Übung 8.6.6 - Uni Kassel

Dr. Jürgen Senger
MATHEMATIK
Grundlagen für Ökonomen
ÜBUNG 8.6.6 - LÖSUNGEN
1.
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
 −1

 2
 3

 1

−3
7
13
4
4
 3

 
− 6
 − 4
⋅x =  

−3
0

 



− 2
 − 1
a.
Es handelt sich um ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit m = 4
Gleichungen und n = 3 Variablen.
b.
Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen m als Unbekannten n hat
genau dann eine eindeutige Lösung, wenn
r ( A ) = r ( A, b) = n < m
d.h. der Rang der Koeffizientenmatrix maximal und gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.
Die erweiterte Matrix lautet in Tabellenform:
−1
2
3
1
−3
7
13
4
4
−6
−3
−2
3
−4
0
−1
Umformung der erweiterten Matrix mit dem Gaußalgorithmus:
1
2
3
1
3
7
13
4
−4
−6
−3
−2
−3
−4
0
−1
− 1⋅ I
ÜBUNG 8.6.5 - LÖSUNGEN
1
0
0
0
3
1
4
1
−4
2
9
2
−3
2
9
2
II − 2I
III − 3I
IV − I
1
0
0
0
3
1
0
0
−4
2
1
0
−3
2
1
0
III − 4II
IV − II
2
Der Rang von A ist maximal und gleich dem Rang der erweiterten Matrix:
r ( A ) = r ( A, b ) = n = 3 < 4 = m
Es existiert also eine eindeutige Lösung. Das lineare Gleichungssystem ist
überbestimmt. Die letzte Gleichung ist aus den anderen ableitbar.
c.
Staffelform des linearen Gleichungssystems
x1 + 3x2 − 4 x3 = − 3
x2 + 2 x3 = 2
x3 = 1
Die Gleichungen werden von unten nach oben sukzessive gelöst
x3 = 1
x2 = 2 − 2 x3 = 2 − 2 ⋅1 = 0
x1 = −3 − 3x2 + 4 x3 = −3 − 3 ⋅ 0 + 4 ⋅1 = 1
Lösung
1
 
x =  0
1
 
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ÜBUNG 8.6.5 - LÖSUNGEN
2.
3
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
 1

 3
 −1

2
1
3
− 1
 2

 
4
2 ⋅ x =  6
 − 2
2 − 4 
 
3
a.
Es handelt sich um ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit weniger
Gleichungen m = 3 als Unbekannten n = 4. Ein solches lineares Gleichungssystem wird als unterbestimmt bezeichnet. Es hat mindestens einen Freiheitsgrad
(n − m = 4 – 3), d.h. mindestens eine Variable kann frei bestimmt werden.
b.
Das Rangkriterium für die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des linearen Gleichungssystems lautet
r ( A) = r ( A, b) = n
Da A eine 3×4-Matrix ist, ist der maximale Rang von A
r (A) = min(m, n) = m = 3 < 4 = n
Folglich gibt es keine eindeutige Lösung. Wenn das lineare Gleichungssystem
lösbar ist, dann hat es unendlich viele Lösungen.
c.
Lösung
1
2
3
−1
2
3
1
4
2
6
−1
3
2 −4 −2
1
2
3
−1
2
0 −5 −5
5
0
II − 3I
III + I
0
5
5
−5
0
1
2
3
−1
2
0
1
1
−1
0
0
5
5 −5
0
1
2
3
−1
2
0
1
1
−1
0
0
0
0
0
0
II : (−5)
III − 5II
Da die letzte Zeile nur Nullen enthält, ist die letzte Gleichung redundant. Der
Rang von A ist nicht maximal, sondern kleiner als die Zeilenzahl, aber gleich
dem Rang der erweiterten Matrix:
r ( A ) = r ( A, b ) = 2 < m = 3 < 4 = n
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Das Rangkriterium für die Existenz einer Lösung ist erfüllt. Das lineare Gleichungssystem ist also lösbar, hat aber keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele Lösungen.
Das lineare Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat zwei Freiheitsgrade.
Wir erhalten folgende Staffelform des lineare Gleichungssystems:
x1 + 2 x2 + 3 x3 − x4 = 2
x2 + x3 − x4 = 0
mit der Lösung
x2 = − x3 + x4
x1 = 2 − 2 x2 − 3x3 + x4
= 2 − 2(− x3 + x4 ) − 3x3 + x4
= 2 + 2 x3 − 2 x4 − 3 x3 + x4
= 2 − x3 − x 4
in Matrizenschreibweise
 x1   2   1 1  x3 
  =   − 
  
