Wiederholungsfolien zur HM 1

Höhere Mathematik 1 - Kompakt
Themen:
Grundlagen
Vektorrechnung
Analysis einer Veränderlichen
2
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Aussagenlogik . .
1.2 Mengen . . . . .
1.3 Abbildungen . . .
1.4 Kombinatorik . .
1.5 Komplexe Zahlen
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7
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2 Vektorrechnung
2.1 Koordinaten . . . . .
2.2 Vektoren . . . . . . .
2.3 Skalarprodukt . . . .
2.4 Vektorprodukt . . . .
2.5 Spatprodukt . . . . .
2.6 Geraden . . . . . . .
2.7 Ebenen . . . . . . . .
2.8 Quadratische Kurven
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3 Analysis einer Veränderlichen
3.1 Funktionen einer Veränderlichen . . . . . . . .
3.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Rationale Funktionen . . . . . . . . . .
3.1.4 Trigonometrische Funktionen . . . . .
3.1.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . .
3.2 Konvergenz und Grenzwerte . . . . . . . . . .
3.2.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . .
3.3.5 Funktionsuntersuchung . . . . . . . . .
3.4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral
3.4.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Rationale Integranden . . . . . . . . .
3.4.4 Trigonometrische Integranden . . . . .
3.4.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . .
3
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4
Teil 1
Grundlagen
5
6
1.1
Aussagenlogik
Aussage und Axiom
Aussage: sprachlicher Ausdruck mit eindeutigem Wahrheitswert w ( wahr“) bzw. f ( falsch“)
”
”
A:
Beschreibung
Axiom: grundlegende nicht aus anderen Aussagen ableitbare Aussage
Logische Operationen
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
¬A
A∧B
A∨B
A⇒B
A⇔B
nicht A
A und B
A oder B
aus A folgt B
A ist äquivalent zu B
Umformungsregeln für logische Operationen
Assoziativgesetze
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C),
(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
Kommutativgesetze
A ∧ B = B ∧ A,
A∨B =B∨A
De Morgansche Regeln
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B),
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
Distributivgesetze
(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C),
(A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
äquivalente Darstellung der Implikation: ¬A ∨ B
Quantoren
Existenzquantor und Allquantor
∃: es gibt . . .“, ∀: für alle . . .“
”
”
Negation
Vertauschung der Quantoren
¬ ∃ p ∈ P : A(p) = ∀ p ∈ P : ¬A(p)
¬ ∀ p ∈ P : A(p) = ∃ p ∈ P : ¬A(p)
Direkter Beweis
Herleitung einer Behauptung B aus bekannten wahren Aussagen A
A =⇒ B
gegebenenfalls Berücksichtigung von Voraussetzungen
7
Indirekter Beweis
Herleitung einer Aussage B aus Voraussetzungen V durch Folgern eines Widerspruchs aus der Annahme,
dass die Aussage B bei Gültigkeit der Voraussetzungen V falsch ist:
V ∧ (¬B) =⇒ F
mit einer falschen Aussage F , insbesondere F = ¬V oder F = B
