(UN-)GLEICHUNGEN

Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz
(U N -)G LEICHUNGEN
Fortgeschrittene 2
Gleichungen
Aufgabe 1. Bestimme alle x ∈ R≥0 die folgende Gleichung lösen:
√
√
√
3
x + 4 x =6 6 x
Aufgabe 2. Bestimme alle x ∈ R die folgende Gleichung lösen:
√
√
√
x
x
x
16 + 20 = 25
Aufgabe 3. Bestimme alle x ∈ R die folgende Gleichung lösen:
sin4 ( x) + cos7 ( x) =1
Aufgabe 4 (MO531244). Finde alle x, y, z ∈ R, die folgendes Gleichungssystem lösen!
x3 + y3 = 3y + 3z + 4
y3 + z3 = 3z + 3x + 4
z3 + x3 = 3x + 3y + 4
Aufgabe 5. Finde alle x, y, z ∈ R, die folgendes Gleichungssystem lösen!
log(2xy) = log( x) · log( y)
log( yz) = log( y) · log( z)
log(2zx) = log( z) · log( x)
Hinweis: Mit log ist der Logarithmus zur Basis e gemeint.
Aufgabe 6 (MO561236). Bestimme alle paare reeller Zahlen x, y die folgendes Gleichungssystem lösen:
q
1 √
x 1 − y2 = ( 3 + 1)
4
p
√
1
y 1 − x2 = ( 3 − 1)
4
Aufgabe 7. Finde alle x, y, z ∈ R, die folgendes Gleichungssystem lösen!
4x2
=y
4x2 + 1
4y2
=z
4y2 + 1
4z2
=x
4z2 + 1
1
Ungleichungen
Aufgabe 1. Zeige, dass für alle x, y ∈ R>0 mit x + y = 1 stets
1
1
1+
≥9
1+
x
y
gilt.
Aufgabe 2. Beweise: Für alle reellen x mit 0 < x ≤ 1 gilt stets
√
√
3
1 + x + 3 1 − x < 2.
Aufgabe 3. Löse für x, y, z ∈ R>0 folgendes Gleichungssystem:
p
3
x − x3 +
q
3
x+y+z = 1
p
3
y − y3 + z − z3 = 2.
Aufgabe 4 (MO431345). Zeige, dass für a, b, c, d ∈ R≥0 stets die Ungleichung
a3 + b3 + c3 + d3 ≥ a2 b + b2 c + c2 d + d2 a
gilt. Man ermittle, unter welchen Bedingungen Gleichheit gilt.
Aufgabe 5. Finde alle x, y, z ∈ R>0 , die folgendes Gleichungssystem lösen!
xy + yz + zx =12
xyz =2 + x + y + z
Aufgabe 6. Finde alle x, y, z ∈ R, die folgendes Gleichungssystem lösen!
2
=2y
x
2
y + =2z
y
2
z + =2x
z
x+
Aufgabe 7 (MO511336). Zeige, dass für alle x, y, z ∈ R>0 mit x + y + z = 1 stets
1<
y( z + x)
z( x + y)
6
x( y + z)
+
+
≤
y + z − yz z + x − zx x + y − xy
5
gilt.
Aufgabe 8 (MO521236). Man bestimme alle Tripel ( x, y, z) reeller Zahlen, die das Gleichungssystem
1
1
1
3 x+
=4 y +
= 5 z+
x
y
z
xy + yz + zx =1
gilt.
Hinweis: Es gilt x2 + xy + yz + zx = ( x + y) · ( x + z).
2