WS 2014/15 - Technische Universität Braunschweig

Technische Universität Braunschweig
Leichtweiß-Institut für Wasserbau
Abteilung Hydromechanik und Küsteningenieurwesen
Prof. Dr.-Ing. Hocine Oumeraci
WS 2014/2015
Prüfungstermin: 18. März 2015
Musterlösung
K L A U S U R HYDROMECHANIK
- ohne Unterlagen, keine programmierbaren Taschenrechner, Dauer: 120 Minuten N A M E:
V O R N A M E:
Matrikel-Nr.:
Zur Mitteilung/Veröffentlichung der Prüfungsergebnisse dieser Klausur werden zwei
Möglichkeiten angeboten:
1) Ich bin mit der Veröffentlichung meines Prüfungsergebnisses im Internet
und auf einem Aushang unter Nennung meiner Matrikelnummer, der Note und der Anzahl der erreichten Punkte einverstanden. Mir ist bewusst,
dass bei dieser Art der Veröffentlichung mein Prüfungsergebnis von jedem
Teilnehmer, jeder Teilnehmerin dieser Prüfung gelesen werden kann.
_______________________________
Unterschrift
2) Ich möchte mein Prüfungsergebnis während der Einsicht erfahren.
Aufgabe
Zeitbedarf
erreichte
Punkte
1
14
2
11
3
10
4
25
5
19
6
22
7
19
Summe
120
Die vollständige Bearbeitung der Aufgaben umfasst Erläuterungen zu Ansätzen, Einheiten und ggf. Antwortsätze.
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
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Aufgabe 1:
Zeit: 14 Min.
Als planender Ingenieur führen Sie Untersuchungen zum Wellenüberlauf an Deckwerksmodellen der Insel Wangerooge an einem Modell in der Versuchshalle des
Leichtweiß-Institutes für Wasserbau durch. Es stellt sich die Frage, ob das Material
für das Modell richtig ausgesucht wurde. Dafür muss untersucht werden, welche
Kräfte auf die einzelnen Modellabschnitte wirken. In Abbildung 1.1 ist die schematische Darstellung eines der Deckwerke in Wangerooge gegeben. Die Sohle des Modells ist komplett mit einer Dichtung abgedichtet.
Gegeben:
ρW
=
1000 kg/m³
g = 9,81 m/s²
l1
=
0,1 m
l2
=
0,3 m
l3 = 0,6 m
l4
=
0,2 m
h0
=
0,3 m
h1 = 0,4 m
h2
=
0,1 m
RWS
A
h1=
0,4 m
h0 = 0,3 m
l4= 0,2 m
Abb. 1.1:
h0
Modell
h2= 0,1 m
D
Abdichtung
B
C
l3= 0,6 m
l2= 0,3 m
l1= 0,1 m
Boden
Schematische Darstellung eines Deckwerksmodell auf Wangerooge (nicht maßstabsgerecht)
a) Zeichnen Sie qualitativ die resultierende hydrostatische Druckverteilung an
der gesamten Oberfläche des Modells in Abb. 1.1 ein.
b) Berechnen Sie die Drücke an den Punkten B, C und D.
c) Wie groß sind die resultierenden Druckkräfte pro laufendem Meter auf die einzelnen Abschnitte A-B, B-C und C-D? Muss ein Abschnitt nachgebessert werden, wenn auf das Modell nur eine maximale Kraft von 1 kN/m wirken darf?
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
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Sie stellen fest, dass der kreisförmige Abfluss im Boden der Versuchseinrichtung
nicht dicht verschlossen ist. Aus der Produktinformation entnehmen Sie, dass der
Abfluss am besten abgedichtet ist, wenn eine Kraft von 0,3 kN auf den Gummipfropfen wirkt (Abb. 1.2).
Gegeben:
ρW
=
1000 kg/m³
g = 9,81 m/s²
D
=
0,4 m
l3 = 0,6 m
h0
=
0,3 m
h2
=
0,1 m
l4
=
0,2 m
RWS
h0 = 0,3 m
FD
B
C
D = 0,4 m
Gummipfropfen
D
Modell
h2= 0,1 m
Abdichtung
Abfluss
l4= 0,2 m
l3= 0,6 m
Boden
Abb. 1.2:
Schematische Darstellung des Abflusses der Versuchseinrichtung (nicht maßstabsgerecht)
d) Wie groß ist die Kraft FD, die auf den Pfropfen (Abb. 1.2) wirkt? Liegt eine optimale Dichtung durch eine wirkende Kraft mit 0,3 kN vor und wenn nicht, wie
viel cm Wasser müsste aus der Versuchseinrichtung abgeschöpft oder hinzugegeben werden, damit dies erreicht wird.?
Bachelorklausur Hydromechanik
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Aufgabe 2:
Zeit: 11 Min.
Der in Abb. 2.1 dargestellte Schwimmponton trägt ein Offshore-Baugerät. Der symmetrische Ponton verfügt über vier zylindrische Schwimmkörper (Durchmesser
D = 20 m). Die Gesamtmasse m des Pontons beträgt 50.000 t und das Flächenträgheitsmoment beträgt I0 = 2,4∙106 m4. Die vier Schwimmkörper weisen eine Höhe von
hSchwimm = 60 m auf (siehe Abb. 2.1).
Gegeben:
I0
=
2,4∙106 m4
b
=
115 m
D = 20 m
ρw
=
1000 kg/m³
a
=
10 m
L = 75 m
g
=
9,81 m/s²
hSchwimm
=
60 m
m = 50.000 t
a) Querschnitt
b) Draufsicht
b
D
b
a
L
t
L
b
hschwimm
L
D
Abb. 2.1:
Symmetrischer Ponton auf vier kreiszylindrischen Schwimmkörpern (nicht maßstabsgerecht): a) Querschnitt, b) Draufsicht
a) Wie groß ist die Eintauchtiefe t der Schwimmkörper?
b) Berechnen Sie den Körperschwerpunkt des Pontons. Dabei können die Aufbauten auf der Plattform vernachlässigt werden. Bestimmen Sie anschließend
die metazentrische Höhe hM. Sollte Aufgabenteil a) nicht berechnet worden
sein, nehmen Sie bitte eine Eintauchtiefe t von 40 m an.
c) Wie beurteilen Sie die Schwimmlage des Pontons?
