Skript zum Mathe-Vorkurs - Technische Universität Braunschweig

Vorkurs Mathematik 2016
Braunschweig
Wintersemester 2016/2017
Y. Narita
Institut für Geophysik und extraterrestrische Physik
Technische Universität Braunschweig
und
Institut für Weltraumforschung
Österreichische Akademie der Wissenschaften
Vorwort
Die physikalischen Phänomene verleihen der Mathematik eine Darstellung, und die Mathematik
verleiht dem physikalischen Gesetz wiederum eine Darstellung. Die Physik und die Mathematik
können nicht voneinander unabhängig entwickelt werden. Die Sprache der Physik ist Mathematik.
Unsere Alltagssprache ist unscharf: “Ein Auto fährt schnell,” aber wie schnell? Die Ungenauigkeit in der Alltagssprache stammt daraus, dass der Satz häufig nur qualitativ und nicht quantitativ formuliert wird. In der Physik wird der Satz quantitativ formuliert: Ein Auto fährt mit wie viel
Geschwindigkeit in km/h, in welche Richtung und in welchem Koordinatensystem. Der Begriff
“schnell” oder “langsam” ist nur relativ, und braucht eine Vergleichsreferenz.
Der Vorkurs Mathematik beschäftigt sich mit der Einführung in die Hochschulmathematik, die
in der Physik benötigt wird. Ziel der Vorlesung ist es, den Studienanfängern einen mathematischen
Wergzeugkasten an die Hand zu geben, mit dem sich die typischen physikalischen Problemstellungen mathematisch erschließen lassen. Um die Idee des Wergzeugkastens zu realisieren, ist die
Vorlesung mit möglichst vielen Tabellen und Bildern in 10 Kapitel unterteilt.
Diese Vorlesung ist die Vorstufe der Vorlesung “Rechenmethoden der Physik” (Skript von
Uwe Motschmann, Institut für Theoretische Physik, Technische Universität Braunschweig, 2013).
Der Inhalt ist entsprechend dafür ausgewählt. In den späteren Kapiteln wird auch gezeigt, warum
man Differentiation, Integration oder komplexe Zahlen braucht.
In dieser Vorlesung wird bewusst auf zahlreiche wichtig Themen der Hochschulmathematik
verzichtet, z.B. das Epsilon-Delta-Kriterium, die Folge, die Vektoranalysis, die Riemann-Summe
und das Lebesgue-Integral, die Delta-Funktion, die nicht-quadratische Matrizen, die Gruppentheorie, die Nichtlinearität (Chaos und Fraktal), die Stochastik, die Statistik und die Fourier- und
Laplace-Transformationen. Diese Themen werden in anderen Vorlesungen wie Analysis, lineare
Algebra und Funktionstheorie erklärt und diskutiert.
Während der Vorbereitung für die Vorlesung habe ich viel Unterstützung und Hilfe von meinen
Kollegen erhalten. Mein herzlicher Dank geht an Prof. Karl-Heinz Glaßmeier und Priv.-Doz. Uwe
Rossow für die Skriptvorlage, Prof. Uwe Motschmann für die Koordination sowie Niklas Casper
und Christine Kirsch für die technische Hilfe. Ich bedanke mich auch bei den Übungsbetreuern
für die Zusammenarbeit: Lukas Debbeler, Dennis Kreith, Marcel Lorenzen, Kristin Pump, Corinna
Schäfer und Alex Schmidt.
Yasuhito Narita
Graz, September 2016
i
Vorwort
Dieses Skript ist unter
http://www.tu-braunschweig.de/eitp/studieninteressierte/physik/vorkurse
vorhanden.
ii
Programm
• Zeit: vom Dienstag 4. Oktober bis Freitag 14. Oktober 2016, 09:30 bis 15:30 Uhr
– Vorlesung von 09:30 bis 11:30 Uhr im MS3.1 (großer Hörsaal)
– Mittagspause von 11:30 bis 13:00 Uhr mit den Übungsbetreuern
– Übung von 13:00 bis 15:30 Uhr in verschiedenen Übungsräumen
• Ort: Physikzentrum, TU Braunschweig, Mendelssohnstr. 3, 38106 Braunschweig
• Team: Yasuhito Narita (Dozent) mit Lukas Debbeler, Dennis Kreith, Marcel Lorenzen, Kristin Pump, Corinna Schäfer und Alex Schmidt als Übungsbetreuer
• Gästeprogramme zur Vorlesung: (1) Christine Kirsch (Studiengangskoordinatorin) mit der
Fachgruppe, (2) Career Service, (3) Gauß IT Zentrum, (4) International Office, (5) Diversity
Mentoring.
• Übungen: Mathe-Test am 1. Tag. Das Arbeiten mit den Übungsaufgaben wird individuell
zu Hause gemacht, und die Aufgaben oder die Lösungen werden am Folgetag während der
Übungsstunden besprochen, z.B. das Blatt für die Übung-2 wird am 1. Tag verteilt und die
Lösung wird am 2. Tag besprochen.
iii
Programm
Zeit- und Raumpläne
Dienstag, 4. Oktober 2016
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:00
16:00 -
Vorlesung Kap. 1 (Einführung)
Diskussion
Vorstellung der Übungsbetreuer
Zuteilung in die Übungsgruppen
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 1 (Mathe-Test)
Verteilung des Blatts Übung-2
Übungsbetreuer korrigieren die Arbeitszettel von der Mathe-Test
Mittwoch, 5. Oktober 2016
09:00 - 09:30
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:30
Diskussion im Kreise der Übungsbetreuer (MS3.2)
Vorlesung Kap. 2 (Algebra und Funktionen)
Vorstellung der Studiengangskoordinatorin
(Christine Kirsch) und Fachgruppe
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 2 (Umformen)
Verteilung des Blatts Übung-3
Donnerstag, 6. Oktober 2016
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:30
iv
Vorlesung Kap. 3 (Reihen und Grenzwerte)
Vorstellung Career Service (Lisa Dauke)
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 3 (Algebra und Funktionen)
Verteilung des Blatts Übung-4
Programm
Freitag, 7. Oktober 2016
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:30
Vorlesung Kap. 4 (Differentiation)
Vorstellung Gauß IT Zentrum (Sebastian Homann)
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 4 (Reihen und Grenzwerte)
Verteilung des Blatts Übung-5
Montag, 10. Oktober 2016
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:30
Vorlesung Kap. 5 (Integration)
Diskussion
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 5 (Differentiation)
Verteilung des Blatts Übung-6
Dienstag, 11. Oktober 2016
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:30
Vorlesung Kap. 6 (Komplexe Zahlen)
Vorstellung International Office (Knud Mehlhorn)
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 6 (Integration)
Verteilung des Blatts Übung-7
Mittwoch, 12. Oktober 2016
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:30
Vorlesung Kap. 7 (Vektoren)
Diversity Mentoring (Nora Harting)
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 7 (Komplexe Zahlen)
Verteilung des Blatts Übung-8
Donnerstag, 13. Oktober 2016
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:30
Vorlesung Kap. 8 (2×2 Matrizen)
Diskussion
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 8 (Vektoren)
Verteilung des Blatts Übung-9
v
Programm
Freitag, 14. Oktober 2016
09:30 - 11:00
11:00 - 11:30
11:30 - 13:00
13:00 - 15:30
Vorlesung Kap. 9 (3×3 Matrizen)
Diskussion
Mittagspause mit den Übungsbetreuern
Übung 9 (Matrizen)
Tabelle 1: Übungsräume. Sechs Räume werden für die Übungen reserviert. Die Übung findet jeden
Tag in der zyklischen Art im anderen Raum statt, damit die Studienanfänger alle Übungsräume
kennen lernen.
MS2.142
MS3.202
MS3.2
MS3.3
MS3.318
MS3.415
angewandte kondensierte Hörsaal
Hörsaal theoretische Geophysik
Physik
Materie
Physik
Di.
Mi.
Do.
Fr.
4.10.
5.10.
6.10.
7.10.
Debbeler
Schmidt
Schäfer
Pump
Kreith
Debbeler
Schmidt
Schäfer
Lorenzen
Kreith
Debbeler
Schmidt
Pump
Lorenzen
Kreith
Debbeler
Schäfer
Pump
Lorenzen
Kreith
Schmidt
Schäfer
Pump
Lorenzen
Mo.
Di.
Mi.
Do.
Fr.
10.10.
11.10.
12.10.
13.10.
14.10.
Lorenzen
Kreith
Debbeler
Schmidt
Schäfer
Pump
Lorenzen
Kreith
Debbeler
Schmidt
Schäfer
Pump
Lorenzen
Kreith
Debbeler
Schmidt
Schäfer
Pump
Lorenzen
Kreith
Debbeler
Schmidt
Schäfer
Pump
Lorenzen
Kreith
Debbeler
Schmidt
Schäfer
Pump
vi
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
i
Programm
1
Einleitung
1
1.1
Zahlenräume und Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
2
Algebra und Funktionen
5
2.1
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.1
Quadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Kubische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Quartische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.1
Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.2
Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.3
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.4
Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.5
Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
2.3
2.4
3
iii
Reihen und Grenzwerte
17
3.1
Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3
Reihenentwicklung der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
vii
Inhaltsverzeichnis
4
5
Differentiation
23
4.1
Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.2
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.4
Minimum und Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.5
Krümmungsradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Integration
31
5.1
Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.3
Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3.1
Substituion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3.2
Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Integralfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.4
6
7
8
Komplexe Zahlen
39
6.1
Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.3
Einführung in den Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Vektoren
45
7.1
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7.2
Operationen im Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7.2.1
Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7.2.2
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7.2.3
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.3
Rotation des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.4
Vektor-Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Zwei-mal-zwei Matrizen
51
8.1
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
8.2
Eigenschaften und Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
8.2.1
Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
8.2.2
Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
8.2.3
Einheitsmatrix und Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
