) ein. Sollte q in Aufgabenteil b) nicht berechnet worden sein, kann q = 7,5 m³/(sm) angenommen werden. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 13 hE [m] q=konst. 4,0 3,0 2,0 1,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 h [m] Abb. 6.2: Diagramm der Energiehöhen hE=f(h) für konstanten Abfluss q d) Wie groß ist die Fließgeschwindigkeit bei einer Wassertiefe h = 1 m nach dem Diagramm in Abb. 6.2 und wie groß ist die Gesamtenergie in dem System? Welcher Fließzustand liegt vor? Nutzen Sie das Diagramm in Abb. 6.2 und zeichnen Sie die Werte ein. e) Wie groß ist die Wassertiefe des Flusses bei einer Gesamtenergie von 3,3 m im strömenden Zustand? Nutzen Sie auch hier Abb. 6.2 und zeichnen Sie den Fall in das Diagramm mit ein. f) Wie werden die beiden Wassertiefen genannt, die bei der Energiehöhe von 3,3 m abgelesen werden? Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 14 Untersuchungen haben ergeben, dass in Zukunft deutlich höhere Abflüsse Q zu erwarten sind, da Kühlwasser aus einem Kraftwerk zugeführt werden soll. Wegen der vorhandenen Straße oberhalb des rechten Ufers kann lediglich an der linken Uferseite der Fließquerschnitt erweitert werden. Die maximal mögliche Wassertiefe auf dem neu geschaffenen Vorland (siehe Abb. 6.3) darf den Wert hv = 1,00 m nicht überschreiten, da es ansonsten zur Überschwemmung der Straße kommen könnte. Gegeben: h = 1,80 m hV = 1,00 m g = 9,81 m/s² kst = 20 m1/3/s kst,V = 12 m1/3/s I = 37 ‰ b = 5,00 m Qmax = 120,00 m³/s Hauptgerinne Vorland 1: 3 hV 1, 00 m 1: 2 h 1,80 m bV ??? m b 5, 00 m Abb. 6.3: Fließquerschnitt B mit Vorland (nicht maßstabsgerecht) g) Welche Breite bV muss das Vorland haben, damit ein Abfluss von Qmax = 120,00 m³/s mit hv = 1,00 m abgeführt werden kann. Der Stricklerbeiwert kst,V im Vorland kann mit 12 m1/3/s angesetzt werden. Welche Fließgeschwindigkeiten treten jeweils im Hauptgerinne (mit kSt = 20 m1/3/s) und im Vorland auf? (Sollte bei Ihren Berechnungen eine Iteration erforderlich sein, brechen Sie diese nach drei Berechnungsschritten ab!) Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 15 Aufgabe 7: Zeit: 19 Min. An einem Stausee wird der Wasserstand auf h1 = 4,8 m aufgestaut, während sich ein Wasserstand des Gewässers unterhalb bei h2 = 1,2 m einstellt. Die Bodenschichten an der Staumauer werden durch den Potentialunterschied zwischen Ober- und Unterwasser durchströmt. In der Systemskizze in Abb. 7.1. sind das Bauwerk und die Bodenschichten dargestellt. Gegeben: h1 = 4,8 m d50,A = 4,0 mm h2 = 1,2 m kf,A = 3∙10-2 m/s ρWasser = 1000 kg/m³ kf,B = 2,5∙10-4 m/s 1,5 m 5,0 m h1 = 4,8 m h2 = 1,2 m kf,B = 2,5∙10-4 m/s SA = 6,0 m Boden A kf,A = 3∙10-2 m/s Boden B 5,0 m Boden B 2,5 m Boden A 1,5 m SB = 0,5 m undurchlässig Abb. 7.1: Systemskizze der Staumauer mit Bodenschichtung der Gründung (nicht maßstabsgerecht) a) Welchen Annahmen unterliegt die „Darcy-Gleichung“? Nennen Sie drei Stichpunkte. b) Erläutern Sie die Begriffe laminare Strömung und turbulente Strömung. c) In welche Anordnungen der Bodenschichten zueinander kann in Bezug auf die Strömungsrichtung unterschieden werden? Nennen Sie die Fachbegriffe und erklären Sie diese kurz. d) Ermitteln Sie den kürzesten Sickerweg L, zeichnen Sie diesen in Abb. 7.1 mit der Fließrichtung ein und bemaßen Sie die Skizze. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 16 e) Bestimmen Sie den äquivalenten Durchlässigkeitsbeiwert kf,äq der beiden Bodenschichten A und B mit den Durchlässigkeitsbeiwerten kf,A und kf,B für den Sickerweg aus Aufgabe d). Sollte Aufgabenteil d) nicht gelöst werden, können folgende Werte angenommen werden: ∆Lges = kürzester Sickerweg = 12,0 m mit ∆LA = 10 m und ∆LB = 2 m f) Ermitteln Sie die Sickerwassermenge Q pro laufendem Meter unter der Staumauer nach Darcy unter der Annahme, dass die Wasserstände h1 und h2 sowie die Durchströmung der Bodenschichten stationär sind. Sollte der Aufgabenteil e) nicht gelöst werden können, kann eine äquivalenter Durchlässigkeitsbeiwert von kf,äq = 3,0 ∙ 10-3 m/s angenommen werden. g) Schlagen Sie zwei Maßnahmen zur Vermeidung des hydraulischen Grundbruchs vor. h) Wie verhalten sich der hydraulische Gradient, der Durchlässigkeitsbeiwert kf und die Filtergeschwindigkeit vf zueinander? Kreuzen Sie in der Tabelle an (fünf Kreuze!). Veränderung Wie verhält sich der hydraulische Gradient i, wenn sich der Strömungszustand von laminar auf turbulent ändert? Wie verhält sich der Durchlässigkeitsbeiwerts eines Bodens, wenn die Schichtdicke zunimmt? Wie verhält sich der Durchlässigkeitsbeiwert kf,A, wenn der charakteristische Korndurchmesser d10 durch Materialumlagerung kleiner wird? Wie verhält sich die Filtergeschwindigkeit vf mit steigender Temperatur? Wie verhält sich der kritische hydraulische Gradient ikrit, wenn die Lagerungsdichte des Bodens zunimmt? größer gleich geringer Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 17 Musterlösung Aufgabe 1 1a) Hydrostatische Druckverteilung an der Oberfläche des Modells: RWS h0 = 0,3 m A h2= 0,1 m D l4= 0,2 m l3= 0,6 m Boden 1b) Berechnung der Drücke in den Punkten B, C und D. Berechnung des hydrostatischen Drucks: p w g h Druck im Punkt B und C: hB 0,3m 0,1m 0, 2 m hC hB 0, 2 m pB ,C 1000 kg m N 9,81 2 0,2m 1962 2 bzw. Pa 2 m s m Druck im Punkt D: hD 0,3 m pD 1000 Modell B C h1= 0,4 m kg m N 9,81 2 0,3m 2943 2 bzw. Pa 2 m s m l2= 0,3 m l1= 0,1 m Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 18 1c) Bestimmung der resultierenden Kräfte. Abschnitt A-B: l A B (0, 2m) 2 (0, 2m) 2 0, 283 m FA B 0,5 pb l A B 0,5 1,962 kN kN m 0,283 0,277 m2 m Abschnitt B-C: lB C 0,6 m FB C pb lB C 1,962 kN kN 0,6m 1,177 2 m m Abschnitt C-D: lC D (0, 2m) 2 (0,1m) 2 0, 224 m FC D , Rechteck pC lC D 1,962 kN kN 0,224m 0,44 2 m m kN kN kN FC D , Dreieck 0,5 ( pD pC ) lC D 0,5 2,943 2 1,962 2 0,224m 0,11 m m m Nur Abschnitt B-C muss nachgebessert werden, da dort die maximale Kraft von 1 kN/m überschritten wird. 1d) Berechnung der Kraft im Punkt D: FD p A Berechnung der Fläche: A D2 4 (0,4m) 2 4 0,126m 2 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 19 Berechnung des Druckes im Punkt D: p pD g h0 1000 FD 2943 kg m N m 9,81 0,3 2943 m2 s2 m2 N 0,126m 2 370,82 N 0,37kN 2 m Berechnung der Wasserhöhe: 0,3kN A p D2 4 g h 300 N 0,126m 2 1000 kg m 9,81 2 h 2 m s h 0,24m Berechnung der Differenz der Wasserhöhen: 0,3m 0,24m 0,06m Es müssen 0,06 m Wasser abgeschöpft werden um eine optimale Abdichtung zu gewährleisten. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 Musterlösung Aufgabe 2 2a) Berechnung der Eintauchtiefe t. Gewichtskraft: FG m g 50.000.000 [kg ] 9,81[ m / s ²] 490.500.000 N 490,5 106 N Auftriebskraft: D2 FV VV g 4 t g 4 FG FV (20m) 2 490,5 106 N 4 t 1000kg / m³ 9,81m / s ² 4 t 490,5 106 N 39, 789 m (20m) 2 1000kg / m³ 9,81m / s ² 2b) Berechnung der metazentrische Höhe hM. Berechnung des Körperschwerpunkts hs: hs Vi S y ,i V 4 D² 4 hSchwimm 12 hSchwimm a b ² (hSchwimm a / 2) 4 D² hSchwimm a b² 4 (20m)² 60m 30m 10m (115m)² 65m 52, 291 m (20m)² 60m 10m (115m)² i Verdrängtes Wasservolumen VA: D2 (20m)2 VV 4 t 4 39,789m 49.999,956m³ 50.000 m³ 4 4 Abstand zwischen Körper- und Verdrängungsschwerpunkt hk: hk hs hv hs t 52, 291m 19,894m 32,397 m 2 20 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 Metazentrische Höhe hM: hM I0 2, 4 106 m hk 32,397 m 15, 60 m 49.999,956m³ VV 2c) Schwimmlage hM > 0 stabile Schwimmlage 21 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 22 Musterlösung Aufgabe 3 3a) Vertikale und horizontale Beschleunigung des Wassers, wenn der Wagen die Rampe herunterfährt. L = 10,0 m H = 0,3 m Druckmessdose (DMD) ρw = 1000 kg/m3 h = 1,7 m ܽ௫ ܽ௬ 30° ܽ Rampe α=30° Aus der gesamten Beschleunigung kann nun der Anteil der horizontalen und vertikalen Beschleunigung errechnet werden. ax a cos( ) 0,54 cos(30) 0, 47 m / s ² ahorizontal a y a sin( ) 0,54 sin(30) 0, 27m / s ² avertikal Aus den Beschleunigungsanteilen, der Länge des Tanks und der Erdbeschleunigung lässt sich die zu erwartende Auslenkung e des Wassers berechnen. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 23 L = 10,0 m H = 0,3 m e ax ay g h = 1,7 m 30° a ax e ax ( L / 2) e g ay L / 2 g ay 0, 47 m / s ² (10 m / 2) e 0, 246 m 24, 6 cm 9,81 m / s ² 0, 27m / s ² 24,6 cm < 30 cm Es schwappt kein Wasser aus dem Behälter. 3b) Druck an der Druckmessdose in der linken Ecke. pDMD ( g a y ) (h e) pDMD 1000kg / m³ (9,81m / s ² 0, 27m / s ²) (1, 7m 0, 246m) 18564,84 Pa Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 24 Musterlösung Aufgabe 4 4a) Berechnung der Geschwindigkeiten v1 und v2 sowie der Drücke p1 und p2 ohne Diffusor: RWS Schnitt 0 v0=0 sehr großer Wasserbehälter Schnitt 1 h1 = 3,00 m h2 = 0,80 m 1 H = 7,50 m Punkt 1 D1 Punkt 2 Bezugshorizont 2 D1 Schnitt 2 Bernoulli-Gleichung für die Schnitte 0, 1 und 2 und Berechnung von v2: Freie Oberfläche und freier Ausfluss: p0=0, p2=0, Bezugshöhe h=0 auf Höhe der Rohrachse im Ausfluss: z2= 0, z0=7,5m, z1=3,7m 0 0 0 0 7,5 3,7 v02 p0 v12 p1 v22 p z1 2 z2 hE konst. 