Vollständige Induktion
Beweis von parameterabhängigen Aussagen A(n), n ∈ N
• Induktionsanfang: zeige A(1)
• Induktionsschluss: zeige A(n) =⇒ A(n + 1)
8
1.2
Mengen
Menge
Menge mit Elementen ak bzw. a
A = {a1 , a2 , . . .},
a∈A
a∈
/A
A ⊆ B (⊂)
|A|
∅
A = {a : a besitzt die Eigenschaft E}
a ist Element von A
a ist nicht Element von A
A ist (echte) Teilmenge von B
Anzahl der Elemente in A
leere Menge
natürliche, ganze, rationale, relle und komplexe Zahlen
N, Z, Q, R, C
Mengenoperationen
Vereinigung
A∪B
Durchschnitt
A∩B
Differenz, Komplementärmenge A \ B
Regeln für Mengenoperationen
Assoziativgesetze
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Kommutativgesetze
A ∩ B = B ∩ A,
A∪B =B∪A
De Morgansche Regeln
C\(A ∩ B) = (C\A) ∪ (C\B),
C\(A ∪ B) = (C\A) ∩ (C\B)
Distributivgesetze
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Kartesisches Produkt
geordnete Paare von Elementen zweier Mengen
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
n-Tupel: (a1 , . . . , an ) ∈ A1 × · · · × An
9
Relation
Beziehung zwischen Elementen zweier Mengen
a R b ⇔ (a, b) ∈ R ⊆ A × B
Eigenschaften von Relationen
reflexiv
symmetrisch
antisymmetrisch
transitiv
total
(a, a) ∈ R
(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b
(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
(a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R
Äquivalenzrelation (a ∼ b): reflexiv, symmetrisch und transitiv
Partition der Grundmenge in disjunkte Äquivalenzklassen
Halbordnung (a ≤ b): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
Ordnung: zusätzlich total
10
1.3
Abbildungen
Abbildung
eindeutige Zuordnung
f : A −→ B,
a 7→ b = f (a)
Bild: f (U ), Urbild: f −1 (V )
Eigenschaften von Abbildungen
injektiv
∀a 6= a0 ∈ A : f (a) 6= f (a0 )
surjektiv
∀b ∈ B ∃ a ∈ A : f (a) = b
bijektiv: injektiv und surjektiv
Verknüpfung von Abbildungen
Hintereinanderschaltung von f : A → B und g : B → C
a 7→ (g ◦ f )(a) = g(f (a))
assoziativ aber i.a. nicht kommutativ
Inverse Abbildung
Umkehrung f −1 einer bijektiven Abbildung f : A → B
b = f (a) ⇔ a = f −1 (b)
11
1.4
Kombinatorik
Fakultät
Anzahl der Permutationen von n Elementen
n! = 1 · 2 · · · n
Stirlingsche Formel
n! =
n n
√
2πn
1 + O(1/n)
e
Binomialkoeffizient
Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
n
n!
=
=
(n − k)!k!
1 · · · (k − 2)(k − 1)k
k
Pascalsches Dreieck
Rekursion für Binomialkoeffizienten
n+1
k
=
n
n
+
k−1
k
Dreiecksschema
0
k
1
1
k
1
2
k
1
1
3
k
1
4
k
2
3
1
3
1
&+.
&+.
&+.
4
6
4
..
.
..
.
..
.
1
1
Binomischer Satz
n
(a + b)
n n−1
n
= a +
a b + ··· +
abn−1 + bn
1
n−1
n X
n n−k k
=
a b
k
k=0
n
Identitäten für Binomialkoeffizienten
12
n
2
=
n X
n
k=0
n X
k
n
0 =
(−1)k , n ≥ 1
k
k=0
k X
n
n−k−1+i
=
, k<n
k
i
i=0
n−k X
n
k−1+i
=
, k>0
k
k−1
i=0
Auswahl von Teilmengen
Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit n verschiedenen Elementen k Elemente auszuwählen
nicht sortiert
ohne Wiederholungen