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Aufgabe 3:
Zeit: 10 Min.
Ein Wagen fährt mit der Beschleunigung a, parallel zur Rampe, einen gefüllten Wassertank auf einer um α= 30° geneigten Rampe hinab (siehe Abb.3.1). Der Wassertank ist bis zu einer Wasserhöhe von h = 1,7 m gefüllt.
Gegeben:
ρw
= 1000 kg/m³
g
= 9,81 m/s²
L
= 10,0 m
α
= 30°
H
= 0,3 m
h
= 1,7 m
a
= 0,54 m/s²
L = 10,0 m
H = 0,3 m
Druckmessdose (DMD)
ρw = 1000 kg/m3
h = 1,7 m
a
Rampe
α=30°
Abb. 3.1:
Wagen mit Wassertank auf einer Rampe herunter (nicht maßstabsgerecht)
a)
Wie groß ist die vertikale und horizontale Beschleunigung des Wassers,
wenn der Wagen aus dem Ruhezustand mit der Beschleunigung a die
Rampe herunterrollt? Wie hoch ist die zu erwartende Auslenkung e des
Wasserspiegels an der Behälterwand? Schwappt Wasser aus dem Tank?
b)
Berechnen Sie den Druck an der Position der Druckmessdose (DMD) in
der linken Ecke des beschleunigten Behälters. Falls Sie Aufgabenteil a)
nicht gelöst haben sollten, nehmen Sie eine Auslenkung e von 22 cm und
eine vertikale Beschleunigung ay = 0,27 m/s² an.
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Aufgabe 4:
Zeit: 25 Min.
Aus einem sehr großen Wasserbehälter mit freier Oberfläche und konstantem Wasserspiegel (v0 = 0) wird durch eine Rohrleitung (Durchmesser D1) Wasser entnommen. Der Ausfluss am unteren Ende der Rohrleitung kann durch den Anbau eines
Diffusors reguliert werden. Ein Diffusor ist ein Bauteil, das in Fließrichtung den Querschnitt vergrößert (von D1 auf D3). (siehe Abb. 4.1)
Für diese Aufgabe kann die Strömung als reibungs- und verlustfrei betrachtet werden.
Gegeben:
v0
= 0 m/s
ρw
=
1000 kg/m³
g
=
9,81 m/s²
H
= 7,50 m
h1
=
3,00 m
h2
=
0,80 m
D1
= 0,25 m
D3
=
0,30 m
RWS
v0=0
sehr großer Wasserbehälter
h1 = 3,00 m
h2 = 0,80 m
1
H = 7,50 m
Punkt 1
D1
Punkt 2
Diffusor
3
2
D1
D3
Punkt 3
Abb. 4.1:
Wasserbehälter mit Rohrleitung und optimalem Diffusor (nicht maßstabsgerecht)
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v und die Drücke p in den Punkten 1
und 2 sowie den Ausfluss Q vor Anbau des Diffusors.
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v und die Drücke p in den Punkten 2
und 3 nach Anbau des Diffusors.
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c) Ist die Anordnung in Aufgabenteil b) möglich, ohne dass es in der Rohrleitung
zu Kavitation kommt? Beantworten Sie diese Frage bitte zunächst anhand der
von Ihnen bereits durchgeführten Berechnungen und begründen Sie Ihre Antwort.
Kennzeichnen Sie die Stelle in der Rohrleitung in Abb. 4.1, an der die Gefahr
für das Auftreten von Kavitation am größten ist. Begründen Sie Ihre Antwort
stichwortartig.
Sollte Kavitation auftreten, dann schlagen Sie eine Änderung an dem System
vor, so dass Kavitation vermieden wird.
An die Wasserleitung an Punkt 2 wird statt eines Diffusors ein düsenförmiges Endstück mit sechs Schrauben angeflanscht, das den Rohrdurchmesser von D1 auf DD
verkleinert (siehe Abb. 4.2). Die wirkenden Kräfte sind gleichmäßig auf die Schrauben verteilt. Nehmen Sie an, dass der Ausfluss ins Freie Q = 25 l/s beträgt.
d) Berechnen Sie die auf die Flanschverbindung wirkende Kraft, die durch eine
einzelne Schraube aufgenommen wird.
Reibungsverluste und Gewichtskräfte sind zu vernachlässigen.
Gegeben:
D1
= 250 mm
ρw
=
1000 kg/m³
DD
= 40 mm
g
=
9,81 m/s²
m
=
400 kg
Q
= 25 l/s
e
=
0,8 m
L
=
1m
A e Flansch mit
Schraubverbindung
(6 Schrauben)
L 
DD
D1
2
Q Punkt 2
Abb. 4.2:
Punkt D
Rohr mit angeflanschtem, düsenförmigem Auslassrohr und drehbar gelagerte Platte
(nicht maßstabsgerecht)
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Nach dem Austritt aus der Düse trifft der Wasserstrahl auf eine an der Oberkante A
drehbar gelagerte Platte. Die Platte hat eine Länge von L = 1 m, eine gleichmäßig
verteilte Masse von m = 400 kg und wird in einer vertikalen Entfernung vom Drehpunkt A von e = 0,8 m vom Wasserstrahl getroffen.
e) Berechnen Sie den Auslenkwinkel , um den die Platte durch den Wasserstrahl ausgelenkt wird. Sollte die Stützkraft SD aus Aufgabenteil d) nicht errechnet worden sein, nehmen Sie hierfür ein SD von 500 N an.
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Aufgabe 5:
Zeit: 19 Min.
An einem kleinen Hafen soll eine Anlage zur Befüllung der Schiffe mit Frischwasser
installiert werden. Dabei soll das Wasser mittels einer Pumpe durch ein Druckrohrsystem mit freiem vertikalen Auslauf aus einem sehr großen Wassertank bei freier
Wasseroberfläche (v0 = 0) auf das angelegte Schiff gefördert werden (siehe Abb.
5.1).
Sie werden als planender Ingenieur mit der Dimensionierung der Anlage beauftragt.
Gegeben:
w
= 1000 kg/m³
g
= 9,81 m/s²