7,5m z0 2g g 2g g 2g g v22 7,5 m 2g v2 2 g 7,5m 12,131 m (entspricht Formel nach Toricelli) s Berechnung des Durchflusses mit v2: Q v A 12,131m / s (0, 25m) 2 m3 0,595 s Laut Konti-Gleichung sind die Geschwindigkeiten in den Punkten 1 und 2 konstant, da gleiche Rohrdurchmesser vorliegen, Berechnung von v1‘ und p1 bzw. v2 und p2: Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 25 m 12,131 ² p p s 7,5m 1 3, 7 m 1 3, 7 m, 2 g g g m s p1 36.297 Pa , p2 0 v1 v2 konst. 12,13 4b) Berechnung der Geschwindigkeiten v2 und v3 sowie der Drücke p2 und p3 mit Diffusor: RWS Schnitt 0 v0=0 sehr großer Wasserbehälter h1 = 3,00 m h2 = 0,80 m 1 H = 7,50 m Punkt 1 D1 Diffusor Punkt 2 Bezugshorizont 3 2 D1 D3 Punkt 3 Schnitt 2 Schnitt 3 Bernoulli-Gleichung für die Schnitte 0, 2 und 3 und Berechnung von v3: Freie Oberfläche und freier Ausfluss: p0=0, p3=0. Der Bezugshorizont für die Energiehöhen wird bei z2=z3=0, d.h. auf Höhe der Rohrachse im Ausfluss: z0=7,5m. 0 0 2 7,5 0 0 v02 v32 p p0 v22 p2 z2 3 z3 hE konst. 7,5m z0 2g g 2g g 2g g v32 7,5 2g v3 2 g 7,5m 12,131 m (entspricht Formel nach Toricelli) s (trotz der größeren Austrittsöffnung ist die Austrittsgeschwindigkeit identisch mit der aus Aufgabenteil a). Aufgrund des größeren Querschnitts ist jedoch der Durchfluss größer.) Berechnung des Durchflusses mit v3: Q v A 12,131m / s (0,3m) 2 m3 . 0,857 s Die Geschwindigkeit im Punkt 2 muss mit der Konti-Gleichung berechnet werden, da in den Punkten 1 und 2 verschiedene Rohrdurchmesser vorliegen, Berechnung von v2 und p2: Bachelorklausur Hydromechanik Q konst. v2 A2 v3 A3 v22 15,55m 2g 15,55m WS 2014/2015 v2 v3 26 A3 (0,3m) 2 / 4 m 12,131m / s 17, 469 2 A2 (0, 25m) / 4 s p2 0 g 7,5m p2 8, 05m, g p2 78970,5 Pa 4c) Auftreten von Kavitation? Die Druckhöhe in Punkt 2 beträgt p2/ρg=-8,05m und unterschreitet damit den zulässigen Unterdruck von -7,0m. Die Anordnung aus Aufgabenteil b) ist somit nicht möglich, ohne dass Kavitation auftritt. Vom Ausfluss in Punkt 3 aus betrachtet beginnt der Bereich des Unterdrucks im Diffusor mit zunehmender Querschnittseinengung bis an Punkt 2. Durch die Verringerung des Querschnitts steigt die Geschwindigkeit und der Druck sinkt auf den in b) berechneten Wert. Der Unterdruck entsteht erst im Rohr durch die große Geschwindigkeitshöhe. Es gibt also einen Bereich in den Kavitation auftreten kann. Dieser Bereich ist die komplette Verengung durch den Diffusor. 4d) Kraft auf die Schrauben im Flansch. A e Flansch mit Schraubverbindung (6 Schrauben) Bezugshorizont L DD D1 2 Q Punkt 2 Schnitt 2 Punkt D Schnitt D In den Schnitten 2 und D herrschen unterschiedliche Druck- und Geschwindigkeitsverhältnisse, wodurch auch unterschiedliche Stützkräfte in diesen Schnitten wirken. Die Differenz dieser Kräfte muss durch die Schrauben der Flanschverbindung aufgenommen werden. Im Schnitt D liegt freier Ausfluss mit pD = 0 vor. Die Stützkraft reduziert sich daher auf den Impuls: Bachelorklausur Hydromechanik 0 SD Qv pA 1000 WS 2014/2015 27 kg m³ m 0,025 19,89 497, 25N m³ s s Die Ausflussgeschwindigkeit vD beträgt: vD Q 0,025m³ / s m 19,89 2 A D (0,04m) s 4 Für die Berechnung der Stützkraft im Schnitt 2 muss zunächst der Rohrinnendruck in Schnitt 2 berechnet werden (mit der Bernoulli-Gleichung). Es gilt pD = 0 (freier Ausfluss) und z2 = zD = 0 (da beide Schnitte auf gleicher Höhe). Q 0,025m³ / s m Die Geschwindigkeit im Schnitt 2 beträgt: v 2 A (0, 25m)2 0,51 s 2 4 v 22 p 2 v 2D p D z2 z D h e konst. 