 x 2   0   1 − 1  x 4 
d.
Für x3 = 0 und x4 = 0 erhalten wir die Basislösung
 x1   2   1 1  0   2 
  =   − 
   =  
 x 2   0   1 − 1  0   0 
3.
Gegeben ist das homogene lineare Gleichungssystem:
x1 + 2 x2 + 3x3 − x4 = 0
3x1 + x2 + 4 x3 + 2 x4 = 0
− x1 + 3x2 + 2 x3 − 4 x4 = 0
a.
Wir wissen bereits aus Aufgabe 2, daß der Rang der Koeffizienten A nicht maximal, sondern nur 2 ist:
r (A) = 2 < m = 3 < 4 = n
und daß die letzte Zeile (Gleichung) redundant ist. Daher hat das homogene lineare Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung.
Wir bilden aus den ersten beiden linear unabhängigen Spalten/Zeilen die reguläre 2×2-Matrix A1 und aus den restlichen beiden Spalten/Zeilen die 2×2-
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Matrix A 2 . Analog fassen wir die ersten beiden Variablen, nach denen wir das
LS lösen, zum Vektor x1 und die restlichen beiden Variablen zum Vektor x 2
zusammen.
Das homogene lineare Gleichungssystem
Ax = 0
hat dann die Form
A1x1 + A 2 x 2 = 0
mit der nichttrivialen Lösung
x1∗ = − A1−1A 2 x 2
−1
 1 2   3 − 1
1  1 − 2   3 − 1
 
 x 2 = −


 x2
= − 
1  4 2 
− 5  − 3
 3 1  4 2 
1  − 5 − 5
− 5  1 1

 x2

 x 2 =
=
5
5 −5
5  1 − 1
 1 1
 x 2
= − 
 1 − 1
b.
Wir kennen außerdem bereits eine Basislösung (partikuläre Lösung) des inhomogenen linearen Gleichungssystems für x3 = 0 und x4 = 0 :
xˆ 1 = A1−1b
Die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems läßt sich
dann darstellen als Summe der allgemeinen Lösung des homogenen linearen
Gleichungssystems und einer Basislösung (partikulären Lösung):
x1 = xˆ 1 + x1∗ = A1−1b − A1−1A 2 x 2
Im Beispiel lautet die Basislösung
 2
xˆ 1 =  
 0
und die allgemeine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems
 1 1
 x 2
x1∗ = − 
 1 − 1
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Daraus folgt die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems
 2   1 1
 x 2
x1∗ =   − 
 0   1 − 1
x 
x 
mit x1 =  1  , x 2 =  3 
 x4 
 x2 
Wenn wir auch die frei gewählten Variablen und die Nichtbasisvariablen explizieren, lautet die Basislösung:
 2
 
0
x̂ =  
 0
 
 0
die allgemeine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems:
 1 1


1 − 1
∗

x =−
x
 −1 0  2


 0 − 1
und die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems:
 2   1 1

  
0   1 − 1

x=
x
−
 0  −1 0 2

  
 0   0 − 1
Allgemein gilt:
Axˆ = b
Ax∗ = 0
folglich gilt für die Summe
Axˆ + Ax∗ = b + 0
A(xˆ + x∗ ) = b
1
424
3
x
Also erfüllt
x = xˆ + x ∗
das lineare Gleichungssystem.
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