=
10-6 m²/s
E
= 0,5
K
= 0,3
VTank
=
300 m³
k1=k3
= 0,10 mm
k2
= 0,02 mm

=
0,8
D1
= 0,50 m
D2
= 0,40 m
D3
=
0,20 m
5,00 m
K
k1
D1
2,00 m
k3
pp
Pumpe
k2
K
D2
D3
Q
 A=0
D1 k1
Sehr großer Wassertank
(mit freier
Wasseroberfläche)
4,00 m
p 0=0
9,00 m
v0=0
k1
K
D1
E
2,00 m
Frischwassertank
Schiff
Abb. 5.1:
Anlage zur Befüllung der Frischwassertanks von Schiffen (nicht maßstabsgerecht)
6,00 m
4,00 m
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Die Anlage soll so bemessen werden, dass ein Frischwassertank mit einem Volumen
von 300 m³ innerhalb von 25 Minuten befüllt werden kann.
a)
Berechnen Sie den erforderlichen Durchfluss Q in dem System (siehe
Abb. 5.1).
b)
Berechnen Sie die erforderliche manometrische Förderhöhe hman.
c)
Berechnen Sie die erforderliche Bruttoleistung der Pumpe. Der Wirkungsgrad der Pumpe beträgt  = 80 %.
d)
Welcher Druck pp in [Pa] ergibt sich direkt hinter der eingebauten Pumpe
(siehe Abb. 5.1)? Hinweis: Es ist auch eine Lösung ohne Teilaufgabe b)
möglich!
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Abb. 5.2:
Moody-Nomogramm
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11
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Aufgabe 6:
Zeit: 22 Min.
Der in Abbildung 6.1 dargestellte Fließgewässerquerschnitt hat eine Wassertiefe von
h = 1,80 m. Am rechten Ufe schließt eine senkrechte Wand an, die eine Straße begrenzt. Die Neigung des linken Ufers beträgt 1:2. Oberhalb dieser Böschung befindet
sich eine Blumenwiese. Der Abflussbeiwert von Strickler über den gesamten benetzten Umfang des Fließquerschnitts beträgt kSt = 20 m1/3/s und die Sohlneigung beträgt
37 ‰.
Gegeben:
h
=
1,80 m
b
=
5,00 m
kst
=
20 m1/3/s
I
=
37 ‰
1: 2
g
= 9,81 m/s²
h  1,80 m
b  5, 00 m
Abb. 6.1:
Fließquerschnitt A mit Blumenwiese (nicht maßstabsgerecht)
a) Berechnen Sie den Abfluss Q und die dazugehörige mittlere Fließgeschwindigkeit v für die vorliegende Wassertiefe h = 1,80 m.
b) Bestimmen Sie den spezifischen Durchfluss q des Flussquerschnittes A unter
Verwendung der mittleren Gewässerbreite. Sollte Qges aus Aufgabenteil a)
nicht berechnet worden sein, nehmen Sie hierfür 50 m³/s an.
c) Der Fließzustand in Fließquerschnitt A befindet sich im Grenzzustand.
Berechnen Sie hgr und vgr und tragen Sie die Werte hgr und vgr²/2g in das Diagramm der Energiehöhe für konstanten Abfluss q (Abb. 6.2) ein. Sollte q in
Aufgabenteil b) nicht berechnet worden sein, kann q = 7,5 m³/(sm) angenommen werden.
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hE [m]
q=konst.
4,0
3,0
2,0
1,0
0
1,0
2,0
3,0
4,0
h [m] Abb. 6.2:
Diagramm der Energiehöhen hE=f(h) für konstanten Abfluss q
d) Wie groß ist die Fließgeschwindigkeit bei einer Wassertiefe h = 1 m nach dem
Diagramm in Abb. 6.2 und wie groß ist die Gesamtenergie in dem System?
Welcher Fließzustand liegt vor? Nutzen Sie das Diagramm in Abb. 6.2 und
zeichnen Sie die Werte ein.
e) Wie groß ist die Wassertiefe des Flusses bei einer Gesamtenergie von 3,3 m
im strömenden Zustand? Nutzen Sie auch hier Abb. 6.2 und zeichnen Sie den
Fall in das Diagramm mit ein.
f) Wie werden die beiden Wassertiefen genannt, die bei der Energiehöhe von
3,3 m abgelesen werden?
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Untersuchungen haben ergeben, dass in Zukunft deutlich höhere Abflüsse Q zu erwarten sind, da Kühlwasser aus einem Kraftwerk zugeführt werden soll. Wegen der
vorhandenen Straße oberhalb des rechten Ufers kann lediglich an der linken Uferseite der Fließquerschnitt erweitert werden. Die maximal mögliche Wassertiefe auf dem
neu geschaffenen Vorland (siehe Abb. 6.3) darf den Wert hv = 1,00 m nicht überschreiten, da es ansonsten zur Überschwemmung der Straße kommen könnte.
Gegeben:
h
=
1,80 m
hV
=
1,00 m
g
= 9,81 m/s²
kst
=
20 m1/3/s
kst,V
=
12 m1/3/s
I
= 37 ‰
b
=
5,00 m
Qmax
=
120,00 m³/s
Hauptgerinne
Vorland
1: 3
hV  1, 00 m
1: 2
h  1,80 m
bV  ??? m
b  5, 00 m
Abb. 6.3:
Fließquerschnitt B mit Vorland (nicht maßstabsgerecht)