8.2.4
Skalar-Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Eigenwerte und -vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
8.3.1
Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
8.3.2
Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
8.3.3
Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.3
viii
Inhaltsverzeichnis
9
Drei-mal-drei Matrizen
9.1 Eigenschaften und Operationen . .
9.1.1 Operationen . . . . . . . .
9.1.2 Einheitsmatrix und Inverse
9.1.3 Skalar-Invariante . . . . .
9.2 Eigenwerte und -vektoren . . . . .
10 Differentialgleichungen
10.1 Exponentialfunktion . .
10.2 Nichtlineares System . .
10.3 Harmonische Oszillation
10.4 Matrix-Methode . . . . .
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A Zeichen und Symbole
A.1 SI-Basiseinheiten und Vorsätze. . . . . .
A.2 Mathematische Zeichen und Symbole . .
A.3 Griechische Buchstaben . . . . . . . . . .
A.4 Bezeichnungen für physikalische Größen
Literaturverzeichnis
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59
59
59
61
62
62
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65
65
65
67
68
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71
71
72
73
74
75
ix
1 Einleitung
1.1
1.1.1
Zahlenräume und Operationen
Ganze Zahlen
Natürliche Zahlen
Die Zahl Eins bildet einen Satz oder eine Menge der natürlichen Zahlen N:
N = {1, 2, 3, · · · }
(1.1)
Eine Ordnung besteht zwischen zwei Zahlen m und n, z. B.
m<n
(1.2)
Man kann zwei natürlichen Zahlen addieren. Die Summe (die Addition) ist wiederum eine natürliche Zahl:
m, n ∈ N
⇒
m + n = ` ∈ N.
(1.3)
Ganze Zahlen
Die inverse Operation zur Addition ist die Subtraktion. Wir suchen nach der Lösung x für die
folgende Gleichung mit zwei natürlichen Zahlen n und m:
x = n − m ∈ N.
(1.4)
Das gilt nur bei n > m. Nun erweitern wir x von den natürlichen Zahlen N auf die ganzen Zahlen
Z, und akzeptieren x = 0 oder x < 0 für n = m bzw. n < 0. Somit ist die Gleichung
x + m = n.
(1.5)
immer lösbar mit den ganzen Zahlen m, n ∈ Z.
Primzahlen
Wenn die natürliche Zahl n m-mal zusammengesetzt wird, schreibt man die Multiplikation von n
mit m:
mn = n
(1.6)
| +n+
{z· · · + n} .
m
1
1 Einleitung
Eine Gruppe der natürlichen Zahlen kann als Multiplikation von der kleineren Zahl zerlegt werden.
Andere Gruppe kann außer 1 nicht mehr in kleinere Zahlen zerlegt werden. Die zweite Gruppe
wird als Primzahl bezeichnet. 137 ist eine Primzahl. 1 ist keine Primzahl. Somit kann man die
natürlichen Zahlen als Satz der Primzahlen betrachten. Es gibt bis heute noch keine bekannte
Methode, alle Primzahlen zu ermitteln. Man kann nur die gegebene Zahl überprüfen, ob sie eine
Primzahl ist oder nicht.
Rätsel der Primzahlen
Euler hat aus den Primzahlen eine Formel entdeckt:
22
32
52
72
π2
×
×
×
×
·
·
·
=
22 − 1 32 − 1 52 − 1 72 − 1
6
Riemann’sche ζ-Funktion (Zeta-Funktion) ist eine allgemeine Behauptung über die Primzahlen:
1
1
1
1
1
1
1
×
×
×
× ···
ζ(s) = s + s + s + · · · =
1
1
1
1
2
3
1 − 2s
1 − 32
1 − 52
1 − 712
Ob es eine Regel in der Reihenfolge der Primzahlen gibt, bleibt bis heute noch unbeantwortet.
1.1.2
Reelle Zahlen
Rationale Zahlen
Aus zwei natürlichen Zahlen m und n bildet die Multiplikation wiederum eine Gruppe der natürlichen Zahlen:
m, n ∈ N
⇒
mn = ` ∈ N
(1.7)
Nun erweitert man die Multiplikation auf die Division (die inverse Operation):
n
x=
(1.8)
m
Das Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen wird als rationalen Zahl bezeichnet. Somit existiert
die Lösung x der linearen Gleichung
ax + b = 0
(1.9)
n1
n2
mit den rationalen Zahlen a = m
und b = m
. Die Lösung ist wiederum eine rationale Zahl,
1
2
n2 m1
b
x = − a = − m2 n2 . Die rationalen Zahlen zeigen ein regelmäßiges Muster in der dezimalen
Darstellung:
1
2
1
3
1
7
1
11
1
13
2
= 0.500 000 · · ·
(1.10)
= 0.333 333 · · ·
(1.11)
= 0.142 857 142 857 · · ·
(1.12)
= 0.090 909 090 909 · · ·
(1.13)
= 0.076 923 076 923 · · ·
(1.14)
1.1 Zahlenräume und Operationen
Tabelle 1.1: Zahlenräume.
Symbol
Name
Beispiele
natürliche
ganze
rationale
reelle
komplexe
N
Z
Q
R
C
1, 2, 3, · · ·
0, ±1, ±2, · · ·
1 1
2, 3, · · ·
√
1
2 , 2, π, e, · · ·
1 + i, eıθ · · ·
Irrationale Zahlen
Die inverse Operation des Quadrats ist die Quadratwurzel, somit wird der Zahlenraum auf irratio√
nale Zahlen erweitert, z.B. x (Quadratwurzel), π (Kreiszahl) oder e (Eulersche Zahl1 ):
√
2 = 1.414 213 · · ·
(1.15)
3 = 1.732 050 · · ·
(1.16)
5 = 2.236 067 · · ·
(1.17)
π = 3.141 592 · · ·
(1.18)
e = 2.718 281 · · ·
(1.19)
√
√
Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen. Der Zahlenraum wird
damit für die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division (außer Division durch
Null) abgeschlossen. Eine geometrische oder graphische Darstellung der reellen Zahlen ist eine
gerade Linie. Ein Punkt auf der Linie entspricht einem Wert der reellen Zahl.
1.1.3
Komplexe Zahlen
√
√
Die Quatratwurzeln der reellen Zahlen sind nicht immer reell, z.B. 2 ist reell aber −2 nicht.
Man erweitert den Zahlenraum von den reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen, und führt die
imaginäre Einheit i ein:
√
i = −1
(1.20)
√
√
damit z.B. −2 als i 2 geschrieben wird. Eine komplexe Zahl besteht aus der reelen Zahl a und
der imaginären Zahl ib:
z = a + ib
(1.21)
Der Zahlenraum der komplexen Zahl ist unter der Operationen der Addition, der Subtraktion, der
Multiplikation, der Division (außer Division durch Null) und der Quadratwurzel (oder Potenzen
z m/n ) im Allgemeinen) abgeschlossen. In der Physik treten die komplexen Zahlen in der Quantenmechanik (als Wellenfunktion) auf.
1
Auch als Napier-Konstante nach John Napier (1550–1617) bezeichnet. Das Symbol e wurde von Leonhard Euler
(1707–1783) im Jahr 1728 als exponential eingeführt.
3
1 Einleitung
Erweiterte Zahlenräume
Der Begriff der Zahlenräume wird von der komplexen Zahlenebene noch verallgemeinert.
Man führt eine Algebra mit unterschiedlichen Regeln ein, z.B.
• Graßmann-Zahl mit der Regel: a × b = −b × a.
• Clifford-Algebra mit der Regel: ei ej = −ej ei und hei , ei i = ±1.
k
• Lie-Algebra mit der Regel [ai , aj ] = ai aj − aj ai = Cij
ak .
• Quaternion q = a + bi + cj + dk mit der Regel: i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j,
ji = −k, kj = −i, ij = −j.
1.2
Dimensionen
Alle physikalische Größe haben eine Dimension, die kann als Kombination von der Länge [L]
(z.B. Meter [m], Centimeter [cm], Millimeter [mm] oder Kilometer [km]), der Masse [M ] (z.B.
Kilogramm [kg], Gramm [g]), und der Zeit [T ] (z.B. Sekunde [s]) dargestellt werden:
• Die Geschwindigkeit (z.B. des Teilchens, der Wellen oder der Strömung) hat die Dimension
von Länge nach Zeit, [L/T ] oder [LT −1 ], z.B. Meter pro Sekunde.
• Die Kraft hat die Dimension von [N ] (Newton). Aus der Bewegungsgleichung F = ma
kann man die Dimension von Newton wie folgt ausdrürcken:
[N ] = [kg] × [m/s2 ] = [kg m s−2 ]
= [L M T −2 ]
• Das Internationale Einheitssystem oder SI-Basiseinheiten (Système international d’Unités)
wird oft in der Physik verwendet (Tab. A.1).
• Für größere oder kleinenere Zahlen werden Vorsätze (Tab. A.2) auch verwendet.
4
2 Algebra und Funktionen
2.1
2.1.1
Algebra
Operationen
• Kommutation
a+b = b+a
(2.1)
ab = ba.
(2.2)
Bei der Matrix wird die Kommutation nicht immer erfüllt:
AB 6= BA
(2.3)
a + (b + c) = (a + b) + c
(2.4)
(a + b)c = ac + bc
(2.5)
• Assoziation
• Distribution
2.1.2
Binomische Formeln
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
(2.6)
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
4
(x + y)
n
(x + y)
4
3
2 2
(2.7)
3
= x + 4x y + 6x y + 4xy + y
n
n−1
= x + 1 Cn−1 xy
n
X
n−k k
=
y
n Ck x
4
2 n−2
+ 2 Cn−2 x y
(2.8)
+ ···
(2.9)
(2.10)
k=0
Die Koeffizienten
n Ck
=
n
k
!
=
n!
k! (n − k)!
(2.11)
sind die Binomialkoeffizienten.
5
2 Algebra und Funktionen
2.2
2.2.1
Algebraische Gleichungen
Quadratische Gleichung
Die quadratische Gleichung
ax2 + bx + c = 0
(2.12)
hat die Lösung in Form (sog. Mitternachtsformel)
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
.
2a
(2.13)
Man kann die Diskriminante D definieren:
D = b2 − 4ac
(2.14)
Die Lösung x ist reellzahlig bei D ≥ 0, und komplexzahlig bei D < 0
Faktorisierung
Mit den Lösungen x1 und x2 kann man die quadratische Gleichung faktorisieren:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = 0
√
−b + b2 − 4ac
x1 =
√2a
−b − b2 − 4ac
x2 =
.
2a
2.2.2
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Kubische Gleichung
Schritt 1: Reduktion der Gleichung
Die kubische Gleichung wird von
x3 + ax2 + bx + c = 0
(2.18)
x03 + px0 + q = 0
(2.19)
auf
reduziert, und zwar mit
x = x0 −
a
3
(2.20)
(2.21)
a2
p = b−
3
2a3 ab
q =
−
+ c.
27
3
6
(2.22)
(2.23)
2.2 Algebraische Gleichungen
Schritt 2: Lösungsformel von Cardano
Nun wird die reduzierte Gleichung mit der Formel von Cardano gelöst:
x3 + px + q = 0
(2.24)
wobei p 6= 0 und q 6= 0. Die erste Lösung ist
s
x=
3
q
− +
2
r p 3
3
s
+
q 3
2
+
3
q
− −
2
r p 3
3
+
q 2
2
(2.25)
Man kann wieder die Diskriminante D definieren:
D=
p 3
3
+
q 2
(2.26)
2
Die Lösungen sind:
x1
x2
x3
2.2.3
r
r
q √
q √
3
=
− + D+ 3 − − D
2
2
√ !r
r
q √
q √
1
3
3
− + D+ 3 − − D
=
− +i
2
2
2
2
√ !r
r
1
3
q √
q √
3
=
− −i
− + D+ 3 − − D
2
2
2
2
(2.27)
√ !
1
3
− −i
2
2
√ !
1
3
− +i
.
2
2
(2.28)
(2.29)
Quartische Gleichung
Schritt 1: Reduktion der Gleichung
Die quartische Gleichung wird von
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
(2.30)
x03 + px02 + qx + r = 0
(2.31)
auf
reduziert, und zwar mit
x = x0 −
a
4
(2.32)
(2.33)
3a2
p = b−
8
a3 ab
q =
−
+c
8
2
ab ac
3a4
r = −
+
−
+d
256 16
4
(2.34)
(2.35)
(2.36)
7
2 Algebra und Funktionen
Schritt 2: Lösungsformel von Ferrari
s
1
2
x1,2 =
x3,4 = −
!
2q
−p − √
− 2λ
2λ − p
s
!
p
2q
2λ − p ± −p − √
− 2λ
2λ − p
p
2λ − p ±
1
2
(2.37)
(2.38)
wobei λ die Lösung der folgenden kubischen Gleichung (resolvent cubic equation) ist:
1
p
λ3 − λ2 − rλ − (q 2 − 4pr) = 0
2
8
(2.39)
nämlich,
s
λ = ω
m
3
−
q0
2
r
+
q 02
4
+
p03
27
s
+ω
3−m3
3
q0
− −
2
r
q 02 p03 p
+
+
4
27
6
p2
−r
12
p3 pr q 2
= −
−
108 3
8
(2.40)
p0 = −
(2.41)
q0
(2.42)
Algebraische Gleichung höherer Ordnung
Algebraische Gleichung n-ter Ordnung:
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
(2.43)
hat die n Nullstellen oder Lösungen im Komplexen (cf. Fundamentalsatz dre Algebra):
an (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) = 0.
(2.44)
Bis 4. Ordnung gibt es Lösungsformeln (Cardano, Ferrari usw.). Ab 5. Ordnung gibt es aber keine Lösungsformel, weil die Lösungen nicht mit der Arithmetik oder der Quartratwurzel ermittelt
werden können (cf. Galois-Theorie). Für die algebraische Gleichung 5. Ordnung (quintische Gleichung) gibt es aber ein Lösungsverfahren mit der elliptischen Funktion (Abramowitz und Stegun
1964).
2.3
2.3.1
Elementare Funktionen
Potenzfunktionen
Die Funktion in Form
f (x) = xα
oder
f (x) = xn
(2.45)
wird als Potenzfunktion bezeichnet. α oder n stellen die Potenz oder der Skalenindex dar. Bei
n = 0 hat die Potenzfunktion den Wert von eins:
x0 = 1.
8
(2.46)
2.3 Elementare Funktionen
Bei n = 1, 2, · · ·
xn = |x x {z
· · · x}
(2.47)
23 = 2 × 2 × 2 = 8.
(2.48)
n
z. B.
Bei der negativen Potenz kann man wie folgt umschreiben:
x
n
1
=
x
(2.49)
3
1
1
= .
=
2
8
(2.50)
−n
hier n = 1, 2, · · · , z.B.
−3
2
Bei der reellen Zahl α ∈ R
xα = e β
β = log (xα ) = α log x
(2.51)
(2.52)
(2.53)
oder mit Hilfe von log10 dekadischen Logarithmus (oder Zehnerlogarithmus oder “common logarithm”):
xα = 10β
β = log10 (xα ) = α log10 x.
(2.54)
(2.55)
z.B.
2.5
22.5 = 10log10 (2 ) = 102.5 log10 2 ' 102.5×0.301 = 100.753 ' 5.66
(2.56)
Die Graphik der Funktionen f (x) = x2 und f (x) = x−1/2 wird in der Abb. 2.1 gezeigt.
Abbildung 2.1: Potenzfunktion f (x) = x2 und f (x) = x−1/2 .
9
2 Algebra und Funktionen
2.3.2
Polynomfunktionen
Die Funktion in Form:
f (x) = an xn + an−1 xn−1 · · · + a1 x + a0
n
X
=
ai xi
(2.57)
(2.58)
i=0
wird als Polynomfunktion bezeichnet. Legendre-Polynome sind ein Beispiel:
f (x) = P0 (x) = 1
(2.59)
f (x) = P1 (x) = x
1
f (x) = P2 (x) = (3x2 − 1)
2
1
f (x) = P3 (x) = (5x3 − 3x)
2
1
f (x) = P4 (x) = (35x4 − 30x2 + 3)
8
..
.
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
Die Kurven von P1 (x), P2 (x), P3 (x) und P4 (x) werden in der Abb. 2.2 gezeigt. Eine Polynomfunktion n-ter Ordnung hat n-mal Extrema f 0 (x) = df
dx = 0.
Orthogonale Funktionen 1
Die Legendre-Polynome sind orthogonal zueinander im Bereich −1 ≤ x ≤ 1.
(
Z 1
2
(m = n)
2n+1
hPm , Pn i =
Pm (x)Pn (x) dx =
0 (m 6= n)
−1
Andere Beipiele der orthogonalen Funktionen sind die Laguerre-Polynome Lm (x) (orthogonal im Bereich 0 ≤ x < ∞) und die Hermite-Polynome Hm (x) (orthogonal im Bereich
−∞ < x < ∞.
2.3.3
Trigonometrische Funktionen
Die Sinus-, die Cosinus-, und die Tangens-Funktionen werden als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definiert (Abb. 2.3):
sin θ =
cos θ =
tan θ =
Die folgenden Relationen bestehen:
10
y
r
x
r
y
x
(2.64)
(2.65)
(2.66)
2.3 Elementare Funktionen
Abbildung 2.2: Polynomfunktion f (x) = x, f (x) =
f (x) = 18 (35x4 − 30x2 + 3).
y
1
2
2 (3x
1
− 1), f (x) =
1
3
2 (5x
− 3x) und
sin θ
θ
-1
0
1
x
cos θ
-1
Abbildung 2.3: Definition der Sinus- und der Cosinus-Funktionen.
sin2 x + cos2 x = 1
(2.67)
sin(2x) = 2 sin x cos x
(2.68)
cos(2x) = 2 cos2 x − 1
(2.69)
sin(3x) = −4 sin3 x + 3 sin x
(2.70)
cos(3x) = 4 cos3 x − 3 cos x
(2.71)
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
(2.72)
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
(2.73)
11
2 Algebra und Funktionen
Eine Summe von sin x und cos x wird ein Produkt von sin x und cos x, und ein Produkt wird
wiederum eine Summe:
x+y
x−y
cos
2
2
x+y
x−y
2 cos
cos
2
2
1
sin(x + y) + sin(x − y)
2
1
cos(x − y) − cos(x + y)
2
1
cos(x + y) + cos(x − y)
2
sin x + sin y = 2 sin
(2.74)
cos x + cos y =
(2.75)
sin x cos y =
sin x sin y =
cos x cos y =
(2.76)
(2.77)
(2.78)
Die Kurven von f (x) = sin x, f (x) = cos x und f (x) = tan x werden in der Abb. 2.4 gezeigt.
Abbildung 2.4: Trigonometrische Funktionen f (x) = sin x, f (x) = cos x und f (x) = tan x.
Tabelle 2.1: Werte von sin θ, cos θ und tan θ.
π
π
π
π
θ [rad] 0
6
4
3
2
Grad 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
12
sin θ
0
cos θ
1
tan θ
0
1
√2
3
2
√1
3
√1
2
√1
2
1
√
3
2
1
2
√
3
1
0
∞
2.3 Elementare Funktionen
Radian und Grad
Man kann den Winkel θ sowohl in Bogenmaß als auch in Gradmaß ausdrücken. Die Konversion
zwischen den zwei Winkelmaßen erfolgt durch:
π [rad] = 180 [Grad].
(2.79)
Orthogonale Funktionen 2
sin x und cos x sind auch orthogonale Funktionen.
π
Z
(
π
0
(m = n)
(m 6= 0)
(
π
0
(m = n)
(m 6= 0)
cos(mx) cos(nx) dx =
−π
Z
π
sin(mx) sin(nx) dx =
Z
−π
π
cos(mx) sin(nx) dx =
0
−π
2.3.4
Exponentialfunktion und Logarithmus
• Die Exponentialfunktion
f (x) = ex
ist die Eigenfunktion des Differentialoperators
(2.80)
d
dx :
d x
e = ex
dx
(2.81)
Der Basis ist die Eulersche Zahl e:
e =
1
lim (1 + x) x
(2.82)
= 2.718 281 828 · · ·
(2.83)
ex+y = ex ey
ex
ex−y = y
e
exy = (ex )y = (ey )x
1 x
x
1
e y = (ex ) y = e y
(2.84)
x→0
• Rechenregeln:
(ae)x = ax ex
(2.85)
(2.86)
(2.87)
(2.88)
• Die Kurven von f (x) = ex und f (x) = log x werden in der Abb. 2.5 gezeigt.
• Der Logarithmus kann auch auf der anderen Basis evaluiert werden, log10 x, log2 x usw.
Die Basiskonversion ist:
logc b
(2.89)
loga b =
logc a
13
2 Algebra und Funktionen
Abbildung 2.5: Exponentialfunktion f (x) = ex und der natürliche Logarithmus f (x) = log x.
• Die Funktion log x hat die folgenden Eigenschaften:
log(xy) = log x + log y
x
log
= log x − log y
y
log(xa ) = a log x
(2.90)
(2.91)
(2.92)
• Beispiel:
log2 36
log2 4
log2 62
log2 12 −
log2 22
2 log2 6
log2 12 −
2 log2 2
2 log2 6
log2 12 −
2
log2 12 − log2 6
12
log2
6
log2 2
log2 12 − log4 36 = log2 12 −
=
=
=
=
=
=
= 1
14
(2.93)
2.4 Kegelschnitte
2.3.5
Hyperbolische Funktionen
• Die Funktionen f (x) sinh x, f (x) = cosh x und f (x) = tanh x werden aus der Exponentialfunktion ex definiert:
sinh x =
cosh x =
tanh x =
ex − e−x
2
x
e + e−x
2
sinh x
ex − e−x
= x
cosh x
e + e−x
(2.94)
(2.95)
(2.96)
Die Kurven werden in der Abb. 2.6 gezeigt.
Abbildung 2.6: Hyperbolische Funktionen: f (x) = sinh x, f (x) = cosh x und f (x) = tanh x.
• Die folgenden Relationen bestehen:
cosh2 x − sinh2 x = 1
1 − tanh2 x =
2.4
1
cosh2 x
(2.97)
(2.98)
Kegelschnitte
• Parabel
y = ax2 + b
(2.99)
x2 y 2
+ 2 = c2
a2
b
(2.100)
• Ellipse
15
2 Algebra und Funktionen
Tabelle 2.2: Elementare Funktionen
Name
Schreibweise
Potenzfunktion
Polynom
Trigonometrische Funktionen
Exponentialfunktion
Logarithmus
Hyperbolische Funktionen
xα
ax + bx2 + · · ·
sin x, cos x, tan x
ex oder exp x
log x oder ln x
sinh x, cosh x, tanh x
• Hyperbel
x2 y 2
− 2 = c2
a2
b
(2.101)
• Ein Kreis ist ein Spezialfall der Ellipse:
x2 + y 2 = c2
16
(2.102)
3 Reihen und Grenzwerte
3.1
Grenzwerte
• Bei limx→x0 f (x) = f0 und limx→x0 g(x) = g0 :
lim (f (x) ± g(x)) = f0 ± g0
(3.1)
x→x0
lim (cf (x)) = cf0
(3.2)
x→x0
lim (f (x) g(x)) = f0 g0
(3.3)
f (x)
g(x)
(3.4)
x→x0
lim
x→x0
f0
g0
=
wobei c = const und g0 6= 0 sind. Bei limx→x0 f (x) = f0 6= 0 und limx→x0 g(x) = 0
(x)
(x)
nicht, weil fg(x)
divergiert.
existiert der Wert limx→x0 fg(x)
• Die Grenzwerte werden als Konvergenz, Divergenz oder unbestimmte Form erhalten (Abb. 3.1).
f(x) = x
f(x) =
y
1
x
y
0
x
0
x
Abbildung 3.1: Konvergierende und divergierende (sogar unbestimmte) Grenzwerte.
• Bei limx→x0 f (x) = 0 und limx→x0 g(x) = 0 existiert hat limx→x0
unbestimmten Ausdruck (z.B. 00 , ∞
∞ oder 0 · ∞).
f (x)
g(x)
die Form vom
• Der unbestimmte Ausdruck kann trotzdem evaluiert werden, ob der Ausdruck einen be17
3 Reihen und Grenzwerte
stimmten Wert hat oder divergiert. Beispiel:
x2 − 3x + 2
x→2
x2 − 4
lim
(x − 2)(x − 1)
x→2 (x − 2)(x + 2)
x−1
= lim
x→2 x + 2
1
=
4
=
lim
(3.5)
(3.6)
(3.7)
• Oft kann man den Satz von l’Hospital (auch l’Hôpital) verwenden:
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x) x→x0 g (x)
(3.8)
dg
0
wobei f 0 (x) = df
dx und g (x) = dx die Ableitungen von f (x) bzw. g(x) sind (Kap. Differentiation). Beispiel: die Funktionen
f (x) = x2 − 3x + 2
g(x) = x2 − 4
(3.9)
(3.10)
haben die folgenden Ableitungen:
f 0 (x) = 2x − 3
(3.11)
g 0 (x) = 2x,
(3.12)
damit
x2 − 3x + 2
x→2
x2 − 4
lim
2x − 3
x→2
2x
1
=
4
=
lim
(3.13)
(3.14)
• Noch ein Beispiel mit Hilfe der Differentiation:
lim
x→0
sin x
x
= 1
(3.15)
(sin x)0
x→0
x0
cos x
= lim
x→0 1
= 1
=
lim
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Man kann auch aus der Polynomentwicklung sehen:
Die Graphik von
sin x
x
x3 x5
+
− ···
3!
5!
x2 x4
= 1−
+
− ···
3!
5!
sin x = x −
(3.19)
sin x
x
(3.20)
wird in der Abb. 3.2 gezeigt.
• Die Eulersche Zahl e wird als Grenzwert definiert:
e =
1
lim (1 + x) x
x→0
= 2.718 281 828 · · ·
18
(3.21)
(3.22)
3.2 Reihe
Abbildung 3.2: Die Funktion f (x) =
3.2
sin x
x .
Reihe
• Die Eulersche Zahl kann aus der Reihenentwicklung von ex bestimmt werden (TaylorReihe):
x
e
∞
X
1 n
x
=
n!
(3.23)
1
1
1
= 1 + x + x + x2 + x3 + · · · .
2
6
24
(3.24)
n=0
Nun setzen wir x → 1:
e =
∞
X
1
n!
(3.25)
n=0
1 1
1
+ +
+ ···
2 6 24
(3.26)
ri = 1 + r + r2 + · · · + rn
(3.27)
= 1+1+
wobei die Fakultät 0! als 0! = 1 definiert ist.
• Geometrische Reihe:
n
X
i=0
=
1 − rn
1−r
(3.28)
• Bei n → ∞ und |r| < 1:
∞
X
rn = 1 + r + r2 + · · · +
(3.29)
n=0
=
1
.
1−r
(3.30)
19
3 Reihen und Grenzwerte
Ein Beispiel. Die geometrische Reihe bei r =
∞ n
X
1
n=0
2
1
2
1
= 1+ +
2
1
1−
= 2
=
ist (Abb. 3.3)
2 3
1
1
+
+ ···
2
2
(3.31)
(3.32)
1
2
(3.33)
1/2
1
1/4
1/8
Abbildung 3.3: Graphische Darstellung der geometrischen Reihe.
3.3
Reihenentwicklung der Funktionen
• Taylor-Reihe in der Nähe von x = 0:
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
(3.34)
Beispiel:
log(1 + x)
x x2 x3
'1− +
−
x
2
3
4
Taylor-Reihe in der Nähe von x = a:
f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + a3 (x − a)3 + · · ·
(3.35)
(3.36)
• Padé-Approximation als rationale Funktion:
f (x) =
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 · · ·
b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 · · ·
(3.37)
Beispiel:
log(1 + x)
6+x
'
(3.38)
x
6 + 4x
Die Kurven der beiden Annäherungen werden in der Abb. 3.4 gezeigt. Die Padé-Approximation
kann besser eine Funktion besser (d.h. im größeren Bereich von x) als Taylor-Reihe darstellen.
• Fourier-Reihe für eine periodische Funktion im Bereich −π ≤ x ≤ π:
f (x) = a0 + a1 sin x + a2 sin 2x + a3 sin 3x + · · ·
+b1 cos x + b2 cos 2x + b3 cos 3x + · · ·
20
(3.39)
3.3 Reihenentwicklung der Funktionen
Abbildung 3.4: Die Funktion f (x) = log(1+x)/x mit der Taylor- und der Padé-Approximationen.
• Entwicklung in die Legendre-Polynome im Bereich −1 ≤ x ≤ 1:
f (x) = a0 P0 (x) + a1 P1 (x) + a2 P2 (x) + a3 P3 (x) + · · ·
(3.40)
21
4 Differentiation
4.1
Definition und Eigenschaften
• Differentialquotient:
f 0 (x) =
df
f (x + h) − f (x)
= lim
dx h→0
h
(4.1)
f(x)
f'(x)
x
Abbildung 4.1: Die Funktion f (x) und die Ableitung f 0 (x).
• Der Differentialoperator
d
dx
ist linear:
(f + g)0 = f 0 + g 0
(cf )0 = cf 0
0
0
(4.2)
(c = const)
(4.3)
0
(4.4)
(f g) = f g + f g
0
f
= f 0 g + f 0 (g −1 ) = (f 0 g − f g 0 )/g 2
g
4.2
(4.5)
Beispiele
• Quadrat f (x) = x2 :
(x + h)2 − x2
h→0
h
x2 + 2xh + h2 − x2
= lim
h→0
h
= 2x
d 2
x =
dx
lim
(4.6)
(4.7)
(4.8)
23
4 Differentiation
• Kubik f (x) = x3 :
(x + h)3 − x3
h→0
h
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3
= lim
h→0
h
2
= 3x
d 3
x =
dx
lim
(4.9)
(4.10)
(4.11)
• Potenzfunktion f (x) = xn (n = ±1, ±2, · · · ):
oder bei α ∈ R (außer α = 0):
d n
x = nxn−1
dx
(4.12)
d α
x = αxα−1
dx
(4.13)
• Trigomometrische Funktionen:
Die Ableitung von sin x ist cos x.
sin(x + h) − sin x
h
2 cos(x + h2 ) sin h2
= lim
h→0
h
= cos x
(sin x)0 =
lim
(4.14)
h→0
(4.15)
(4.16)
Beachte:
sin A − sin B = 2 sin
sin h2
lim
= 1.
h
h
→0
2
A−B
2
cos
A+B
2
(4.17)
(4.18)
2
Die Ableitung von cos x ist − sin x.
cos(x + h) − cos x
h→0
h
−2 sin(x + h2 ) sin h2
= lim
h→0
h
= − sin x
(cos x)0 =
lim
Beachte:
cos A − cos B = −2 sin
Die Ableitung von tan x ist
sin
A+B
2
(4.20)
(4.21)
.
(4.22)
1
.
cos2 x
0
(tan x)
sin x 0
cos x
cos2 x + sin2 x
cos2 x
1
cos2 x
=
=
=
24
A−B
2
(4.19)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
4.2 Beispiele
• Exponential- und logarithmische Funktionen:
ex+h − ex
h→0
h
x
h
e (e − 1)
= lim
h→0
h
x
e (1 + h +
= lim
(ex )0 =
lim
h→0
x
(4.26)
(4.27)
h2
2
+ · · · − 1)
(4.28)
h
= e
(4.29)
d x
Die Exponentialfunktion ist also eine Eigenfunktion des Differentialoperators, dx
e = ex ,
und somit spielt eine wesentliche Rolle bei der Differential- und Integralrechnungen.
log(x + h) − log x
h
x+h
log x
lim
h→0
h
1 1
lim · · log(1 + t)
t→0 x t
1
1
lim log(1 + t) t
t→0 x
1
log e
x
1
x
(log x)0 =
lim
(4.30)
h→0
=
=
=
=
=
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
mit Hilfe von t = hx .
• Man kann den Differentialoperator wiederholen. Die Abhängigkeit von x lautet (Koeffizienten sind vernachlässigt):
(a)
··· y
(b)
log x y
(c)
··· y
(d)
d
dx
··· y
d
dx
d
dx
x2 y
d
dx
x y
d
dx
1 y
d
dx
0
1
1
1
yd
···
yd
2
dx
dx
x
x
x3
3
1
1
3
x 2 y d x 2 y d x− 2 y d x− 2 · · ·
d
dx
dx
x
4
3
y
d
dx
dx
x
1
3
y
d
dx
dx
x
− 32
Beachte, dass die Integration von log x nicht x ist, sondern
ist.
R
5
y
d
dx
x− 3 · · ·
log x dx = x log x − x + const
• Kettenregel:
(f (t(x)))0 =
df dt
dt dx
(4.36)
z.B.
0
(x2 + 3x + 1)4 = 4(x2 + 3x + 1)3 (2x + 3)
(4.37)
25
4 Differentiation
Tabelle 4.1: Ableitungen.
f 0 (x)
f (x)
f (x)
xn
ex
log x
sin x
tan x
Arcsin x
1
cos2 x
nxn−1
ex
1
xn
ax
n
− xn+1
(log a)ax
1
x
loga x
1
(log a)x
cos x
= 1 + tan2 x
√ 1
1−x2
1
1+x2
Arctan x
sinh x
tanh x
1
cosh2 x
f 0 (x)
cosh x
= 1 − tanh2 x
− sin x
= −1 −
1
− √1−x
2
cos x
1
tan x
− sin12 x
Arccos x
cosh x
1
tanh x
− sinh12 x
sinh x
=1−
1
tan2 x
1
tanh2 x
wobei man die Funktion als f (t) = t4 und t = x2 + 3x + 1 betrachten kann, und somit
dt
f 0 = 4t3 dx
. Hier nun noch ein Beispiel:
p
0
x
1
2x = √
x2 + 1 = √
2 x2 + 1
x2 + 1
mit Hilfe von f =
√
(4.38)
t und t = x2 + 1.
• Leibniz-Regel (oder Produkregel)
(f g)0 = f 0 g + f g 0
(4.39)
(f g)00 = f 00 g + 2f 0 g 0 + f g 00
(4.40)
(uvw)0 = u0 vw + uv 0 w + uvw0
(4.41)
(x2 sin x)0 = 2x sin x + x2 cos x.
(4.42)
z.B.
4.3
Taylor-Reihen
f0
f 00
f 000
(x − a) +
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · ·
1!
2!
3!
∞
X
f (n) (a)
=
(x − a)n
n!
f (x) = f (a) +
n=0
Beispiel: f (x) = sin x
26
(4.43)
(4.44)
4.3 Taylor-Reihen
f (x) = sin x → f (0) = 0
(4.45)
f 0 (x) = cos x → f 0 (0) = 1
(4.46)
00
00
f (x) = − sin x → f (0) = 0
(4.47)
f 000 (x) = − cos x → f 000 (0) = −1
(4.48)
sin x = x −
x3 x5 x7 x9
+
−
+
+ ···
3!
5!
7!
9!
(4.49)
f (x) = ex
f (x) = ex → f (0) = 1
(4.50)
f 0 (x) = ex → f 0 (0) = 1
(4.51)
f 00 (x) = ex → f 00 (0) = 1
(4.52)
x2 x3
+
+ ···
2!
3!
(4.53)
ex = 1 + x +
log(1 + x) = x −
x2 x3 x4 x5 x6
+
−
+
−
+ ···
2
3
4
5
6
(4.54)
Weierstraß-Funktion
Die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit sind unterschiedliche Eigenschaften. Die
Weierstraß-Funktion ist ein Beispiel, das überall stetig jedoch nirgends differenzierbar ist:
f (x) =
∞
X
an cos(bn πx),
n=0
wobei die Bedingungen 0 < a < 1, b = 1, 2, 3, · · · , und ab > 1 + 23 π bestehen.
c
Claudio
Rocchini / Plot of Weierstrass Function / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0
27
4 Differentiation
4.4
Minimum und Maximum
• Ableitung 2. Ordnung
f 00 (x) =
d2
f (x)
dx2
(4.55)
• Lokales Minimum von f (x):
f 0 (x) = 0
(4.56)
f (x) > 0
(4.57)
f 0 (x) = 0
(4.58)
f (x) < 0
(4.59)
• Lokales Maximum von f (x):
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
Abbildung 4.2: Maxium, Minimum und Sattelpunkt.
4.5
Krümmungsradius
Der Krümmungsradius der Funktion f (x) an x = a ist:
3
(1 + f 0 (a)) 2
R=
f 00 (a)
(4.60)
Die normalie Linie zu f (x) am Punkt (a, f (a)) wird wie folgt gegeben (Abb. 4.3):
y=−
1
(x − a) + f (a)
f0
(4.61)
Finden Sie den Knotenpunkt (xc , yc ) zwischen zwei Normallinien zu (a, f (a)) und (b, f (b)). Die
Mitte des Krümmungskreises (limb→a xc , limb→a yc ) wird wie folgt gegeben:
(4.62)
lim yc =
(4.63)
b→a
b→a
Der Krümmungsradius R ist
s
R=
28
lim xc − a
b→a
f 0 (a)
f 03 (a)
− 00
00
f (a)
f (a)
1
f 02 (a)
+
f
(a)
+
f 00 (a)
f 00 (a)
lim xc = a −
2
2 s
(1 + f 02 (a))3
+ lim yc − f (a) =
.
b→a
f 002 (a)
(4.64)
4.5 Krümmungsradius
z.B. die Parabel f (x) = x2 hat f 0 (a) = 2a und f 00 (a) = 2, also ist der Krümmungsradius
3
(1 + 4a2 ) 2
R=
.
2
(4.65)
[xc, yc]
Krümmungskreis
Funktion
f(x)
R
[b, f(b)]
[a, f(a)]
Abbildung 4.3: Krümmungskreis und -radius.
Krümmung
Die Krümmung im dreidimensionalen Raum kann sowohl positiv als auch negativ auftreten,
da die Krümmung aus zwei Krümmungsradien R1 und R2 jeweils mit Vorzeichen berechnet
wird:
1
.
κ=
R1 R2
Eine Kugeloberfläche hat eine positive Krümmung; eine Satteloberfläche hat eine negative Krümmung; und eine Zylinderoberfläche hat die Null-Krümmung. Die Krümmung kann
in höheren Dimensionen bestimmt werden (Differentialgeometrie oder Riemann-Geometrie).
Dort tritt der Begriff der Mannigfaltigkeit, und die Krümmung wird als Unterschied in der Vektorrichtung entlang einem geschlossenen Pfad berechnet.
Der Begriff der Krümmung spielt eine wichtige Rolle in der Physik. Allgemeine Relativisätstheorie von Einstein postuliert, dass die Gravitation äquivalent zur Krümmung der RaumzeitMannigfaltigkeit ist. In der Feldtheorie wird der elektromagnetische Tensor als Krümmung im
inneren Raum vorgestellt. Siehe Schutz (1980).
29
5 Integration
5.1
Definition und Eigenschaften
• Mit der Integration kann man die Größe der Fläche evaluieren, die die Funktion f (x) von
x = a bis x = b mit der x-Achse spannt.
f(x)
b
F = ∫ a f(x)dx
a
b
Abbildung 5.1: Die Funktion f (x) und das Integral
x
Rb
a
dx f (x).
• Die Stammfunktion F (x) hat eine Ableitung f (x) mit dem Freiheitsgrad in der Konstante
C:
(F (x) + C)0 = F 0 (x) = f (x)
(5.1)
Deshalb ist sowohl F (x) als auch F (x) + C eine Stammfunktion von f (x).
• Die Schreibweise für die Integration unbestimmte Integration ist
Z
f (x)dx = F (x) + C
(5.2)
dx f (x) = F (x) + C
(5.3)
oder
Z
Die Art in Gl. (5.2) ist verbreitet, andererseits eignet sich die Art in Gl. (5.3) besser bei der
längeren Rechnung, wenn man nicht genau weiß, wie lange die Funktion wird.
31
5 Integration
Tabelle 5.1: Stammfunktionen.
f (x)
F (x)
f (x)
F (x)
a
xn
ex
sin x
ax
log |x|
sin x
tan x
Arcsin x
1
x
cos x
1
cos2 x
√ 1
1−x2
• Die Integration ist ein linearer Operator:
Z
dx (f (x) + g(x))
Z
dx (f (x) − g(x))
Z
dx af (x)
Z
dx f (ax + b)
1
sin2 x
1
x1 +1
1
n+1
n+1 x
ex
− cos x
− tan1 x
Arctan x
Z
=
Z
dx f (x) +
Z
dx g(x)
(5.4)
dx g(x)
(5.5)
Z
dx f (x) −
Z
= a dx f (x)
=
1
F (ax + b) + C
a
=
• Beispiel mit der Polynomfunktion:
Z
Z
4
dx (3x − 1)x =
dx (3x5 − x4 )
=
5.2
1 6 1 5
x − x +C
2
5
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
Bestimmtes Integral
• Das Integral der Funktion f (x) von x = a bis x = b ist:
Z
b
dx f (x) = F (b) − F (a)
(5.10)
a
• Man kann das Intervall a ≤ x ≤ b in zwei Teile a ≤ x ≤ c und c ≤ x ≤ b (a ≤ c ≤ b)
trennen:
Z b
Z c
Z b
dx f (x) =
dx f (x) +
dx f (x)
(5.11)
a
a
c
= (F (c) − F (a)) + (F (b) − F (c)) = F (b) − F (a)
(5.12)
• Das Integral von x = b zurück bis x = a hat das andere Vorzeichen:
Z
a
Z
dx f (x) = −
b
32
b
dx f (x) = −F (b) + F (a)
a
(5.13)
5.3 Formeln
• Die Fläche aus der Integration hat ein Vorzeichen, z.B.
Z π
dx sin x = [− cos x]π0 = − cos π + cos 0 = −(−1) + 1 = 2
0
Z 2π
dx sin x = [− cos x]π0 = − cos(2π) + cos 0 = −1 + 1 = 0
(5.14)
(5.15)
0
f(x)
x
π
2π
Abbildung 5.2: Die Integration von sin x (Gl. 5.14 und Gl. 5.15).
• Allgemein gilt
Z
a
Z
dx f (x) = 2
Z−a
a
a
dx f (x)
(f (x) gerade)
(5.16)
0
dx f (x) = 0
(f (x) ungerade)
(5.17)
−a
(5.18)
2