2g g 2g g (0,51m / s) 2 p 2 (19,89m / s) 2 0 00 2g 2g g p 2 (19,89m / s) 2 (0,51m / s) 2 20,15m 2g 2g g p 2 197676 Pa Damit kann die Stützkraft in Schnitt 2 berechnet werden: S2 Qv 2 p 2 A 1000 kg m³ m (0, 25m) 2 0,025 0,51 197676Pa 9716N m³ s s 4 Die Differenz von S2 – SD = 9218,75 N muss durch die 6 Schrauben aufgenommen werden. Jede Schraube muss daher eine Kraft von 1536,46 N aufnehmen. 4e) Auslenkungswinkel der vom Wasserstrahl getroffenen Platte Die Platte wird vom austretenden Wasserstrahl getroffen. Die Aufprallkraft entspricht dem Impuls des austretenden Wasser, der bereits in d) zu SD = 497,25 N berechnet wurde. Das durch den Wasserstrahl auf die Platte entstehende Moment um den Drehpunkt A beträgt Sse. Die Platte hat eine Masse von m = 400 kg, die im Flächenschwerpunkt bei L/2 angenommen werden kann. Durch die Auslenkung der Klappe entsteht durch diese Masse ein Moment, dass mit zunehmender Auslenkung größer wird. Das Momentengleichgewicht um A führt zur Lösung der Aufgabe: Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 L sin 2 SD e 497, 25N 0,8m sin 0, 203 m g L / 2 400kg 9,81m / s² 1,0m / 2 11,70 M A 0 SD e m g A L/2 e sinL/2 mg SD 28 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 29 Musterlösung Aufgabe 5 5a) Berechnung des erforderlichen Durchflusses: Vorgabe: 300 m³ in 25 Minuten Q 300 0, 2 m ³ / s 25 60 5b) Bernoulli-Gleichung zwischen dem konstanten freien Wasserspiegel im Tank und dem freien Ausfluss v0 2 p v2 p 0 z0 hman 3 3 z3 hi hr 2 g g 2 g g Berechnung der Fließgeschwindigkeiten mit Q = 0,2 m³/s v1 Q 4 0, 2m³ / s 1, 02 m / s A (0,5m) 2 v2 Q 4 0, 2m³ / s 1,59 m / s A (0, 4m) 2 v3 Q 4 0, 2m³ / s 6,37 m / s A (0, 2m) 2 Einzelverluste vi 2 v32 v12 v12 v2 2 hi i 2 g E 2 g K 2 g K 2 g K 2 g hi (0,5 0,3) (1, 02m / s ) 2 (1,59m / s )2 (6,37m / s) 2 0,3 0,3 0, 70 m 2 9,81m / s ² 2 9,81m / s ² 2 9,81m / s ² Streckenverluste Rohr 1: Re vD 1, 02m / s 0,5m 5,1 105 106 m ² / s 0,1mm k 2 104 D 500mm Moody-Diagramm = 0,0155 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 30 Rohr 2: Re vD 1,59m / s 0, 4m 6,36 105 6 10 m ² / s k 0, 02mm 5 105 D 400mm Moody-Diagramm = 0,013 Rohr 3: Re vD 6,37 m / s 0, 2m 1,3 106 6 10 m ² / s 0,1mm k 5 104 D 200mm Moody-Diagramm = 0,017 hr i 0, 0155 vi 2 Li 2 g Di (1, 02m / s )2 2m 4m 4m (1,59m / s)2 5m (6,37m / s )2 2m 0, 013 0, 017 0,389 m 2 9,81m / s ² 0,5m 2 9,81m / s ² 0, 4m 2 9,81m / s ² 0, 2m Berechnung der manometrischen Förderhöhe (z = 0 im Wasserspiegel des Tanks): p v2 p v0 2 0 z0 hman 3 3 z3 hi hr 2 g g 2 g g hman (6,37m / s )2 1, 0m 0, 70m 0,389m 