g) Welche Breite bV muss das Vorland haben, damit ein Abfluss von
Qmax = 120,00 m³/s mit hv = 1,00 m abgeführt werden kann. Der Stricklerbeiwert kst,V im Vorland kann mit 12 m1/3/s angesetzt werden. Welche Fließgeschwindigkeiten treten jeweils im Hauptgerinne (mit kSt = 20 m1/3/s) und im
Vorland auf? (Sollte bei Ihren Berechnungen eine Iteration erforderlich sein,
brechen Sie diese nach drei Berechnungsschritten ab!)
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Aufgabe 7:
Zeit: 19 Min.
An einem Stausee wird der Wasserstand auf h1 = 4,8 m aufgestaut, während sich ein
Wasserstand des Gewässers unterhalb bei h2 = 1,2 m einstellt. Die Bodenschichten
an der Staumauer werden durch den Potentialunterschied zwischen Ober- und Unterwasser durchströmt. In der Systemskizze in Abb. 7.1. sind das Bauwerk und die
Bodenschichten dargestellt.
Gegeben:
h1
=
4,8 m
d50,A
=
4,0 mm
h2
=
1,2 m
kf,A
=
3∙10-2 m/s
ρWasser
=
1000 kg/m³
kf,B
=
2,5∙10-4 m/s
1,5 m
5,0 m
h1 = 4,8 m
h2 = 1,2 m
kf,B = 2,5∙10-4 m/s
SA = 6,0 m
Boden A
kf,A = 3∙10-2 m/s
Boden B
5,0 m
Boden B
2,5 m
Boden A
1,5 m
SB = 0,5 m
undurchlässig
Abb. 7.1:
Systemskizze der Staumauer mit Bodenschichtung der Gründung (nicht maßstabsgerecht)
a)
Welchen Annahmen unterliegt die „Darcy-Gleichung“? Nennen Sie drei
Stichpunkte.
b)
Erläutern Sie die Begriffe laminare Strömung und turbulente Strömung.
c)
In welche Anordnungen der Bodenschichten zueinander kann in Bezug auf
die Strömungsrichtung unterschieden werden? Nennen Sie die Fachbegriffe und erklären Sie diese kurz.
d)
Ermitteln Sie den kürzesten Sickerweg L, zeichnen Sie diesen in Abb. 7.1
mit der Fließrichtung ein und bemaßen Sie die Skizze.
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e)
Bestimmen Sie den äquivalenten Durchlässigkeitsbeiwert kf,äq der beiden
Bodenschichten A und B mit den Durchlässigkeitsbeiwerten kf,A und kf,B für
den Sickerweg aus Aufgabe d). Sollte Aufgabenteil d) nicht gelöst werden,
können folgende Werte angenommen werden: ∆Lges = kürzester Sickerweg = 12,0 m mit ∆LA = 10 m und ∆LB = 2 m
f)
Ermitteln Sie die Sickerwassermenge Q pro laufendem Meter unter der
Staumauer nach Darcy unter der Annahme, dass die Wasserstände h1 und
h2 sowie die Durchströmung der Bodenschichten stationär sind. Sollte der
Aufgabenteil e) nicht gelöst werden können, kann eine äquivalenter Durchlässigkeitsbeiwert von kf,äq = 3,0 ∙ 10-3 m/s angenommen werden.
g)
Schlagen Sie zwei Maßnahmen zur Vermeidung des hydraulischen
Grundbruchs vor.
h)
Wie verhalten sich der hydraulische Gradient, der Durchlässigkeitsbeiwert
kf und die Filtergeschwindigkeit vf zueinander? Kreuzen Sie in der Tabelle
an (fünf Kreuze!).
Veränderung
Wie verhält sich der hydraulische Gradient i, wenn sich
der Strömungszustand von laminar auf turbulent ändert?
Wie verhält sich der Durchlässigkeitsbeiwerts eines Bodens, wenn die Schichtdicke zunimmt?
Wie verhält sich der Durchlässigkeitsbeiwert kf,A, wenn
der charakteristische Korndurchmesser d10 durch Materialumlagerung kleiner wird?
Wie verhält sich die Filtergeschwindigkeit vf mit steigender Temperatur?
Wie verhält sich der kritische hydraulische Gradient ikrit,
wenn die Lagerungsdichte des Bodens zunimmt?
größer
gleich
geringer
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Musterlösung Aufgabe 1
1a)
Hydrostatische Druckverteilung an der Oberfläche des Modells:
RWS
h0 = 0,3 m
A
h2= 0,1 m
D
l4= 0,2 m
l3= 0,6 m
Boden
1b)
Berechnung der Drücke in den Punkten B, C und D.
Berechnung des hydrostatischen Drucks:
p  w  g  h
Druck im Punkt B und C:
hB  0,3m  0,1m  0, 2 m
hC  hB  0, 2 m
pB ,C  1000
kg
m
N
 9,81 2  0,2m  1962 2 bzw. Pa
2
m
s
m
Druck im Punkt D:
hD  0,3 m
pD  1000
Modell
B
C
h1= 0,4 m
kg
m
N
 9,81 2  0,3m  2943 2 bzw. Pa
2
m
s
m
l2= 0,3 m
l1= 0,1 m
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1c)
Bestimmung der resultierenden Kräfte.
Abschnitt A-B:
l A B  (0, 2m) 2  (0, 2m) 2  0, 283 m
FA B  0,5  pb  l A B  0,5  1,962
kN
kN
m