Zum Beispiel sind f (x) = e−x (Gaußverteilung) und f (x) = cos x gerade. f (x) = x und
f (x) = sin x sind ungerade.
ungerade f(x)
gerade f(x)
0
x
0
x
Abbildung 5.3: Integration der geraden und der ungeraden Funktionen.
5.3
5.3.1
Formeln
Substituion
• Einführung der neuen Variabel mit x = φ(t). Der Integrationsbereich ist
33
5 Integration
x
a→b
t
α→β
Mit Hilfe der Kettenregel und der Substitution x = φ(t):
Z
b
Z
β
dx f (x) =
dx
f (x)
dt
(5.19)
dt φ0 (t)f (φ(t))
(5.20)
dt
a
α
Z β
=
α
dφ
dt = φ0 (t)dt
dt
dx =
(5.21)
• Das Integral mit der Substituion x = a sin θ:
a
Z
dx
p
a2 − x2
(a > 0)
(5.22)
0
kann mit Hilfe der neuen Variabel θ (0 ≤ θ ≤ π2 ) evaluiert werden. Man setzt:
x = a sin θ
dx
= a cos θ
dθ
(5.23)
(5.24)
Der Integrationsbereich ist
Die Funktion f (x) =
√
x
0→a
θ
0→
π
2
a2 − x2 wird wie folgt umgeschrieben:
q
p
√
2
2
a − x = a2 (1 − sin2 θ) = a2 cos2 θ = a cos θ
wobei cos θ ≥ 0 (0 ≤ θ ≤ π2 ) ist. Also
f(x)
a
dx=a cosθ dθ
a cosθ
θ
x
a
Abbildung 5.4: Variabel θ für das Integral von f (x) =
34
√
a2 − x2 .
(5.25)
5.3 Formeln
Z
a
π
2
Z
p
2
2
dx a − x =
0
dθ a cos θ · a cos θ
(5.26)
0
= a2
Z
π
2
dθ cos2 θ
(5.27)
0
Z
π
2
1 + cos(2θ)
2
0
π
sin(2θ) 2
2 θ
+
= a
2
4
0
= a2
=
dθ
πa2
4
(5.28)
(5.29)
(5.30)
• Das Integral mit der Substituion x = tan θ:
Z π
Z 1
4
1
1
=
dx
dθ cos2 θ ·
2
1+x
cos2 θ
0
0
Z π
4
=
dθ
(5.31)
(5.32)
0
π
= [θ]04
π
=
4
wobei
(5.33)
(5.34)
dx
1
=
dθ
cos2 θ
(5.35)
und der Integrationsbeich ist:
5.3.2
x
0→1
θ
0→
π
4
Partielle Integration
• Aus der Relation (f g)0 = f 0 g + f g 0 kann das Integral wie folgt umgeschrieben werden:
Z b
Z b
b
0
dx f (x) g (x) = [f (x) g(x)]a −
dx f 0 (x) g(x)
(5.36)
a
a
oder mit g(x) = x und g 0 = 1:
Z b
Z b
b
dx f (x) = [xf (x)]a −
dx f (x) x
a
(5.37)
a
• Beispiel 1 mit der trigonometrischen Funktion:
Z
Z
dx x cos x =
dx x(sin x)0
Z
= x sin x − dx (x)0 sin x
Z
= x sin x − dx sin x
= x sin x + cos x + C
(5.38)
(5.39)
(5.40)
(5.41)
35
5 Integration
• Beispiel 2 mit der Polynomfunktion (Gl. 5.8–5.9):
Z
Z
1 5 0
4
dx(3x − 1)x =
dx(3x − 1)
x
5
Z
1 5
0 1 5
= (3x − 1)
x − dx (3x − 1)
x
5
5
Z
1 5
3
dx x5
=
x (3x − 1) −
5
5
1 5
1
=
x (3x − 1) − x6 + C
5
10
1 6 1 5
=
x − x +C
2
5
• Beispiel 3 mit der Log-Funktion:
Z
Z
Z
dx log x =
dx (log x) · 1 = dx (log x)(x)0
Z
1
= x log x − dx · x
x
Z
= x log x − dx + C
= x log x − x + C
(5.42)
(5.43)
(5.44)
(5.45)
(5.46)
(5.47)
(5.48)
(5.49)
(5.50)
• Die Berechnung des Grenzwerts hilft bei dem Integral, z.B.
Z 1
dx log x
(5.51)
0
Obwohl log x → −∞ bei x → +0 ist, kann man das Integral evaluieren. Die Stammfunktion von log x ist x log x − x, und sie konvergiert bei x → +0:
lim x log x = 0
(5.52)
x→+0
somit
Z
1
dx log x =
0
lim [x log x − x]1v
v→+0
(5.53)
= (1 log 11 − 1) − lim (v log v − v)
(5.54)
= −1
(5.55)
v→0
Beachte
v2 v3
+
− ···
lim v log v = lim v v −
v→0
v→0
2
3
= 0.
5.4
(5.56)
(5.57)
Integralfunktionen
Gamma-Funktion
• Die Gamma-Funktion Γ(x) wird als Integral von e−t tx−1 denifiert:
Z ∞
Γ(x) =
dt e−t tx−1 > 0.
0
36
(5.58)
5.4 Integralfunktionen
• Die Beta-Funktion B(x) wird wie folgt definiert:
Z
1
B(x, y) =
dt tx−1 (1 − t)y−1
(5.59)
0
• Eigenschaften der Gamma- und Beta-Funktionen:
Γ(x + 1) = xΓ(x)
(5.60)
Γ(1) = 1
(5.61)
Γ(n + 1) = n!
Z
B(x, y) = 2
(5.62)
π
2
dθ sin2x−1 θ cos2y−1 θ
(5.63)
0
Γ(x)Γ(y)
B(x, y) =
Γ(x + y)
√
1
=
π
Γ
2
√
1
= 2−n (2n − 1)!! π
Γ n+
2
n!nx
Γ(x) = lim
n→∞ x(x + 1) · · · (x + n)
(5.64)
(5.65)
(5.66)
(Gaussformel)
(5.67)
wobei (2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) und (2n)!! = 2 · 4 · 6 · · · 2n sind.
Fehlerfunktion
Die Fehlerfunktion von Gauß ist:
2
erf(x) = √
π
Z
x
2
dt e−t
(5.68)
0
Die Kurve wird in der Abb. 5.5 gezeigt. Die Fehlerfunktion ist eine ungerade Funktion:
Abbildung 5.5: Die Fehlerfunktion erf(x).
erf(−x) = −erf(x)
(5.69)
37
5 Integration
Die Taylor-Entwicklung ist:
2
erf(x) = √
π
x3 x5 x7
x−
+
−
+ ··· .
3
10 42
(5.70)
Die folgende Approximation ist auch bekannt:
4
2π
+ ax2
erf (x) ' 1 − exp −x
1 + ax2
2
mit
a=−
!
8(π − 3)
.
3π(π − 4)
(5.71)
(5.72)
Elliptische Integrale
Z
φ
1
dθ p
0
1 − k 2 sin2 θ
Z φ p
E(φ, k) =
dθ 1 − k 2 sin2 θ
F (φ, k) =
I. Art
(5.73)
II. Art
(5.74)
0
K(k) = F
E(k) = E
π
2
π
2
π
2
Z
,k =
0
π
2
Z
,k =
1
dθ p
1 − k 2 sin2 θ
p
dθ 1 − k 2 sin2 θ
(5.75)
(5.76)
0
Die Bogenlänge einer Ellipse:
x2 +
y 2
c
=1
wird als elliptisches Integral dargestellt:
Z
L =
ds
Z p
=
dx2 + dy 2
s
2
Z
dy
=
dx 1 +
dx
s
2
Z
cx
=
dx 1 + ∓ √
1 − x2
r
Z
1 − x2 + c2 x2
=
dx
1 − x2
r
Z
1 − k 2 x2
=
dx
1 − x2
= E(x, k)
wobei k =
√
(5.78)
(5.79)
(5.80)
(5.81)
(5.82)
(5.83)
(5.84)
1 − c2 (Exzentrizität) ist. Bei k = 0 oder c = 1 (Kreis) ist die Bogenlänge
L(x) = E(x, 0) = Arcsinx.
38
(5.77)
(5.85)
6 Komplexe Zahlen
6.1
Definition und Eigenschaften
• Motivationen:
– Cardano-Formula für die kubische Gleichung erfordert die Existenz des negativen
Quadrats.
– Die algebraische Rechnung wird mit den komplexen Zahlen einfacher und übersichtlicher.
– Die Evaluierung des Integrals für die reellen Zahlen erfolgt mit Hilfe von den komplezen Zahlen analytische Fortsetzung, Cauchy-Satz, Residualsatz).
– Algebraische Gleichungen n-ter Ordnung (z n + z n−1 · · · + z + c = 0) haben n Lösungen im Komplexen (Fundamentalsatz der Algebra).
– Das Integral kann in die komplexe Zahlenebene erweitert oder forgesetzt werden. Die
Integration wird im Komplexen möglich, auch wenn die Integration nur bei den reellen Zahlen unmöglich ist (Cauchy-Satz, Residuensatz). Beispiele der analytischen
Forsetzung:
Z ∞
I
1
1
dx 2
⇒ dz 2
=π
(6.1)
x
+
1
z
+1
−∞
oder
Z ∞
I
1
1
π
dx 4
⇒ dz 4
=√
(6.2)
x
+
1
z
+
1
2
−∞
– Die komplexen Zahlen sind notwendig, um die Wellenfunktion in der Quantenmechanik zu beschreiben (z. B. Aharonov-Bohm-Effekt)
• Imaginäre Einheit i
i =
√
−1
(6.3)
i2 = −1
(6.4)
z = reiθ
(6.5)
z ∗ = re−iθ
(6.6)
• Polardarstellung
39
6 Komplexe Zahlen
Im(z)
Im(z)
x + iy
y
|z| eiφ
|z|
φ
x
Re(z)
Re(z)
Abbildung 6.1: Die komplexe Ebene mit der reellen und der imaginären Zahlen (links) und der
Polardarstellung (rechts).
• Formel von Euler:
eiθ = cos θ + i sin θ
(6.7)
(cos θ + i sin θ)n = einθ = cos(nθ) + i sin(nθ)
(6.8)
• Formel von de Moivre:
• Darstellung der komplexen Zahl mit den reellen und den imaginären Zahlen:
z = x + iy
(6.9)
z ∗ = x − iy
(6.10)
z ∗ wird als komplex Konjugierte bezeichnet.
Im(z)
z = x + iy
Re(z)
z* = x - i y
Abbildung 6.2: Komplexe konjugierte.
6.2
Rechenregeln
• Der Betrag (magnitude) wird mit der Kombination mit der komplexen Konjugierte berechnet:
|z|2 = zz ∗ = x2 + y 2 = r2
40
(6.11)
6.2 Rechenregeln
z 2 ergibt den Betrag nicht:
z 2 = (x + iy)2
2
(6.12)
2
= x − y + i2xy
(6.13)
oder in der Polardarstellung:
z2 =
reiθ
2
= r2 ei2θ
(6.14)
(6.15)
• Addition:
z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
(6.16)
Im(z)
z+w
w
z
Re(z)
Abbildung 6.3: Addition der komplexen Zahlen.
• Multiplikation:
zw = (x + iy)(u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu)
(6.17)
oder in der Polardarstellung:
zw = (|z|eiφ1 )(|w|eiφ2 ) = |z| |w| ei(φ1 +φ2 )
(6.18)
• Division:
z
x + iy
x + iy u − iv
1
=
=
= 2
[(xu + yv) + i(yu − xv)]
w
u + iv
u + iv u − iv
u + v2
oder
−1
z
= |z|eiφ1 |w|eiφ2
= |z| |w| ei(φ1 −φ2 )
w
(6.19)
(6.20)
• Quadrat. Der Betrag r wird r2 (entweder größer bei |z| > 1 oder kleiner bei |z| < 1). Der
Winkel θ wird 2θ.
2
(6.21)
z 2 = r eiθ = r2 ei2θ
41
6 Komplexe Zahlen
Im(z)
z2 = r2 ei2θ
z= r eiθ
Re(z)
1
Abbildung 6.4: Quadrat der komplexen Zahl z.
• Die Wurzeln der Gleichung z n = 1 (n = 1, 2, 3, · · · ) können graphisch gefunden werden.
Es gibt n Lösungen, z.B. die Gleichung
z5 = 1
(6.22)
ω1 = eiθ
(6.23)
ω2 = ei2θ
(6.24)
ω3 = ei3θ
(6.25)
ω4 = ei4θ
(6.26)
i2π
(6.27)
hat 5 Lösungen ω1 , ω2 , · · · , ω5 :
ω5 = e
und der Winkel θ erfüllt die folgende Bedingung:
2π
θ=
5
(6.28)
Im(z)
1
ω1=eiθ
ω2=ei2θ
ω5=ei2π
1
ω3=ei3θ
Re(z)
ω4=ei4θ
Abbildung 6.5: Wurzeln der Gleichung z 5 = 1.
• Relationen mit der trigonometrischen Funktionen:
sin x =
cos x =
42
eix − e−ix
2i
eix + e−ix
2
(6.29)
(6.30)
6.3 Einführung in den Residuensatz
6.3
Einführung in den Residuensatz
Das Integral
R∞
1
−∞ dx x2 +1
kann mit Hilfe vom Residuensatz evaluiert werden.
• Schritt 1. Analytische Fortsetzung auf die geschlossene Kurve C.
I
1
= lim
dz 2
z + 1 R→∞
Z
−R
R
dx
+ lim
2
x + 1 R→∞
Z
d R eiθ
π
θ=0
2
(R eiθ ) + 1
Der zweite Term hat keinen Beitrag zur Integration, weil
d R eiθ
=0
lim
R→∞ (R eiθ )2 + 1
(6.31)
(6.32)
ist.
Im(z)
+
C
Polstelle
i
-R
R
Re(z)
Abbildung 6.6: Kontur der Integration.
• Schritt 2. Suche nach der Polstelle. Die geschlossene Kurve C enthält eine Polstelle an
z = i.
• Schritt 3. Einsatz vom Residuensatz. Mit Hilfe vom Residuensatz wird das Integral wie folgt
reduziert:
I
X
dz f (z) = 2πi
Res(f ; cj )
(6.33)
C
Polstellen cj
In diesem Beispiel gibt es nur eine Polstelle, also
Z ∞
I
dx
dz
⇒
2
2
−∞ x + 1
C z +1
= 2πi Res
(6.34)
1
;i
z2 + 1
(6.35)
• Schritt 4. Evalulierung der Residuen. Die Residue der Funktion f (z) an der Polstelle c mit
dem Grad n wird wie folgt definiert:
n
1
d
Res(f ; c) = lim
[(z − c)n f (z)]
(6.36)
z→c (n − 1)!
dz
43
6 Komplexe Zahlen
In unserem Beispiel hat die Polstelle den ersten Grad (n = 1). Es gibt eine praktische
Residuenformel bei n = 1:
f (z) =
Res(f ; c) =
1
z 2 +1
Die Residue der Funktion
Res
Z
∞
−∞
(6.37)
(6.38)
an z = i (Grad n = 1) ist:
damit
Q(z)
P (z)
Q(c)
d
P
(z)
dz
z→c
1
1
;i = ,
2
z +1
2i
dx
=
2
x +1
I
C
dz
1
= 2πi
=π
+1
2i
z2
(6.39)
(6.40)
• Ein Vergleich mit der reellen Integration (ohne den Residuensatz) ist in diesem Fall möglich:
Z ∞
π π
dx
∞
=
[Arctan(x)]
=
− −
=π
(6.41)
−∞
2
2
2
−∞ x + 1
• Beim Einsatz vom Residuensatz muss die Funktion analytisch sein, nämlich muss die Funktion f abhängig von nur z sein (wie f (z)), und nicht von der Komplexkonjugierte (wie f (z ∗ )
oder f (z, z ∗ )).
44
7 Vektoren
7.1
Motivation
• Ein Ortsvektor r (Abb. 7.1) im dreidimensionalen Raum wird oft wie folgt dargestellt:


rx


r =  ry  .
(7.1)
rz
z
rz
r
ry
y
rx
x
Abbildung 7.1: Ein Ortsvektor im dreidimensionalen Raum.
• Die drei Komponenten rx , ry und rz sind mit den Basisvektoren assoziiert. Die vollständige
Beschreibung des Ortsvektors ist:
 
 
 
1
0
0
 
 
 
r = rx  0  + ry  1  + rz  0 
(7.2)
0
0
= rx ex + ry ey + rz ez
1
(7.3)
ex , ey und ez werden als Basisvektor bezeichnet.
• Die Vorteile mit der Vektordarstellung sind: (1) Dreidimensionale Größe symbolisch (und
damit einfacher) zu rechnen. (2) Physikalischer Zustand wird als Vektor dargestellt.
• Beispiele der physikalischen Zustände sind: Spin-Zustand
" #
" #
1
0
|upi =
|downi =
0
1
(7.4)
45
7 Vektoren
• Proton- und Neutronzustände (Isospin-Zustand):
" #
" #
1
0
|pi =
|ni =
0
1
(7.5)
• Schreibweise des Vektors
a
7.2
7.2.1
→
−
a
a
|ai
oder
ai (i = {x, y, z})
Operationen im Vektorraum
Addition und Subtraktion
• Die Addition:


ax + bx


a + b =  ay + by 
az + bz
(7.6)
= (ax + bx )ex + (ay + by )ey + (az + bz )ez
(7.7)
• Die Subtraktion:


ax − bx


a − b =  ay − by 
az − bz
(7.8)
= (ax − bx )ex + (ay − by )ey + (az − bz )ez
(7.9)
• Skalen des Vektors mit der Konstante α:

a
7.2.2
→

αax


αa =  αay 
αaz
(7.10)
Skalarprodukt
• Das Skalarprodukt wird wie folgt berechnet:
a · b = ax bx + ay by + az bz


h
i bx


=
ax ay az  by 
bz
= (ax ex + ay ey + az ez ) · (bx ex + by ey + bz ez )
• Für die orthonormale Basisvektoren besteht die Relation
(
1 (i = j)
ei · ej = δij =
0 (i 6= j)
Das Symbol δij wird als Kronecker-Delta bezeichnet.
46
(7.11)
(7.12)
(7.13)
(7.14)
7.2 Operationen im Vektorraum
• Unter dem Skalarprodukt versteht man den Dot als Skalarbildung durch die Transponierung
des ersten (oder linken) Vektors:
a · b = at b.
(7.15)
Für die komplexe Zahlen wird das Skalarprodukt mit der Hermite-Konjugation gebildet:
w† z = (wx )∗ zx + (wy )∗ zy + (wz )∗ zz .
(7.16)
• Die Hermite-Konjugation ist die Transponierung und die komplexe Konjugation:
w† = (w∗ )t = wt
∗
.
(7.17)
• Aus dem Selbst-Skalarprodukt erhält man den Betrag oder die Länge des Vektors:
|a| =
√
a·a=
q
(ax )2 + (ay )2 + (az )2 .
(7.18)
• Aus dem Betrag erhält man den Einheitsvektor in Richtung zu a:
ea =
a
|a|
(7.19)
• Das Skalarprodukt ist die Projektion von b auf a:
a · b = |a||b| cos θ
(7.20)
wobei θ ein Winkel zwischen a und b ist.
• Das Skalarprodukt ist linear:
(a + b) · c = a · c + b · c
(αa) · b = a · (αb) = α(a · b)
(7.21)
(7.22)
und kommutativ:
a · b = b · a.
(7.23)
Mit der Index-Schreibweise wird das Vektorprodukt wird folgt geschrieben:
(a × b)i = ijk aj bk .
(7.24)
• ijk ist der Levi-Civita anti-symmetrische Tensor:
ijk



1
=
−1


0
(zyklisch i, j, k)
(antizyklisch i, j, k)
(sonst)
(7.25)
47
7 Vektoren
7.2.3
Vektorprodukt
• Das Vektorprodukt wird wie folgt berechnet:


ay bz − az by


a × b =  az bx − ax bz 
ax by − ay bz
(7.26)
= (ay bz − az by )ex + (az bx − ax bz )ey + (ax by − ay bx )ez
(7.27)
• Das Vektorprodukt ist linear:
(a + b) × c = a × c + b × c
(7.28)
(αa) × b = a × (αb) = α(a × b)
(7.29)
und anti-kommutativ:
a × b = −b × a
(7.30)
• Aus zwei Vektoren kann man eine Matrix bilden:


ax bx ax by ax bz


M = abt =  ay bx ay by ay bz 
az bx az by az bz
(7.31)
• Dreifacher Vektorprodukt
V = a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b)
7.3
(7.32)
Rotation des Koordinatensystems
• Mit der Rotationsmatrix M kann man den Vektor in ein neues Koordinatensystem rotieren:



cos θ sin θ 0
rx



Ma =  − sin θ cos θ 0   ry 
(7.33)
0
0 1
rz


cos θ rx + sin θ ry


(7.34)
=  − sin θ rx + cos θ ry 
rz
• z.B. Rotation um die z-Achse um θ = π6 :