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
mit Wiederholungen
nk
13
sortiert
n
k
n+k−1
k
1.5
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
imaginäre Einheit: i2 = −1
C = {z = x + iy,
x, y ∈ R}
Real- und Imaginärteil
x = Re z,
y = Im z
Komplexe Konjugation
konjugiert komplexe Zahl
z̄ = x − iy
verträglich mit den arithmetischen Operationen
z1 ◦ z2 = z̄1 ◦ z̄2 ,
◦ = +, −, ∗, /
Betrag komplexer Zahlen
|z| =
Positivität
|z| ≥ 0,
p
√
x2 + y 2 = z z̄
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
Multiplikativität
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |,
Dreiecksungleichung
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |, z2 6= 0
|z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Formel von Euler-Moivre
cos t + i sin t = exp(it),
t∈R
Sinus und Kosinus: Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag 1
1 it
e + e−it
2
1 it
it
sin t = Im e =
e − e−it
2i
cos t = Re eit =
14
Gaußsche Zahlenebene
Im(z)
Im(z)
x
z = reiϕ
z = x + iy
r
y
|z|
ϕ
−ϕ
Re(z)
Re(z)
z = re−iϕ
z = x − iy
Darstellung in Polarkoordinaten
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r exp(iϕ)
mit
r = |z| =
σ = 0 für x ≥ 0, σ = ±π für x < 0
z
r
ϕ
p
x2 + y 2 ,
ϕ = arg(z) = arctan y/x + σπ
Standardbereich ϕ ∈ (−π, π]
1 −1
±i
1ñ i
1 1
1
2
0 π ±π/2 ±π/4
√
√
3 ± i 1 ± 3i
2
2
±π/6
±π/3
Multiplikation komplexer Zahlen
zk = xk + iyk = rk exp(iϕk )
z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i = r1 r2 exp(i(ϕ1 + ϕ2 ))
Division komplexer Zahlen
zk = xk + iyk = rk exp(iϕk )
x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2
r1
z1
=
+
i = exp(i(ϕ1 − ϕ2 ))
2
2
2
2
z2
x2 + y 2
x2 + y 2
r2
Kehrwert
1
1
1
x
y
= 2 z̄ = exp(−iϕ) = 2 − 2 i
z
r
r
r
r
15
Komplexe Einheitswurzeln
zn = 1
zk = wnk ,
k = 0, . . . , n − 1
wn = exp(2πi/n),
Im z
wn1
wn0 = 1
Re z
wnn−1
Potenzen einer komplexen Zahl
ganzzahlige Exponenten m ∈ Z
z m = rm eimϕ ,
z = reiϕ
rationale Exponenten p/q ∈ Q
z p/q = rp/q exp (ipϕ/q) wqkp ,
k = 0, . . . , q − 1
mit wqk = exp (2πi/q)k den q-ten Einheitswurzeln
Kreis in der Gaußschen Zahlenebene
|z − a| = s|z − b|,
Mittelpunkt
w=
Radius
s 6= 1
s2
1
a
−
b
1 − s2
1 − s2
r=
s
|b − a|
|1 − s2 |
Parameterform des Kreises
w + reit ,
t ∈ [0, 2π)
16
Teil 2
Vektorrechnung
17
18
2.1
Koordinaten
Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum
senkrecht schneidende Zahlengeraden (Achsen), orientiert gemäß der Rechten-Hand-Regel“
”
x3-Ahse
frag replaements
Mittelnger
x3
X
x1 O
PSfrag replaements
O
x2
x1-Ahse
x2-Ahse
Zeigenger
Daumen
Punkte, dargestellt durch Koordinaten: X = (x1 , x2 , x3 ) bzw. P = (x, y, z)
Kugelkoordinaten
z-Achse
P
ϑ
r
O
ϕ
y-Achse
x-Achse
x = r cos ϕ sin ϑ,
bzw.
r=
p
x2 + y 2 + z 2 ,
y = r sin ϕ sin ϑ,
ϕ = arctan(y/x) + σπ,
mit σ = 0 für x ≥ 0 und σ = ±1 für x < 0
z = r cos ϑ
p
ϑ = arccos(z/ x2 + y 2 + z 2 )
Standardbereich ϕ ∈ (−π, π]
Zylinderkoordinaten
19
z-Achse
P
O
ϕ
z
̺
y-Achse
x-Achse
x = % cos ϕ,
bzw.