0,283

0,277
m2
m
Abschnitt B-C:
lB C  0,6 m
FB C  pb  lB C  1,962
kN
kN
 0,6m  1,177
2
m
m
Abschnitt C-D:
lC  D  (0, 2m) 2  (0,1m) 2  0, 224 m
FC  D , Rechteck  pC  lC  D  1,962
kN
kN
 0,224m  0,44
2
m
m
kN
kN 
kN

FC  D , Dreieck  0,5  ( pD  pC )  lC  D  0,5   2,943 2  1,962 2   0,224m  0,11
m
m 
m

Nur Abschnitt B-C muss nachgebessert werden, da dort die maximale Kraft von
1 kN/m überschritten wird.
1d)
Berechnung der Kraft im Punkt D:
FD  p  A
Berechnung der Fläche:
A
 D2
4

  (0,4m) 2
4
 0,126m 2
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Berechnung des Druckes im Punkt D:
p  pD    g  h0  1000
FD  2943
kg
m
N
m

9,81

0,3

2943
m2
s2
m2
N
 0,126m 2  370,82 N  0,37kN
2
m
Berechnung der Wasserhöhe:
0,3kN  A  p 
 D2
4
  g h
300 N  0,126m 2  1000
kg
m
 9,81 2  h
2
m
s
 h  0,24m
Berechnung der Differenz der Wasserhöhen:
0,3m  0,24m  0,06m
Es müssen 0,06 m Wasser abgeschöpft werden um eine optimale Abdichtung zu
gewährleisten.
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Musterlösung Aufgabe 2
2a)
Berechnung der Eintauchtiefe t.
Gewichtskraft:
FG  m  g  50.000.000 [kg ]  9,81[ m / s ²]  490.500.000 N  490,5 106 N
Auftriebskraft:

D2 
FV  VV    g   4   
t   g
4 

FG  FV

(20m) 2 
490,5 106 N   4   
 t  1000kg / m³  9,81m / s ²
4


t
490,5 106 N
 39, 789 m
  (20m) 2 1000kg / m³  9,81m / s ²
2b)
Berechnung der metazentrische Höhe hM.
Berechnung des Körperschwerpunkts hs:
hs 
Vi  S y ,i
V

4
  D²
4
 hSchwimm  12 hSchwimm  a  b ²  (hSchwimm  a / 2)
4
  D²
 hSchwimm  a  b²
4
  (20m)²  60m  30m  10m  (115m)²  65m

 52, 291 m
  (20m)²  60m  10m  (115m)²
i
Verdrängtes Wasservolumen VA:
 D2 
 (20m)2

VV  4    
t  4
 39,789m   49.999,956m³  50.000 m³
4 
4



Abstand zwischen Körper- und Verdrängungsschwerpunkt hk:
hk  hs  hv  hs 
t
 52, 291m  19,894m  32,397 m
2
20
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
Metazentrische Höhe hM:
hM 
I0
2, 4 106 m
 hk 
 32,397 m  15, 60 m
49.999,956m³
VV
2c)
Schwimmlage
hM > 0  stabile Schwimmlage
21
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
22
Musterlösung Aufgabe 3
3a)
Vertikale und horizontale Beschleunigung des Wassers, wenn der Wagen die Rampe
herunterfährt.
L = 10,0 m
H = 0,3 m
Druckmessdose (DMD)
ρw = 1000 kg/m3
h = 1,7 m
ܽ௫
ܽ௬
30°
ܽ
Rampe
α=30°
Aus der gesamten Beschleunigung kann nun der Anteil der horizontalen und vertikalen Beschleunigung errechnet werden.
ax  a  cos( )  0,54  cos(30)  0, 47 m / s ²  ahorizontal
a y  a  sin( )  0,54  sin(30)  0, 27m / s ²  avertikal
Aus den Beschleunigungsanteilen, der Länge des Tanks und der Erdbeschleunigung
lässt sich die zu erwartende Auslenkung e des Wassers berechnen.
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
23
L = 10,0 m
H = 0,3 m
e
ax
ay
g
h = 1,7 m
30°
a
ax
e
ax  ( L / 2)

 e
g  ay L / 2
g  ay
0, 47 m / s ²  (10 m / 2)
e
 0, 246 m  24, 6 cm
9,81 m / s ²  0, 27m / s ²
24,6 cm < 30 cm  Es schwappt kein Wasser aus dem Behälter.
3b)
Druck an der Druckmessdose in der linken Ecke.
pDMD    ( g  a y )  (h  e)
pDMD  1000kg / m³  (9,81m / s ²  0, 27m / s ²)  (1, 7m  0, 246m)  18564,84 Pa
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
24
Musterlösung Aufgabe 4
4a)
Berechnung der Geschwindigkeiten v1 und v2 sowie der Drücke p1 und p2 ohne Diffusor:
RWS
Schnitt 0
v0=0
sehr großer Wasserbehälter
Schnitt 1
h1 = 3,00 m
h2 = 0,80 m
1
H = 7,50 m
Punkt 1
D1
Punkt 2
Bezugshorizont
2
D1
Schnitt 2
Bernoulli-Gleichung für die Schnitte 0, 1 und 2 und Berechnung von v2:
Freie Oberfläche und freier Ausfluss: p0=0, p2=0,
Bezugshöhe h=0 auf Höhe der Rohrachse im Ausfluss: z2= 0, z0=7,5m, z1=3,7m
0
0
0
0
7,5
3,7
v02
p0
v12
p1
v22
p

 z1 
 2  z2  hE  konst.  7,5m

 z0 
2g
g
2g   g
2g   g
v22
 7,5 m
2g

v2  2 g  7,5m  12,131
m
(entspricht Formel nach Toricelli)
s
Berechnung des Durchflusses mit v2:
Q  v  A  12,131m / s
(0, 25m) 2 
m3
 0,595

s
Laut Konti-Gleichung sind die Geschwindigkeiten in den Punkten 1 und 2 konstant,
da gleiche Rohrdurchmesser vorliegen, Berechnung von v1‘ und p1 bzw. v2 und p2:
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
25
m