a ⇒ a0 = 
√
3
1
2 rx + √
2 ry
− 12 rx + 23 ry



(7.35)
rz
• Bei der Rotation wird die Länge des Vektors nicht verändert:
q
0
|a| = |a | = (rx )2 + (ry )2 + (rz )2
48
(7.36)
7.4 Vektor-Ableitungen
Tabelle 7.1: Vektoroperationen
Vektor → Skalar
a·b
|a|
Vektor → Vektor
a×b
a → Ma
Vektor → Matrix
a bt
7.4
Vektor-Ableitungen
• Der Nabla-Operator im kartesischen Koordinatensystem:
∇ = ex
∂
∂
∂
+ ey
+ ez
∂x
∂y
∂z
(7.37)
Die pertiellen Ableitungen werden nun wie ∂x , ∂y und ∂z geschrieben.
• Divergenz. Das Skalarprodukt mit dem Nabla-Operator (im kartesischen Koordinatensystem):
∇·V
= (ex ∂x + ey ∂y + ez ∂z ) · (Vx ex + Vy ey + Vz ez )
(7.38)
= ∂x Vx + ∂y Vy + ∂z Vz
(7.39)
da ei · ej = δij ist.
• Rotation (oder “Curl” im Englisch). Das Vektorprodukt mit dem Nabla-Operator:
∇×V
= (ex ∂x + ey ∂y + ez ∂z ) × (Vx ex + Vy ey + Vz ez )
(7.40)
= (∂y Vz − ∂z Vy ) ex + (∂z Vx − ∂x Vz ) ey + (∂x Vy − ∂y Vx ) ez
(7.41)
mit Hilfe der Orthogonalität im kartesischen Koortinatensystem:
ex × ey = −ey × ez = ez
(7.42)
ey × ez = −ez × ey = ex
(7.43)
ez × ex = −ex × ez = ey
(7.44)
• Gradient. Vektorisierung der Skalarfunktion f (x, y, z) mit dem Nabla-Operator:
∇f (x, y, z) = (∂x f )ex + (∂y f )ey + (∂z f )ez
(7.45)
• Index-Schreibweise:
– Divergenz
divV =
3
X
∂i Vi
(7.46)
i=1
49
7 Vektoren
– Rotation
rotV =
3 X
3
X
ijk ∂j Vk
(7.47)
k=1 j=1
– Gradient
(gradf )i = ∂i f
(7.48)
Kovariante Ableitung
Ein Vektor wird mit den kontravarianten Komponenten r1 , r2 , · · · und den kovarianten Basisvektoren e1 , e1 , · · · ausgedrückt:
r = r1 e1 + r2 e2 + · · ·
Eine Variation in r ist mit Hilfe von der Leibniz-Regel:
X
X
δr =
(δri )ei +
ri δei
i
i
Die Variation des Basisvektors ist auch ein Vektor, und man kann die Variation in ei mit den
alten Basisvektoren ausdrücken:
X
δei
=
Γkij ek .
j
δx
k
k
Die Koeffizienten Γ ij werden als Christoffel-Symbol oder Konnexion bezeichnet. Die gesamte Variation im Vektor r in Richtung ej ist
∇j r =
X δri
X δei
X δri
X
i
e
+
r
=
e
+
Γij k ek .
i
i
j
j
j
δx
δx
δx
i
i
i
k
Der Riemann-Krümmungstensor R` kij wird aus dem Kommutator der kovarianten Ableitungen bestimmt.
X
[∇i , ∇j ]r` = (∇i ∇j − ∇j ∇i )r` =
R` kij rk
k
50
8 Zwei-mal-zwei Matrizen
8.1
Motivation
• Transformation der Vektoren, z.B.
" #
"
#" # "
#
1
2
1
1
3
⇒
=
1
− 12 − 32
1
−2
y
(8.1)
y
2
1
-3
-2
1
-1
2
3
-1
x
x
-2
Abbildung 8.1: Lineare Transformation des Vektors a durch die Matrix M .
• Spin-Flip mit den Matrizen:
" #
"
#" # " #
0
0 1
0
1
⇒
=
1
0 0
1
0
" #
"
#" # " #
1
0 0
1
0
⇒
=
0
1 0
0
1
(8.2)
(8.3)
• Zerlegung der Signale oder der Daten in unabhängige Komponenten (Hauptkomponentenanalyse, Hauptachsentransformation oder Singlärwertzerlegung).
8.2
8.2.1
Eigenschaften und Operationen
Schreibweise
• Mit “bold face”:
"
A=
a11 a12
a21 a22
#
"
=
a b
c d
#
(8.4)
51
8 Zwei-mal-zwei Matrizen
• Index-Schreibweise
aij
({i, j} = {1, 2})
(8.5)
• Mit Bra- und Ket-Notation von Dirac: hj |A| ii.
• Mit den doppelten Unterlinien: A.
8.2.2
Operationen
• Addition:
C = A+B
#
# "
"
b11 b12
a11 a12
+
=
b21 b22
a21 a22
#
"
a11 + b11 a12 + b12
=
a21 + b21 a22 + b22
(8.6)
(8.7)
(8.8)
oder mit der Index-Schreibweise:
cij = aij + bij
(8.9)
C = A−B
"
# "
#
a11 a12
b11 b12
−
=
a21 a22
b21 b22
"
#
a11 − b11 a12 − b12
=
a21 − b21 a22 − b22
(8.10)
• Subtraktion
(8.11)
(8.12)
oder mit der Index-Schreibweise:
cij = aij − bij
(8.13)
C = AB
"
#"
#
a11 a12
b11 b12
=
a21 a22
b21 b22
"
#
a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22
=
a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22
(8.14)
• Multiplikation:
(8.15)
(8.16)
oder in der Index-Schreibweise:
cij =
2
X
k=1
52
aik bkj
(8.17)
8.2 Eigenschaften und Operationen
• Transponierung:
"
At =
#
a11 a21
a12 a22
(8.18)
• Im Allgemeinen sind die Matrizen nicht vertauschbar:
AB 6= BA.
(8.19)
• Man kann die Matrizen auf Exponentialfunktion anwenden (mit Hilfe der Taylor-Entwicklung):
eA =
∞
X
1 n
A .
n!
(8.20)
n=0
• Kommutator:
[A, B] = AB − BA.
(8.21)
Die Pauli-Spin-Matrizen:
"
σx =
"
σy =
"
σz =
0 1
1 0
#
(8.22)
0 i
−i 0
#
1
0
0 −1
#
(8.23)
erfüllen die folgende Relation (SU(2) Lie-Algebra):
1
1
1
σ i , σ j = iijk σ k
2
2
2
(8.24)
(8.25)
wobei ijk der Levi-Civita-Tensor ist. Die Summe wird in der Gl. (8.25) nicht durchgeführt.
• Transformation des Vektors:
a ⇒ a0 = M r
"
#"
#
m11 m12
r1
=
m21 m22
r2
"
#
m11 r1 + m12 r2
=
m21 r1 + m22 r2
(8.26)
(8.27)
(8.28)
(8.29)
8.2.3
Einheitsmatrix und Inverse
• Einheitsmatrix:
"
I =
1 0
0 1
#
= diag (1, 1)
(8.30)
(8.31)
53
8 Zwei-mal-zwei Matrizen
• Inverse Matrix A−1 :
AA−1 = A−1 A = I
Für die 2 × 2 Matrizen kann man die Inverse A−1 explizit ausdrücken:
"
#
a b
A =
c d
"
#
d −b
1
−1
A
=
ad − bc −c
a
8.2.4
(8.32)
(8.33)
(8.34)
Skalar-Invariante
• Determinante:
a b
detA = c d
= ad − bc
det (AB) = det (A) det (B)
1
det A−1 =
det (A)
(8.35)
(8.36)
(8.37)
(8.38)
• Spur (trace)
"
tr
a11 a12
a21 a22
#
= a11 + a22
tr (c A) = c trA
(8.39)
(8.40)
tr (A + B) = trA + trB
(8.41)
tr (AB) = tr (BA)
(8.42)
Für drei Matrizen A, B und C:
tr (ABC) = tr (BCA) = tr (CAB)
(8.43)
tr (ABC) 6= tr (ACB)
(8.44)
also z.B.
tr BAB−1 = tr B−1 BA = trA
8.3
(8.45)
Eigenwerte und -vektoren
8.3.1 Übersicht
Eine Matrix M hat Eigenwerte (λ1 und λ2 ) und Eigenvektoren e1 und e2 :
54
M e 1 = λ1 e1
(8.46)
M e 2 = λ2 e2
(8.47)
8.3 Eigenwerte und -vektoren
Ein Beispiel mit der Matrix M :
"
M=
2
1
− 12
− 32
#
.
(8.48)
Die Vektoren werden wie folgt transformiert:
" #
"
#
1
2
⇒
0
− 12
" #
"
#
1
3
⇒
1
−2
" #
"
#
0
1
⇒
1
− 32
(8.49)
(8.50)
(8.51)
Die Determinante von M ist
y
y
2
1
-3
-2
1
-1
-1
2
3
x
x
-2
Abbildung 8.2: Transformation der Fläche durch die Matrix M .
3
1
1
5
detM = 2 · −
−1· −
= −3 + = − .
2
2
2
2
(8.52)
Das Vorzeichen ist negativ, weil die Flächennormalrichtung mit der Matrix umgekehrt wird (Abb. 8.2).
Gl. (8.46) und Gl. (8.47) bedeuten, dass die Eigenvektoren durch die Matrix M nicht rotieren,
sondern es verändern sich nur die Längen der Eigenwerte (inklusive die Richtungsumkehrung).
8.3.2
Eigenwerte
Die Eigenwerte erfüllen die folgende Relation:
(M − λI) e = 0.
Der Vektor e ist nicht trivial, e 6= [0, 0], deshalb muss die Determinante verschwinden:
2−λ
1
det (M − λI) = = 0.
− 12 − 32 − λ (8.53)
(8.54)
Also,
3
1
5
1
(2 − λ) − − λ − 1 · −
= λ2 − λ − = 0
2
2
2
2
(8.55)
55
8 Zwei-mal-zwei Matrizen
Die Eigenwerte λ1 und λ2 sind die Lösungen der Gl. (8.55):
λ1 =
λ2 =
8.3.3
√ 1
1 + 41 ' 1.850
4
√ 1
1 − 41 ' −1.350
4
(8.56)
(8.57)
Eigenvektoren
• Der Eigenvektor für λ1 wird aus der Gl. (8.46) bestimmt:
#
"
#"
#
"
√
2
1
e1x
e1x
1
= (1 + 41)
.
4
− 12 − 32
e1y
e1y
(8.58)
also:
√ 1
2−
1 + 41 e1x + e1y = 0
4
1√
e1x + 3 + 3 +
41 e1y = 0.
2
Die Gl. (8.59) und (8.60) sind zueinander äquivalent, denn
√
√
1
1
2 − (1 + 41) · 3 + (1 + 41) = 1.
4
2
Aus der Gl. (8.59) wird der Eigenvektor e1 wie folgt ausgedrückt:
"
#
1
√
.
e1 =
− 74 + 441
Aus der Gl. 8.60:
"
e1 =
− 72 −
1
√
41
2
(8.59)
(8.60)
(8.61)
(8.62)
#
.
Der Eigenvektor kann auf Eins normiert werden, |e| = 1, z.B. aus der Gl. (8.62):
"
# "
#
1
0.989
1
√
'
.
e1 = r
√ 2
−0.147
− 47 + 441
41
7
1 + −4 + 4
(8.63)
(8.64)
• Der Eigenvektor für λ2 wird aus der Gl. (8.47) bestimmt:
√
1
(1 − 41)e2x
4
√
1
(1 − 41)e2y .
2
2e2x + e2y =
−e2x − 3e2y =
(8.65)
(8.66)
Aus der Gl. (8.65):
"
e2 =
56
1
− 74 −
#
√
41
4
.
(8.67)
8.3 Eigenwerte und -vektoren
Aus der Gl. (8.66):
"
e2 =
√ #
− 27 + 41
.
1
(8.68)
Der normierte Eigenvektor wird z.B. aus der Gl. (8.69) bestimmt:
# "
#
"
1
0.286
1
√
'
.
e2 = r
41
7
√ 2
−0.958
−
−
41
7
4
4
1 + −4 − 4
y
(8.69)
y
e1
e2
λ2
x
λ1
x
Abbildung 8.3: Eigenvektoren (links) und Eigenwerte (rechts).
Tabelle 8.1: Matrixoperationen
Matrix → Skalar
trA
detA
Matrix → Matrix
U AU −1
[A, B] = AB − BA
57
9 Drei-mal-drei Matrizen
9.1
Eigenschaften und Operationen
• Die 3 × 3 Matrizen haben neun Elemente:


a11 a12 a13


A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
(9.1)
• Viele Eigenschaften und die Operationen sind gleich wie bei den 2 × 2 Matrizen, jedoch
ist der Rechenaufwand höher (z.B. Multiplikation, Determinante, Inverse, Eigenwerte- und
vektoren).
9.1.1
Operationen
• Addition:
C = A+B

 

a11 a12 a13
b11 b12 b13

 

=  a21 a22 a23  +  b21 b22 b23 
a31 a32 a33
b31 b32 b33


a11 + b11
a12 + b12
a13 + b13


=  a21 + b21
a22 + b22
a23 + b23 
a31 + b31
a32 + b32
a33 + b33
(9.2)
(9.3)
(9.4)
oder mit der Index-Schreibweise:
cij = aij + bij .
(9.5)
C = A−B
 


b11 b12 b13
a11 a12 a13

 

=  a21 a22 a23  −  b21 b22 b23 
a31 a32 a33
b31 b32 b33


a11 − b11
a12 − b12
a13 − b13


=  a21 − b21
a22 − b22
a23 − b23 
a31 − b31
a32 − b32
a33 − b33
(9.6)
• Subtraktion:
(9.7)
(9.8)
59
9 Drei-mal-drei Matrizen
oder mit der Index-Schreibweise:
cij = aij − bij .
(9.9)
t 

a11 a12 a13
a11 a21 a31




At =  a21 a22 a23  =  a12 a22 a32 
a31 a32 a33
a13 a23 a33
(9.10)
• Transponierung:

• Multiplikation:
C = AB


b11
a11 a12 a13


=  a21 a22 a23   b21
b31
a31 a32 a33

a11 b11 + a12 b21 + a13 b31

=  a21 b11 + a22 b21 + a23 b31
a31 b11 + a32 b21 + a33 b31
(9.11)

b12 b13

b22 b23 
b32 b33
(9.12)

a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a11 b13 + a12 b23 + a13 b33

a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 
a31 b12 + a32 b22 + a33 b32 a31 b13 + a32 b23 + a33 b33
(9.13)
oder in der Index-Schreibweise:
cij =
3
X
aik bkj .
(9.14)
k=1
Im Allgemeinen sind die 3 × 3 Matrizen auch nicht vertauschbar:
AB 6= BA.
(9.15)
• Kommutator: Rotation im dreidimensionalen Raum wird durch die Kombination der drei
Matrizen, Lx , Ly und Lz , erzeugt:


0 0
0


Lx =  0 0 −1  ,
0 1
0


0 0 1


Ly =  0 0 0  ,
−1 0 0


0 −1 0


Lz =  1
0 0 
0
0 0
Diese Matrizen erfüllen die Relation der SO(3) Lie-Algebra (special orthogonal group):
[Li , Lj ] = Li Lj − Lj Li = ijk Lk .
mit dem Levi-Civita Tensor ijk .
• Vektor-Transformation. Rotation des Vektors um die z-Achsen wird mit der Matrix Rz dargestellt:
r ⇒ r 0 = Rz (θ)r
60
(9.16)
9.1 Eigenschaften und Operationen
nämlich,
 


rx0
cos θ − sin θ 0
rx
 0  


 ry  =  sin θ cos θ 0   ry 
rz0
0
0
1
rz

(9.17)
Die Koordinatensystemtransformation erfolgt mit θ → −θ. Die Rotationsmatrix Rz wird
durch den Generator Lz als Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion (ex = 1 + x +
1 3
1 2
2! x + 3! x + · · · ) beschrieben:
Rz (θ) = exp [θLz ]
(9.18)
∞
X 1
=
(θLz )n
(9.19)
n!
n=0





2
1 0 0
0 −1 0
0 −1 0



 1 

=  0 1 0 +θ 1
0 0  + θ2  1
0 0  + · · · (9.20)
2!
0 0 1
0
0 0
0
0 0


cos θ − sin θ 0


=  sin θ cos θ 0 
(9.21)
0
0
1
Die Rotation um die x- und y-Achsen wird mit den Matrizen Rx bzw. Ry dargestellt:

1
0

Rx (θ) =  0 cos θ
0 sin θ

cos θ

Ry (θ) = 
0
− sin θ
9.1.2

0

− sin θ 
cos θ

0 sin θ

1
0 .
0 cos θ
(9.22)
(9.23)
Einheitsmatrix und Inverse
• Einheitsmatrix:


1 0 0


I= 0 1 0 
0 0 1
(9.24)
oder als Kronecker-Delta (mit der Index-Schreibweise):
(
1 (i = j)
δij =
0 (i 6= j)
• Inverse Matrix A−1 :