%=
p
x2 + y 2 ,
y = % sin ϕ,
z=z
ϕ = arctan(y/x) + σπ,
mit σ = 0 für x ≥ 0 und σ = ±1 für x < 0
z=z
Standardbereich ϕ ∈ (−π, π]
Translation eines kartesischen Koordinatensystems
Verschiebung des Ursprungs, O → O0 = (p1 , p2 , p3 )
X = (x1 , x2 , x3 )
→
x2
p2
O
X 0 = (x1 − p1 , x2 − p2 , x3 − p3 )
x′2
X =X
b ′
O′
x′1
p1
x1
Rotation eines kartesischen Koordinatensystems
Drehung der xy-Ebene um die z-Achse mit dem Winkel α:
P = (p1 , p2 , p3 ) → P 0 = (p01 , p02 , p03 ) mit
p01 = cos α p1 + sin α p2 ,
p02 = − sin α p1 + cos α p2 ,
20
p03 = p3
y
y′
P
p2
x′
p′1
1
p′2
α
p1
1
21
x
2.2
Vektoren
Vektoren im Raum
Pfeil vom Punkt P zum Punkt Q


q1 − p1
−→
~a = P Q =  q2 − p2 
q3 − p3
P2
−~a
P1
~a
~a
Q2
Q1
−→
Ortsvektor: OA = (a1 , a2 , a2 )t , Nullvektor: ~0
Addition von Vektoren
−→ −→ −→
P R = P Q + QR
Q
~b
~a
~c
P

R
 
 

a1
b1
a1 ± b 1
~c = ~a ± ~b =  a2  ±  b2  =  a2 ± b2 
a3
b3
a3 ± b 3
Skalarmultiplikation

 

a1
sa1
s  a2  =  sa2 
a3
sa3
22
sa2
a2
s~a
~a
a1
sa1
Betrag eines Vektors im Raum
q
|~a| = a21 + a22 + a23
kompatibel mit Skalarmultiplikation: |s~a| = |s||~a|
Einheitsvektor: Vektor mit Betrag 1
~v 0 = ~v /|~v |
Dreiecksungleichung
Gleichheit genau dann, wenn ~a k ~b
|~a + ~b| ≤ |~a| + |~b|
~b
~a
~a + ~b
Rechenregeln für Vektoren
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
~a + ~b = ~b + ~a
~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c
s(~a + ~b) = s~a + s~b
23
2.3
Skalarprodukt
Winkel zwischen zwei Vektoren
γ = ^(~a, ~b) ∈ [0, π]
~a
∢(~a, ~b)
~b
orthogonal: ~a ⊥ ~b ⇔ γ = π/2
Kosinussatz
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
B
c
a
γ
A
b
γ = π/2
Satz des Pythagoras: c2 = a2 + b2
Sinussatz
sin β
sin γ
sin α
=
=
a
b
c
24
C
γ
a
b
α
β
c
A
B
Skalarprodukt von Vektoren im Raum
~a · ~b = |~a||~b| cos ^(~a, ~b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
~a · ~a = |~a|2 , ~a · ~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b
übliche Rechenregeln für Produkte
~a · ~b = ~b · ~a,
(s~a + r~b) · ~c = s~a · ~c + r~b · ~c
Orthogonalbasis im Raum
paarweise orthogonale Vektoren ~u, ~v , w,
~ jeweils ungleich ~0
~aw
w
~
~a
~av
~v
~au
~u
Zerlegung eines Vektors in Projektionen auf die Achsen
~a =
~a · ~u
~a · ~v
~a · w
~
u+
v+
w
~
2 ~
2~
|~u|
|~v |
|w|
~2