4,155 m 2 9,81m / s ² 5c) Erforderliche Pumpenleistung PB PB 1 g Q hman 1 1t / m³ 9,81m / s ² 0, 2m³ / s 4,155m 10,19 kW 0,8 5d) Bernoulli-Gleichung zwischen den Schnitten 3 und p direkt hinter der Pumpe p v2 p v12 p z p 3 3 z3 h i h r 2g g 2g g Bachelorklausur Hydromechanik 0, 053m pp g WS 2014/2015 3, 0m 2, 068m 0m 1, 0m h i h r Einzelverluste hinter der Pumpe: (6,37m / s)2 h i 0,3 2 9,81m / s² 0, 62 m Streckenverluste hinter der Pumpe: h r i pp g pp g vi 2 L (1, 02m / s) 2 4m (6,37m / s) 2 2m 0, 0155 0, 017 0,36 m 2g D 2 9,81m / s² 0,5m 2 9,81m / s² 0, 2m 2, 068m 0m 1, 0m 0, 62m 0,36m 3, 0m 0, 053m 0,995 m 0,995 m p p 9760,95 Pa 31 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 32 Musterlösung Aufgabe 6 6a) Die Fließformel nach Gaukler/Manning/Strickler lautet: Q A k st R 2 / 3 I1/ 2 Der Fließquerschnitt besteht aus zwei Teilen: 1: 2 1 h 1,80 m 2 b 5, 00 m 1,8m 3, 6m 3, 24 m² 2 U1 1,8² 3, 6² 4, 03 m A1 A 2 5, 0m 1,8m 9 m² U 2 5 m 1,8 m 6,8 m A gesamt 12, 24 m² U gesamt 10,83 m Der kst-Wert ist gegeben und beträgt 20 m1/ 3 / s . Der hydraulische Radius ergibt sich aus dem gesamten benetzten Umfang U und dem gesamten Fließquerschnitt A: R R A ges U ges 12, 24 m² 1,13 m 10,83m Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 33 Die Sohlneigung I = 37 ‰ Damit ergibt sich die Durchflussmenge Q zu: Q 12, 24 m² 20 m1/3 / s 1,13 2/3 m 0, 037 51, 09 m³ / s Und die mittlere Fließgeschwindigkeit v über den Fließquerschnitt A: v Q 51, 09 m³ / s 4,17 m / s A ges 12, 24 m² 6b) Spezifischer Durchfluss. Gewässerbreite bei h/2: bm 5, 0 m 1,8 m 2 6,8 m 2 Q 51, 09 m³ / s aus a) q Q / bm 51, 09 m³ / 6,8 m 7,51 m³ / s m s 6c) Im Querschnitt wird Grenzzustand angenommen. hgr 3 q2 7,512 3 1,8 m g 9,81 Bestimmung der kritischen Fließgeschwindigkeit, die bei der Grenzwassertiefe hgr auftritt. vgr hgr g 1,8 9,81 4, 2 m / s vgr ² 2g (4, 2m / s )² 0,9 m 2 9,81m / s ² Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 hE [m] q=konst. 4,0 hE,min 3,0 vgr ² 2g 0,9 m 2,0 hgr= 1,8 m 1,0 0 1,0 1,8 2,0 3,0 4,0 h [m] 6d) Wie groß ist die Fließgeschwindigkeit bei h = 1 m? Es werden die Wassertiefe und die Geschwindigkeitshöhe eingetragen. hE [m] q=konst. 4,0 3,3 hE = 3,3 m 3,0 v1 ² 2g 2,0 1,0 h1 0 1,0 2,0 3,0 4,0 h [m] 34 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 v1 ² hE h1 3,3 m 1 m 2,3 m 2g v1 2,3 m 2 g 2,3 m 2 9,81m / s ² 6, 72 m / s Die Energiehöhe beträgt hE = 3,3 m. Es herrscht schießender Abfluss. 6e) Die Energiehöhe beträgt hE = 3,3 m. hE [m] q=konst. 4,0 3,3 v2 ² 2g 3,0 2,0 h2 1,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 h [m] Die Wassertiefe im strömenden Zustand beträgt bei einer Energiehöhe von 3,3 m 2,85 m. 6f) Konjugierte Wassertiefen 35 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 36 6g) Fließquerschnitt des Hauptgerinnes lässt sich problemlos berechnen: Hauptgerinne Vorland hV 1, 00 m 1: 3 1: 2 h 1, 80 m bV ??? m b 5, 00 m A Haupt A ges h v (h 2 b) 12, 24 m² 1m (3, 6 m 5 m) 20,84 m² U Haupt U ges 2 h v 10,83m 2 1, 0m 12,83 m R 20,84 m² 1, 62 m 12,83m Q 20,84 m² 20 m1/3 m³ 1, 62 2/3 m 0, 037 110,59 s s Mit einer Fließgeschwindigkeit von v Q 110,59 m³ / s 5,31 m / s A 20,84 m² Daraus folgt, dass auf dem Vorland noch Q 120 m³ m³ m³ abgeführt 110,59 9, 41 s s s werden müssen. 