A−1
a22 a33 − a23 a32
1 
=
 a23 a31 − a21 a33
detA
a21 a32 − a22 a31
a13 a32 − a12 a33
a11 a33 − a13 a31
a12 a31 − a11 a32
(9.25)

a12 a23 − a13 a22

a13 a21 − a11 a23 
a11 a22 − a12 a21
(9.26)
61
9 Drei-mal-drei Matrizen
9.1.3
Skalar-Invariante
• Determinante:
a11 a12 a13 detA = a21 a22 a23 a31 a32 a33 #
#
"
"
a23 a31
a22 a33
+ a12 det
= a11 det
a21 a23
a23 a32
#
"
a21 a32
+a13 det
a22 a31
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
−a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
(9.27)
(9.28)
(9.29)
• Spur:
trA = a11 + a22 + a33
(9.30)
Die Eigenschaften in den Gl. (8.40) – Gl. (8.45) gelten auch bei den 3 × 3 Matrizen.
9.2
Eigenwerte und -vektoren
Die Matrix


2 1 1


M= 1 2 1 
0 0 1
(9.31)
kann mit Hilfe der orthogonalen Matrix P diagonalisiert werden. Die charackteristische Gleichung
für die Matrix M (Gl. 9.31) ist
λ3 − 5λ2 − 7λ − 3 = (λ − 1)2 (λ − 3) = 0.
(9.32)
Die Eigenwerte sind
(
λ=
1
3
(doppelte Wurzel)
.
(9.33)
Die Eigenvektoren für λ = 1 werden aus der folgenden Gleichung bestimmt:
(λI − M)x = 0.
(9.34)
Also,



−1 −1 −1
x1



(I − M)x =  −1 −1 −1   x2  = 0.
0
0
0
x3
(9.35)
Die Lösung ist die folgende Relation:
x1 + x2 + x3 = 0
62
(9.36)
9.2 Eigenwerte und -vektoren
Wir setzen x2 = 0 und x3 = 0 ein und erhalten zwei Lösungen oder Eigenvektoren e1 und e2
(mit der Normierung zu |e1 | = 1 und |e2 | = 1):

e1 =
e2 =

1
1 

√  −1 
2
0


1
1 

√  0 .
2
−1
(9.37)
(9.38)
Der Eigenvektor für λ = 3 wird aus



1 −1 −1
x1



(3I − M)x =  −1
1 −1   x2  = 0
0
0
2
x3
(9.39)
bestimmt. Daraus folgen die Relationen x3 = 0 und x1 = x2 . Der normierte Eigenvektor e3 ist
 
1
1  
(9.40)
e3 = √  1  .
2
0
Die orthogonale Matrix P wird aus den Eigenvektoren e1 , e2 und e3 aufgebaut:
h
i
P =
e1 e2 e3


1
1 1
1 

= √  −1
0 1 .
2
0 −1 0
(9.41)
(9.42)
Die inverse Matrix von P ist:
P−1


1 −1
1
√ 

= 2 0
0 −2  .
1
1
1
(9.43)
Die Matrix M kann mit Hilfe von P und P−1 wie folgt diagonalisiert werden:
M0 = P−1 M P



 

1
1 1
1 −1
1
2 1 1
√ 
 
 1 

2 0
=
0 1 
0 −2   1 2 1  √  −1
2
0 −1 0
1
1
1
0 0 1


1 0 0


=  0 1 0 .
0 0 3
(9.44)
(9.45)
(9.46)
63
10 Differentialgleichungen
10.1
Exponentialfunktion
Modell für den radioaktiven Zerfall
dN (t)
= −λN (t)
dt
(10.1)
N (t) ist die Anzahl der radioaktiven Atomkerne im System als Funktion der Zeit. λ ist eine Konstante. Die Lösung ist eine Exponentialfunktion:
N (t) = N0 e−λt + const
(10.2)
N0 ist die initiale Anzahl.
Abbildung 10.1: Exponentialer Abfall (Gl. 10.2) mit λ = 2 und N0 = 100.
10.2
Nichtlineares System
Ein Modell für die zeitliche Entwicklung der Bevölkerung oder der Population N (t) (LogisticsGleichung) wird durch −λ → a − bN wird wie folgt geschrieben:
dN
= (a − bN )N
dt
(10.3)
Der Koeffizient a bedeutet eine Wachstumsrate. Der Koeffizient b ist ein Bremsfaktor, und ist
proportional zu N . Die Gleichung ist nicht-linear. Eine analytische Lösung ist aber bekannt, und
65
10 Differentialgleichungen
wird aus der Methode der Variablentrennung hergeleitet. Wir trennen die Varieblen nach N and t
auf die linke bzw. die rechte Seite:
1
dN = dt.
(a − bN )N
(10.4)
Wir schreiben die linke Seite nach der Partialbruchzerlegung mit 2 Termen:
b
1
1
1
=
+
(a − bN )N
a a − bN
N
und dann integrieren jeden Term:
Z
dN
a
b
1
+
−N
Z
dN
1
=
N
(10.5)
Z
dt a
Die Integration ohne Integrationskonstante:
Z
a
1
dN a
= − log − N b
−
N
Z b
1
dN
= log N
N
Z
dt a = at
(10.6)
(10.7)
(10.8)
(10.9)
Man muss aufpassen, dass die log(x)-Funktion im positiven x-Bereich definiert ist, also muss
a
b − N bei der Integration ebenfalls positiv sein. Nach der Integration bekommt man:
a
log N − log
− N = at + C
(10.10)
b
wobei C eine Integrationskonstante ist. Die zwei log(x) Funktionen kann zusammen gepackt werden:
N
= at + C
(10.11)
log a
b −N
Die Gl. 10.11) wird nun mit Hilfe von exp[log(x)] = x ohne log dargestellt:
a
b
N
= C 0 eat
−N
mit C 0 = eC . Wir schreiben nun N explizit als Funktion der Zeit t mit Arrangement:
a
N = C 0 eat
−N
b
(10.12)
(10.13)
also
N
=
=
C 0 ab eat
1 + C 0 ab eat
1
b
00 −at
a +C e
(10.14)
(10.15)
mit C 00 = C 0−1 ab . Wir evaluieren den Anfangswert als N (0) = N0 an t = 0, somit ist die Lösung
von der Logistics-Gleichung:
1
N=
(10.16)
b
1
b
−at
+
−
e
a
N0
a
66
10.3 Harmonische Oszillation
Die Integrationskonstante C 00 wird durch die Initialbedingung bestimmt:
N0 =
1
+ C 00
(10.17)
1
b
−
N0 a
(10.18)
b
a
also
C 00 =
Eine Graphik der Lösung wird in Abb. 10.3 gegeben.
Abbildung 10.2: Lösung der Logistics-Gleichung (Gl. 10.16) mit a = 2, b = 0.4 und N0 = 2.
10.3
Harmonische Oszillation
Die Differentialgleichung für einen harmonischer Oszillator ist:
ẍ = −ω 2 x
(10.19)
x = A cos(ωt + φ0 ) + B sin(ωt + φ0 )
(10.20)
x = Aeiωt + Be−iωt
(10.21)
Die Lösung ist
oder
Harmonische Oszillation mit Dämpfung:
ẍ = −ω 2 x − γ ẋ
(10.22)
x = e−γt/2 (A cos(ωt + φ0 ) + B sin(ωt + φ0 ))
(10.23)
x = e−γt/2 Aei(ωt+φ0 ) + Bei(−ωt+φ0 )
(10.24)
und die Lösung ist:
oder
67
10 Differentialgleichungen
Abbildung 10.3: Harmonischer Oszillator x = sin(2πt/2) (Gl. 10.21) und gedämpter harmonischer Oszillator (Gl. 10.24) mit γ = 0.3.
10.4
Matrix-Methode
Wir schreiben die Gl. (10.19) als Gleichungssystem:
ẋ = v
(10.25)
v̇ = −ω 2 x
(10.26)
oder in einer Matrix-Form:
d
dt
also
"
x
v
#
"
=
0
1
2
−ω 0
#"
x
v
#
(10.27)
d
A = MA
dt
(10.28)
mit
"
A =
"
M =
x
v
#
(10.29)
0
1
2
−ω 0
#
(10.30)
Nun suchen wir nach den Eigenwerten der Matrix M. Die Eigenwerte λ erfüllen die Gleichung
MA = λA
(10.31)
und die Determinante det(M − λI) muss Null sein:
"
det (M − λI) = det
68
−λ
1
2
−ω −λ
#
(10.32)
= (−λ)2 + ω 2
(10.33)
= 0
(10.34)
10.4 Matrix-Methode
Deshalb sind die Eingenwerte iω und −iω:
λ = ±iω
(10.35)
Es gibt also zwei unabhängige fundamentale Moden:
" #
"
#" #
iω 0
x
d x
=
dt v
0 iω
v
" #
"
#" #
−iω
0
x
d x
=
dt v
0
−iω
v
(10.36)
(10.37)
(10.38)
Die Gl. (10.36) ist ein entkoppeltes System zwischen x und v, und kann integriert werden:
#
" #
"
x
x
0
(10.39)
= ei(ωt+φ+ )
v0
v
und die Gl. (10.37) ebenfalls:
"
x
v
#
"
−i(ωt+φ− )
=e
x0
v0
#
(10.40)
Die Lösung wird als lineare Kombination von der Gl. (10.39) mit der Gl. (10.40) gegeben:
" #
"
#
x
x
0
= a1 ei(ωt+φ+ ) + a2 e−i(ωt+φ− )
.
(10.41)
v
v0
69
A Zeichen und Symbole
A.1
SI-Basiseinheiten und Vorsätze.
Größe
Tabelle A.1: SI-Basiseinheiten.
Name
Zeichen
Länge
Masse
Zeit
elektrische Stromstärke
Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Potenz
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tabelle A.2: SI-Vorsätze.
Name Zeichen Potenz Name
Yotta
Zetta
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
Zepto
Yokto
Zeichen
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
71
A Zeichen und Symbole
A.2
Mathematische Zeichen und Symbole
Tabelle A.3: Mathematische Zeichen und Symbole
+ plus
⇒
daraus folgt
− minus
⇔
genau dann, wenn
·
Multiplikation
∪
logisches und
/
Division
∩
logisches oder
= gleich
∞
unendlich
≈ ungefähr gleich
∈
ist Element von
≡ äquivalent
∈
/
ist kein Element
6= nicht gleich
N
natürliche Zahlen
< kleiner
R
reelle Zahlen
> größer
·
skalares Produkt
∝ proportional zu
×
Vektorprodukt
P
|a| Betrag von a
Summenzeichen
√
Wurzelzeichen
Π
Produktzeichen
dx Differential
!
Fakultät
d
Differentiation
∇
Nabla-Operator
Rdx
Integration
∇× Rotation
∆ Laplace-Operator ∇·
Divergenz
72
A.3 Griechische Buchstaben
A.3
Griechische Buchstaben
Tabelle A.4: Griechische Buchstaben.
A α Alpha
N ν Ny
B β Beta
Ξ ξ Xi
Γ γ Gamma
O o Omiklon
∆ δ Delta
Π π Pi
E Epsilon
P ρ Rho
Z ζ Zeta
Σ σ Sigma
H η Eta
T τ Tau
Θ θ Theta
Y υ Ypsilon
I
ι Iota
Φ φ Phi
K κ Kappa
X χ Chi
Λ λ Lambda
Ψ ψ Psi
M µ My
Ω ω Omega
73
A Zeichen und Symbole
A.4
Bezeichnungen für physikalische Größen
Tabelle A.5: Bezeichnungen für physikalische Größen.
Deutsch
Englisch
Variabel Dimension
Länge
Zeit
Masse
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Kraft
Impuls
Leistung
Energie
Temperatur
Ladung
Elektrisches Feld
Magnetisches Feld
Elektrisches Potential
Magnetische Induktion
Elektrische Kapazität
Elektrischer Widerstand
74
length
time
mass
velocity
acceleration
force
momentum
power
energy
temperature
charge
electric field
magnetic field
electric potential
magnetic induction
capacity
resistance
`
t
m
v
a
F
p
P
E
T
Q
E
H
V,Φ
B
C
R
m
s
kg
m s−1
m s−2
N
m kg s−1
W
J
K
C
V m−1
A m−1
V
T
F
Ω
Literaturverzeichnis
Abramowitz, M. und Stegun, I.: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs,
and Mathematical Tables, Dover Publications, New York, 1964.
Bronstein, I. N., Semendjajew, K. A., Musiol, G. und Muehlig, H.: Taschenbuch der Mathematik,
Deutsch (Harri), 7. Auflage, 2008.
Großmann, S.: Mathematischer Einführungskurs für die Physik, Springer Vieweg Teubner Verlag,
2012.
Günther, N. M. und Kusmin, R. O.: Aufgabensammlung zue Höheren Mathematik, I, II, VEB
Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1966.
Kallenrode, M.-B., Rechenmethode der Physik, Springer-Lehrbuch, Berlin, 2005
Lang, C. und Pucker, N.: Mathematische Methoden in der Physik, Springer Spektrum, 2005.
Motschmann, U.: Rechenmethode der Physik, Vorlesungsskript, Institut für Theoretische Physik,
Technische Universität Braunschweig, Braunschweig, 2013.
Nash, C., and Sen, S.: Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, London, 1983.
Schutz, B. F.: Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambrige, 1980.
Zeidler, E., Hackbusch, W. und Schwartz, H. R.: Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Viewweg+Teuber, 2. Auflage, 2003.
75