Vereinfachung (Nenner 1) für Einheitsvektoren (Orthonormalbasis)
Satz des Pythagoras (allgemeinere Form)
|~a · ~u|2 |~a · ~v |2 |~a · w|
~2
= |~a|2
2 +
2 +
2
|~u|
|~v |
|w|
~
25
2.4
Vektorprodukt
Vektorprodukt


a2 b 3 − a3 b 2
~c = ~a × ~b =  a3 b1 − a1 b3 
a1 b 2 − a2 b 1
orthogonal zu ~a und ~b, gemäß der Rechten-Hand-Regel“ orientiert
”
Länge: Flächeninhalt des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms
~c = ~a~b sin(^(~a, ~b))
Mittelfinger
~c
~b
Zeigefinger
∢(~a, ~b)
~a
Daumen
Regeln für Vektorprodukte
~a k ~b =⇒ ~a × ~b = ~0
~a ⊥ ~b =⇒ |~a × ~b| = |~a||~b|
Antisymmetrie
Linearität
Grassmann-Identität
Lagrange-Identität
~a × ~b = − ~b × ~a
α1~a1 + α2~a2 × β1~b1 + β2~b2 =
α1 β1 ~a1 × ~b1 + α1 β2 ~a1 × ~b2 + α2 β1 ~a2 × ~b1 + α2 β2 ~a2 × ~b2
(~a × ~b) × ~c = (~a · ~c) ~b − (~b · ~c) ~a
~ = (~a · ~c)(~b · d)
~ − (~a · d)(
~ ~b · ~c)
(~a × ~b) · (~c × d)
Epsilon-Tensor
εi,j,k ∈ {−1, 0, 1},
i, j, k ∈ {1, 2, 3}
Null bei zwei gleichen Indizes,
positiv bei zyklischer Permutation der kanonischen Indexfolge (i, j, k) = (1, 2, 3),
Vorzeichenänderung bei Vertauschung von Indizes.
26
2.5
Spatprodukt
Spatprodukt
~a, ~b, ~c = ~a · (~b × ~c) =
a1 (b2 c3 − b3 c2 ) + a2 (b3 c1 − b1 c3 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 )
orientiertes Volumen des von den drei Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats
positiv bei Orientierung der Vektoren gemäß der Rechten-Hand-Regel
~b × ~c
~a
~c
~b
Eigenschaften des Spatprodukts
zyklische Vertauschung
[~a, ~b, ~c] = [~b, ~c, ~a] = [~c, ~a, ~b]
lineare Abhängigkeit
[~a, ~b, ~c] = 0
⇔
~0 = α~a + β~b + γ~c
mit mindestens einem der Skalare α, β, γ ungleich 0
Orientierung
[~a, ~b, ~c] > 0
für jedes Rechtssystem
Volumen eines Tetraeders
aufspannende Vektoren ~a, ~b und ~c
1
V = |[~a, ~b, ~c]|
6
Berechnung von Koordinaten mit Hilfe des Spatproduktes
d = [~u, ~v , w]
~ 6= 0 =⇒
~x = α~u + β~v + γ w
~
mit
α = [~x, ~v , w]/d,
~
β = [~x, w,
~ ~u]/d,
27
γ = [~x, ~u, ~v ]/d
2.6
Geraden
Punkt-Richtungs-Form
−−→
P X = t~u
⇔
xi = pi + tui
X
~u
P
Zwei-Punkte-Form
−−→
−→
P X = tP Q
⇔
xi = pi + t(qi − pi )
Q
−→
PQ
X
P
−−→
PX
Momentenform
−−→
P X × ~u = ~0
⇔
~x × ~u = p~ × ~u
~u
−−→
PX
~u
−−→
~x = OX
P
−→
OP = p~
X
|~p × ~u| = |~c|
O
28
|~x × ~u| = |~c|
Abstand Punkt-Gerade
