Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen
Im folgenden werden Lösungen Quadratischer Gleichungen für reelle Zahlen betrachtet. Dabei wird
folgende Konvention verwendet: Lösungen „existieren“, wenn es reelle Zahlen gibt, die die
quadratische Gleichung erfüllen.
Link: Aufgaben zu den quadratischen Gleichungen
Form der Gleichung
ax 2  bx  c  0
a, b, c  
 bezeichne die Menge der reellen
Lösungen der quadratischen Gleichung
Lösungen existieren, falls
a  0, b2  4ac  0
Dies sind die Voraussetzungen für die folgenden Überlegungen.
Zahlen.
Begründung:
Dies ist die „allgemeine Form“ einer
quadratischen Gleichung.
Für a = 0 liegt keine quadratische
Gleichung vor. Daher wird im folgenden
vorausgesetzt, dass a von Null
verschieden ist.
Die Lösungsformel lautet:
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
a muss von Null verschieden sein, da a im Nenner der
Lösungsformel vorkommt.
b 2  4ac  0
ist notwendig, da der Radikant in der Lösungsformel größer oder
gleich Null sein muss.
Man erhält 2 verschiedene Lösungen, falls
b 2  4ac  0
Die Symbole x1, 2 und  referenzieren unter dieser Voraussetzung
die zwei verschiedenen Lösungen x1 und x 2 der quadratischen
Gleichung.
Die Lösungen lassen sich dann folgendermaßen darstellen:
x1 
Beispiel 1:
2 x 2  5x  3  0
ax 2  bx  c  0  a  2, b  5, c  3
verwendet die „allgemeine Form“ mit 2
verschiedenen Lösungen.
 b  b 2  4ac
 b  b 2  4ac
, x2 
2a
2a
Falls b 2  4ac  0 gilt, hat die quadratische Gleichung nur die eine
b
Lösung x  
2a
(1) prüfen, ob Lösungen für reelle Zahlen existieren
a20
b 2  4ac  25  4  2  ( 3)  49  0
=> es existieren zwei verschiedene Lösungen
(2) Anwendung der Lösungsformel
5  25  4  2  ( 3) 5  25  24

22
4
5  49 5  7
1


, x1  3, x2  
4
4
2
x1, 2 
Vereinfachte Form:
x 2  bx  c  0
Lösungen existieren, falls folgendes gilt:
2
b
  c0
2
Die Lösungsformel lautet dann:
2
x1, 2
b
b
    c
2
2
Man erhält 2 verschiedene Lösungen, falls
2
b
  c  0
2
Die Lösungen lassen sich dann folgendermaßen darstellen:
2
2
b
b
b
b
x1       c , x2       c
2
2
2
2
2
Beispiel 2:
x 2  6x  5  0
x 2  bx  c  0  b  6, c  5
Verwendet die „vereinfachte Form“
mit 2 verschiedenen Lösungen.
b
Falls    c  0 gilt, hat die quadratische Gleichung nur die eine
2
b
Lösung x  
2
(1) prüfen, ob Lösungen für reelle Zahlen existieren
2
b
  c  95  4  0
2
=> es existieren zwei verschiedene Lösungen
(2) Anwendung der Lösungsformel
x1, 2  3  9  5  3  4
x1  1, x2  5
Beispiel 3:
x2  2x  1  0
x 2  bx  c  0  b  2, c  1
Verwendet die „vereinfachte Form“
mit nur einer Lösung.
Beispiel 4:
x2  2x  3  0
x 2  bx  c  0  b  2, c  3
Dies ist ein Beispiel einer quadratischen
Gleichung, die im Bereich der reellen
Zahlen nicht lösbar ist.
(1) prüfen, ob Lösungen für reelle Zahlen existieren
2
b
   c  11  0
2
=> es existiert nur eine Lösung
(2) Lösung
x  1
(1) prüfen, ob Lösungen für reelle Zahlen existieren
2
b
   c  1  3  2
2
Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist für reelle Zahlen nicht
definiert. Damit ist die Lösungsformel
2
x1, 2
b
b
    c
2
2
für diesen Zahlenbereich nicht anwendbar