12,131 ²

p
p
s
 7,5m  1  3, 7 m  
 1  3, 7 m,
2 g
g
g
m
s
p1  36.297 Pa , p2  0
v1  v2  konst.  12,13
4b)
Berechnung der Geschwindigkeiten v2 und v3 sowie der Drücke p2 und p3 mit Diffusor:
RWS
Schnitt 0
v0=0
sehr großer Wasserbehälter
h1 = 3,00 m
h2 = 0,80 m
1
H = 7,50 m
Punkt 1
D1
Diffusor
Punkt 2
Bezugshorizont
3
2
D1
D3
Punkt 3
Schnitt 2
Schnitt 3
Bernoulli-Gleichung für die Schnitte 0, 2 und 3 und Berechnung von v3:
Freie Oberfläche und freier Ausfluss: p0=0, p3=0. Der Bezugshorizont für die Energiehöhen wird bei z2=z3=0, d.h. auf Höhe der Rohrachse im Ausfluss: z0=7,5m.
0
0
2
7,5
0
0
v02
v32
p
p0
v22
p2

 z2 
 3  z3  hE  konst.  7,5m

 z0 
2g
g
2g   g
2g   g
v32
 7,5
2g

v3  2 g  7,5m  12,131
m
(entspricht Formel nach Toricelli)
s
(trotz der größeren Austrittsöffnung ist die Austrittsgeschwindigkeit identisch mit der
aus Aufgabenteil a). Aufgrund des größeren Querschnitts ist jedoch der Durchfluss
größer.)
Berechnung des Durchflusses mit v3:
Q  v  A  12,131m / s
(0,3m) 2 
m3
.
 0,857

s
Die Geschwindigkeit im Punkt 2 muss mit der Konti-Gleichung berechnet werden, da
in den Punkten 1 und 2 verschiedene Rohrdurchmesser vorliegen, Berechnung von
v2 und p2:
Bachelorklausur Hydromechanik
Q  konst.  v2 A2  v3 A3
v22
 15,55m
2g


15,55m 
WS 2014/2015
v2  v3
26
A3
(0,3m) 2  / 4
m
 12,131m / s
 17, 469
2
A2
(0, 25m)  / 4
s
p2
0
g
 7,5m 
p2
 8, 05m,
g
p2  78970,5 Pa
4c)
Auftreten von Kavitation?
Die Druckhöhe in Punkt 2 beträgt p2/ρg=-8,05m und unterschreitet damit den zulässigen Unterdruck von -7,0m. Die Anordnung aus Aufgabenteil b) ist somit nicht möglich, ohne dass Kavitation auftritt.
Vom Ausfluss in Punkt 3 aus betrachtet beginnt der Bereich des Unterdrucks im Diffusor mit zunehmender Querschnittseinengung bis an Punkt 2. Durch die Verringerung des Querschnitts steigt die Geschwindigkeit und der Druck sinkt auf den in b)
berechneten Wert. Der Unterdruck entsteht erst im Rohr durch die große Geschwindigkeitshöhe. Es gibt also einen Bereich in den Kavitation auftreten kann. Dieser Bereich ist die komplette Verengung durch den Diffusor.
4d)
Kraft auf die Schrauben im Flansch.
A e Flansch mit
Schraubverbindung
(6 Schrauben)
Bezugshorizont
L 
DD
D1
2
Q Punkt 2
Schnitt 2
Punkt D
Schnitt D
In den Schnitten 2 und D herrschen unterschiedliche Druck- und Geschwindigkeitsverhältnisse, wodurch auch unterschiedliche Stützkräfte in diesen Schnitten wirken.
Die Differenz dieser Kräfte muss durch die Schrauben der Flanschverbindung aufgenommen werden.
Im Schnitt D liegt freier Ausfluss mit pD = 0 vor. Die Stützkraft reduziert sich daher
auf den Impuls:
Bachelorklausur Hydromechanik
0
SD  Qv  pA  1000
WS 2014/2015
27
kg
m³
m
 0,025
 19,89  497, 25N
m³
s
s
Die Ausflussgeschwindigkeit vD beträgt:
vD 
Q
0,025m³ / s
m

 19,89
2
A D (0,04m)  
s
4
Für die Berechnung der Stützkraft im Schnitt 2 muss zunächst der Rohrinnendruck in
Schnitt 2 berechnet werden (mit der Bernoulli-Gleichung). Es gilt pD = 0 (freier Ausfluss) und z2 = zD = 0 (da beide Schnitte auf gleicher Höhe).
Q
0,025m³ / s
m
Die Geschwindigkeit im Schnitt 2 beträgt: v 2  A  (0, 25m)2    0,51 s
2
4
v 22 p 2
v 2D p D

 z2 

 z D  h e  konst.
2g g
2g g
(0,51m / s) 2 p 2
(19,89m / s) 2

0
00
2g
2g
g
p 2 (19,89m / s) 2 (0,51m / s) 2


 20,15m
2g
2g
g
p 2  197676 Pa
Damit kann die Stützkraft in Schnitt 2 berechnet werden:
S2  Qv 2  p 2 A  1000
kg
m³
m
(0, 25m) 2 
 0,025
 0,51  197676Pa 
 9716N
m³
s
s
4
Die Differenz von S2 – SD = 9218,75 N muss durch die 6 Schrauben aufgenommen
werden. Jede Schraube muss daher eine Kraft von 1536,46 N aufnehmen.
4e)
Auslenkungswinkel der vom Wasserstrahl getroffenen Platte
Die Platte wird vom austretenden Wasserstrahl getroffen. Die Aufprallkraft entspricht
dem Impuls des austretenden Wasser, der bereits in d) zu SD = 497,25 N berechnet
wurde.
Das durch den Wasserstrahl auf die Platte entstehende Moment um den Drehpunkt
A beträgt Sse. Die Platte hat eine Masse von m = 400 kg, die im Flächenschwerpunkt bei L/2 angenommen werden kann. Durch die Auslenkung der Klappe entsteht
durch diese Masse ein Moment, dass mit zunehmender Auslenkung größer wird.
Das Momentengleichgewicht um A führt zur Lösung der Aufgabe:
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
L
 sin 
2
SD  e
497, 25N  0,8m
sin  

 0, 203
m  g  L / 2 400kg  9,81m / s²  1,0m / 2
  11,70
M A  0  SD  e  m  g 
A L/2 
e sinL/2 mg SD
28
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
29
Musterlösung Aufgabe 5
5a)
Berechnung des erforderlichen Durchflusses:
Vorgabe: 300 m³ in 25 Minuten
Q
300
 0, 2 m ³ / s
25  60
5b)
Bernoulli-Gleichung zwischen dem konstanten freien Wasserspiegel im Tank und
dem freien Ausfluss
v0 2
p
v2
p
 0  z0  hman  3  3  z3   hi   hr
2 g   g
2 g   g
Berechnung der Fließgeschwindigkeiten mit Q = 0,2 m³/s
v1 
Q 4  0, 2m³ / s