Projektion X eines Punktes Q auf eine Gerade durch P mit Richtung ~u
−−→
P X = t~u,
t=
(~q − p~) · ~u
|~u|2
~u
−−→ X
t~u = P X
Q
~u
P
−→
OP = p~
|(~q − ~p) × ~u|
−→
P Q = ~q − ~p
−→
OQ = ~q
O
Abstand
−−→
|(~q − p~) × ~u|
d = |XQ| =
|~u|
Abstand zweier Geraden
−→
|[P Q, ~u, ~v ]|
d=
|~u × ~v |
Geraden gegeben durch Punkte P , Q und Richtungen ~u 6k ~v
windschief: d > 0
h−→
i
P Q, ~u, ~v ~u
~v
Q
Abstand paralleler Geraden
−→
|P Q × ~u|
d=
|~u|
29
−→
PQ
P
Berechnung der Punkte X, Y kürzesten Abstandes aus den Orthogonalitätsbedingungen
~x − ~y ⊥ ~u, ~v ,
~x = p~ + s~u, ~y = ~q + t~v
lineares Gleichungssystem für s und t
30
2.7
Ebenen
Parametrische Darstellung einer Ebene
−−→
P X = s~u + t~v
⇔
xi = pi + sui + tvi
X
s~v
P
r~u
O
Drei-Punkte-Form einer Ebene
laements
p1 q1 r1 x1
−−→ −→ −→
p q r x
[P X, P Q, P R] = 0 = 2 2 2 2
p3 q3 r3 x3
1 1 1 1
R
X
P
Q
31
Hesse-Normalform einer Ebene
~x · ~n = d,
~
n; j~
nj
d = p~ · ~n
~
n
=1
X
P
PSfrag replaements
O
Normalform: |~n| = 1 und d ≥ 0 ist der Abstand der Ebene zum Ursprung
Abstand Punkt-Ebene
Abstand von Q
−→
|P Q · ~n|
d=
|~n|
Q
−→
PQ
−−→
XQ
~n
X
P
O
Projektion von Q
~x = ~q −
(~q − p~) · ~n
~n
|~n|2
32
Schnitt zweier Ebenen
cos ϕ =
|~n1 · ~n2 |
∈ [0, π/2]
|~n1 ||~n2 |
!
n1
!
n2
Richtung der Schnittgeraden g: ~u = ~n1 × ~n2
gemeinsame Lösungen beider Ebenengleichungen
Punkte P auf g
33
2.8
Quadratische Kurven
Ellipse
Punkte P = (x, y) mit konstanter Abstandssumme zu zwei Brennpunkten F±
−−→
−−→
|P F− | + |P F+ | = 2a
−−−→
mit 2a > |F− F+ |
y
P
b
r
ϕ
a
F−
F± = (±f, 0)
x
F+
Koordinatendarstellung
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
bzw.
r2 =
b2 = a2 − f 2
b2
1 − (f /a)2 cos2 ϕ
für die Polarkoordinaten der Punkte P
Parametrisierung
x = a cos t, y = b sin t,
t ∈ [0, 2π)
Parabel
Punkte P = (x, y) gleichen Abstands von einem Brennpunkt F und einer Leitgerade g
y
P
r
F
ϕ
g
34
x
F = (0, f ) und g : y = −f
Koordinatendarstellung
4f y = x2
bzw.
r=
4f sin ϕ
cos2 ϕ
für die Polarkoordinaten der Punkte P
Hyperbel
Punkte P = (x, y) mit konstanter Abstandsdifferenz zu zwei Brennpunkten F±
−−→
−−→
|P F− | − |P F+ | = ±2a
−−−→
mit 2a < |F− F+ |
y
P
b
r
ϕ
a
F−
F± = (±f, 0)
x
F+
Koordinatendarstellung
x2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
bzw.