3m 1m A Vorl 1m b v b v 1,5 2 U Vorl b v (3m)² 1m ² b v 3,16 3m 1m 1/3 1m b v m³ m 2 3m 1m 1m b v Q 9, 41 12 s 2 s b v (3m)² 1m ² b v 3, 44 m Mit einer Fließgeschwindigkeit von v Q 9, 41 m³ / s 1,9 m / s 3m 1m A 3, 44 m 1m 2 2/3 0, 037 Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 37 Musterlösung Aufgabe 7 7a) Darcy-Gleichung Laminare Strömung Re ≤ 4 - 5 Stationäre Strömung homogenes poröses Medium isotropes poröses Medium 7b) Laminare Strömung: Die Stromlinien verlaufen parallel, die Reynoldszahl liegt im Bereich Re < 4 - 5 Turbulente Strömung: Es treten Verwirbelungen auf, die Reynoldszahl liegt im Bereich von Re > 4 - 5 7c) Bei der Anordnungen von Bodenschichten zueinander kann in Bezug auf die Strömungsrichtung wie folgt unterschieden werden: Reihenschaltung: Die Materialien werden hintereinander in Strömungsrichtung durchströmt Parallelschaltung: Die Materialien werden parallel in Strömungsrichtung durchströmt 7d) Der kürzeste Sickerweg L ergibt sich wie folgt: Sickerweg L: L = 5,0 m + 2,5 m + 5,0 m = 12,5 m Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 38 1,5 m 5,0 m h1 = 4,8 m h2 = 1,2 m SA = 6,0 m Boden A kf,A = 3∙10-2 m/s Boden B 5,0 m kf,B = 2,5∙10-4 m/s 2,5 m Boden A 1,5 m Boden B 5,0 m SB = 0,5 m undurchlässig 7e) Äquivalenter Durchlässigkeitsbeiwert (Reihenschaltung) k f , äq Lges 12,50 m 2,85 103 m / s L1 L2 2 5, 0m 0,5 m 2,5 m 2 0,50 m 2 kf1 kf 2 3 10 m / s 2,5 104 m / s Der äquivalente Durchlässigkeitsbeiwert beträgt kf,äq = 2,85 ∙ 10-3 m/s. 7f) Berechnung der Sickerwassermenge Q pro Meter unter der Staumauer. k f .äq vf Lges h Δh = 4,8 m - 1,2 m = 3,6 m v f ,1 k f , äq h m 3, 6 m m 2,85 103 8, 21 104 L s 12,5 m s Q v f A 8, 21 104 m / s 1,5m ² 1, 23 103 m ³ / s Die Sickerwassermenge beträgt Q = 1,23∙ 10-3 m³/s pro Meter des Bauwerks. Bachelorklausur Hydromechanik WS 2014/2015 39 7g) Der hydraulische Grundbruch kann durch folgende Maßnahmen verhindert werden: Änderung der Auflast auf der Unterwasserseite Änderung der Durchlässigkeit durch Austausch des Bodens Verlängerung des Sickerwegs durch eine größere Einbindetiefe des Bauwerks Abdichtung unterhalb des Bauwerks bis zur undurchlässigen Bodenschicht 7h) Veränderung Wie verhält sich der hydraulische Gradient i, wenn sich der Strömungszustand von laminar auf turbulent ändert? größer x Wie verhält sich der Durchlässigkeitsbeiwert kf,A, wenn der charakteristische Korndurchmesser d10 durch Materialumlagerung kleiner wird? Wie verhält sich der kritische hydraulische Gradient ikrit, wenn die Lagerungsdichte des Bodens zunimmt? geringer x Wie verhält sich der Durchlässigkeitsbeiwerts eines Bodens, wenn die Schichtdicke zunimmt? Wie verhält sich die Filtergeschwindigkeit vf mit steigender Temperatur? gleich x x x