 1, 02 m / s
A   (0,5m) 2
v2 
Q 4  0, 2m³ / s

 1,59 m / s
A   (0, 4m) 2
v3 
Q 4  0, 2m³ / s

 6,37 m / s
A   (0, 2m) 2
Einzelverluste
vi 2
v32
v12
v12
v2 2
 hi    i  2  g   E  2  g   K  2  g   K  2  g   K  2  g
 hi  (0,5  0,3) 
(1, 02m / s ) 2
(1,59m / s )2
(6,37m / s) 2
 0,3 
 0,3 
 0, 70 m
2  9,81m / s ²
2  9,81m / s ²
2  9,81m / s ²
Streckenverluste
Rohr 1:
Re 
vD


1, 02m / s  0,5m
 5,1 105
106 m ² / s
0,1mm
k

 2 104
D 500mm
 Moody-Diagramm  = 0,0155
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
30
Rohr 2:
Re 
vD


1,59m / s  0, 4m
 6,36 105
6
10 m ² / s
k 0, 02mm

 5 105
D 400mm
 Moody-Diagramm  = 0,013
Rohr 3:
Re 
vD


6,37 m / s  0, 2m
 1,3 106
6
10 m ² / s
0,1mm
k

 5 104
D 200mm
 Moody-Diagramm  = 0,017
 hr   i 
 0, 0155 
vi 2 Li

2  g Di
(1, 02m / s )2 2m  4m  4m
(1,59m / s)2 5m
(6,37m / s )2 2m

 0, 013 

 0, 017 

 0,389 m
2  9,81m / s ²
0,5m
2  9,81m / s ² 0, 4m
2  9,81m / s ² 0, 2m
Berechnung der manometrischen Förderhöhe (z = 0 im Wasserspiegel des Tanks):
p
v2
p
v0 2
 0  z0  hman  3  3  z3   hi   hr
2 g
g
2 g   g
hman 
(6,37m / s )2
 1, 0m  0, 70m  0,389m  4,155 m
2  9,81m / s ²
5c)
Erforderliche Pumpenleistung PB
PB 
1

   g  Q  hman 
1
1t / m³  9,81m / s ²  0, 2m³ / s  4,155m  10,19 kW
0,8
5d)
Bernoulli-Gleichung zwischen den Schnitten 3 und p direkt hinter der Pumpe
p
v2
p
v12
 p  z p  3  3  z3   h i   h r
2g  g
2g  g
Bachelorklausur Hydromechanik
0, 053m 
pp
 g
WS 2014/2015
 3, 0m  2, 068m  0m  1, 0m   h i   h r
Einzelverluste hinter der Pumpe:
(6,37m / s)2
 h i  0,3  2  9,81m / s²  0, 62 m
Streckenverluste hinter der Pumpe:
 h r   i 
pp
 g
pp
 g
vi 2 L
(1, 02m / s) 2 4m
(6,37m / s) 2 2m
  0, 0155 

 0, 017 

 0,36 m
2g D
2  9,81m / s² 0,5m
2  9,81m / s² 0, 2m
 2, 068m  0m  1, 0m  0, 62m  0,36m  3, 0m  0, 053m  0,995 m
 0,995 m
p p  9760,95 Pa
31
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
32
Musterlösung Aufgabe 6
6a)
Die Fließformel nach Gaukler/Manning/Strickler lautet:
Q  A  k st  R 2 / 3  I1/ 2
Der Fließquerschnitt besteht aus zwei Teilen:
1: 2
1
h  1,80 m
2
b  5, 00 m
1,8m  3, 6m
 3, 24 m²
2
U1  1,8²  3, 6²  4, 03 m
A1 
A 2  5, 0m 1,8m  9 m²
U 2  5 m  1,8 m  6,8 m
A gesamt  12, 24 m²
U gesamt  10,83 m
Der kst-Wert ist gegeben und beträgt 20 m1/ 3 / s .
Der hydraulische Radius ergibt sich aus dem gesamten benetzten Umfang U und
dem gesamten Fließquerschnitt A:
R
R
A ges
U ges
12, 24 m²
 1,13 m
10,83m
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
33
Die Sohlneigung I = 37 ‰
Damit ergibt sich die Durchflussmenge Q zu:
Q  12, 24 m²  20 m1/3 / s 1,13 2/3 m  0, 037  51, 09 m³ / s
Und die mittlere Fließgeschwindigkeit v über den Fließquerschnitt A:
v
Q
51, 09 m³ / s

 4,17 m / s
A ges
12, 24 m²
6b)
Spezifischer Durchfluss.
Gewässerbreite bei h/2:
bm  5, 0 m 
1,8 m
 2  6,8 m
2
Q  51, 09 m³ / s aus a)
q  Q / bm  51, 09
m³
/ 6,8 m  7,51 m³ /  s  m 
s
6c)
Im Querschnitt wird Grenzzustand angenommen.
hgr 
3
q2
7,512
3
 1,8 m
g
9,81
Bestimmung der kritischen Fließgeschwindigkeit, die bei der Grenzwassertiefe hgr
auftritt.
vgr  hgr  g  1,8  9,81  4, 2 m / s
vgr ²
2g

(4, 2m / s )²
 0,9 m
2  9,81m / s ²
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
hE [m]
q=konst.
4,0
hE,min
3,0
vgr ²
2g
 0,9 m
2,0
hgr= 1,8 m
1,0
0
1,0
1,8
2,0
3,0
4,0
h [m] 6d)
Wie groß ist die Fließgeschwindigkeit bei h = 1 m?
Es werden die Wassertiefe und die Geschwindigkeitshöhe eingetragen.
hE [m]
q=konst.
4,0
3,3
hE = 3,3 m
3,0
v1 ²
2g
2,0
1,0
h1
0
1,0
2,0
3,0
4,0
h [m] 34
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
v1 ²
 hE  h1  3,3 m  1 m  2,3 m
2g
v1  2,3 m  2  g  2,3 m  2  9,81m / s ²  6, 72 m / s
Die Energiehöhe beträgt hE = 3,3 m.
Es herrscht schießender Abfluss.
6e)
Die Energiehöhe beträgt hE = 3,3 m.
hE [m]
q=konst.
4,0
3,3
v2 ²
2g
3,0
2,0
h2
1,0
0
1,0
2,0
3,0
4,0
h [m] Die Wassertiefe im strömenden Zustand beträgt bei einer Energiehöhe von 3,3 m
2,85 m.
6f)
Konjugierte Wassertiefen
35
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
36
6g)
Fließquerschnitt des Hauptgerinnes lässt sich problemlos berechnen:
Hauptgerinne
Vorland
hV  1, 00 m
1: 3
1: 2
h  1, 80 m
bV  ??? m
b  5, 00 m
A Haupt  A ges  h v  (h  2  b)  12, 24 m²  1m  (3, 6 m  5 m)  20,84 m²
U Haupt  U ges  2  h v  10,83m  2 1, 0m  12,83 m
R
20,84 m²
 1, 62 m
12,83m
Q  20,84 m²  20
m1/3
m³
1, 62 2/3 m  0, 037  110,59
s
s
Mit einer Fließgeschwindigkeit von
v
Q 110,59 m³ / s

 5,31 m / s
A
20,84 m²
Daraus folgt, dass auf dem Vorland noch Q  120
m³
m³
m³
abgeführt
 110,59
 9, 41
s
s
s
werden müssen.
 3m 1m 
A Vorl  1m  b v  
  b v  1,5
 2 
U Vorl  b v  (3m)²  1m  ²  b v  3,16

 3m 1m  

1/3  1m  b v  
m³ 
m
2  
 3m 1m  


 1m  b v  


Q  9, 41
12

s 
2  
s  b v  (3m)²  1m  ² 





 b v  3, 44 m
Mit einer Fließgeschwindigkeit von
v
Q
9, 41 m³ / s

 1,9 m / s
3m 1m 
A 
 3, 44 m 1m 

2 

2/3
 0, 037
Bachelorklausur Hydromechanik
WS 2014/2015
37
Musterlösung Aufgabe 7
7a)
Darcy-Gleichung




Laminare Strömung Re ≤ 4 - 5
Stationäre Strömung
homogenes poröses Medium
isotropes poröses Medium
7b)
Laminare Strömung:
Die Stromlinien verlaufen parallel,
die Reynoldszahl liegt im Bereich Re < 4 - 5
Turbulente Strömung:
Es treten Verwirbelungen auf,
die Reynoldszahl liegt im Bereich von Re > 4 - 5
7c)
Bei der Anordnungen von Bodenschichten zueinander kann in Bezug auf die Strömungsrichtung wie folgt unterschieden werden:


Reihenschaltung: Die Materialien werden hintereinander in Strömungsrichtung
durchströmt
Parallelschaltung: Die Materialien werden parallel in Strömungsrichtung
durchströmt
7d)
Der kürzeste Sickerweg L ergibt sich wie folgt:
Sickerweg L:
L = 5,0 m + 2,5 m + 5,0 m = 12,5 m
Bachelorklausur Hydromechanik
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1,5 m
5,0 m
h1 = 4,8 m
h2 = 1,2 m
SA = 6,0 m
Boden A
kf,A = 3∙10-2 m/s
Boden B
5,0 m
kf,B = 2,5∙10-4 m/s
2,5 m
Boden A
1,5 m
Boden B
5,0 m
SB = 0,5 m
undurchlässig
7e)
Äquivalenter Durchlässigkeitsbeiwert (Reihenschaltung)
k f , äq 
Lges
12,50 m

 2,85 103 m / s
L1 L2  2   5, 0m  0,5 m    2,5 m
2  0,50 m



2
kf1 kf 2
3 10 m / s
2,5 104 m / s
Der äquivalente Durchlässigkeitsbeiwert beträgt kf,äq = 2,85 ∙ 10-3 m/s.
7f)
Berechnung der Sickerwassermenge Q pro Meter unter der Staumauer.
k f .äq  vf 
Lges
h
Δh = 4,8 m - 1,2 m = 3,6 m
v f ,1  k f , äq 
h
m 3, 6 m
m
 2,85 103 
 8, 21 104
L
s 12,5 m
s
Q  v f  A  8, 21 104 m / s 1,5m ²  1, 23 103 m ³ / s
Die Sickerwassermenge beträgt Q = 1,23∙ 10-3 m³/s pro Meter des Bauwerks.
Bachelorklausur Hydromechanik
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7g)
Der hydraulische Grundbruch kann durch folgende Maßnahmen verhindert werden:




Änderung der Auflast auf der Unterwasserseite
Änderung der Durchlässigkeit durch Austausch des Bodens
Verlängerung des Sickerwegs durch eine größere Einbindetiefe des Bauwerks
Abdichtung unterhalb des Bauwerks bis zur undurchlässigen Bodenschicht
7h)
Veränderung
Wie verhält sich der hydraulische Gradient i, wenn sich
der Strömungszustand von laminar auf turbulent ändert?
größer
x
Wie verhält sich der Durchlässigkeitsbeiwert kf,A, wenn
der charakteristische Korndurchmesser d10 durch Materialumlagerung kleiner wird?
Wie verhält sich der kritische hydraulische Gradient ikrit,
wenn die Lagerungsdichte des Bodens zunimmt?
geringer
x
Wie verhält sich der Durchlässigkeitsbeiwerts eines Bodens, wenn die Schichtdicke zunimmt?
Wie verhält sich die Filtergeschwindigkeit vf mit steigender Temperatur?
gleich
x
x
x