r2 = −
b2 = f 2 − a2
b2
1 − (f /a)2 cos2 ϕ
für die Polarkoordinaten der Punkte P
Parametrisierung
x = ±a cosh t, y = b sinh t,
35
t∈R
36
Teil 3
Analysis einer Veränderlichen
37
38
3.1
Funktionen einer Veränderlichen
3.1.1
Grundlagen
Funktion
f : D → R,
x 7→ f (x)
ordnet jedem Argument x aus dem Definitionsbereich D ⊆ R einen Wert f (x) aus dem Wertebereich
W ⊆ R zu
y
f
x
D
W
Graph: Paare (x, y) mit y = f (x)
Umkehrfunktion
injektive Funktion f : D 3 x → y = f (x) ∈ W
f −1 : W → D ⊆ R, y 7→ x = f −1 (y)
Graph: Spiegelbild des Graphen von f an der ersten Winkelhalbierenden
Rechnen mit Funktionen
punktweise definierte Operationen
• Linearkombination: (rf + sg)(x) = rf (x) + sg(x)
• Produkt und Quotient: (f g)(x) = f (x)g(x), (f /g)(x) = f (x)/g(x)
• Hintereinanderschaltung: (f ◦ g)(x) = f (g(x))
Gerade und ungerade Funktionen
gerade: symmetrisch zur y-Achse, f (x) = f (−x)
ungerade: punktsymmetrisch zum Ursprung, f (x) = −f (−x)
Monotone Funktion
wachsend
⇔ f 0 ≥ 0 bis auf isolierte Punkte
analog: monoton fallend (≤ ↔ ≥)
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
39
Konvexe Funktion
Sekante oberhalb des Graphen
f ((1 − t) x1 + tx2 ) ≤ (1 − t) f (x1 ) + t f (x2 ),
⇔ f 00 ≥ 0 bis auf isolierte Punkte
Konvexität =⇒ Stetigkeit
40
t ∈ (0, 1)
3.1.2
Polynome
Polynom
Polynom p vom Grad n
p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,
an 6= 0
reelle oder komplexe Koeffizienten ak
Lineare Funktion
f (x) = ax + b
Graph: Gerade mit Steigung a und y-Achsenabschnitt b
y
y = ax + b
a
b
1
x
0
• Punkt-Steigungs-Form:
• Zwei-Punkte-Form:
y − y0
=a
x − x0
y − y0
y1 − y0
=
x − x0
x1 − x0
Quadratische Funktion
f (x) = ax2 + bx + c
⇔
y = a(x − x0 )2 + y0
Graph: Parabel mit Scheitel (x0 , y0 ) = (−b/(2a), −b2 /(4a) + c)
Polynomdivision
Division mit Rest
p = f q + r,
Grad f = Grad p − Grad q ≥ 0, Grad r < Grad q
p(t) = 0, q(x) = (x − t) =⇒ r = 0, d.h. p(x) = f (x)(x − t)
Faktorisierung von Polynomen
Linearfaktoren zu komplexen Nullstellen zk
p(z) = c(z − z1 ) · · · (z − zn )
Paare komplex konjugierter Nullstellen xk ± iyk
reelle quadratische Faktoren
(z − xk − iyk )(z − xk + iyk ) = (z − xk )2 + yk2
41
Interpolationspolynom in Lagrange-Form
p(xk ) = fk =⇒
p(x) =
n
X
fk qk (x),
qk (x) =
k=0
linearer Interpolant (n = 1)
p(x) = f0
Y x − xj
x k − xj
j6=k
x − x0
x1 − x
+ f1
x1 − x0
x1 − x0
42
3.1.3
Rationale Funktionen
Rationale Funktion
Quotient zweier Polynome
r(x) =
a0 + a1 x + · · · + am x m
p(x)
=
q(x)
b0 + b1 x + · · · + bn x n
irreduzibel, wenn p und q keinen gemeinsamen Linearfaktor besitzen
Polstellen: Nullstellen des Nenners, Ordnung entspricht der Vielfachheit
Mypartialbruchzerlegung
Zerlegung entsprechend der Polstellen zj (Ordnung mj )
r(z) =
X
p(z)
= f (z) +
rj (z),
q(z)
j
rj (z) =
aj,mj
aj,1
+ ... +
z − zj
(z − zj )mj
Grad f = Grad p − Grad q (f = 0, falls Zählergrad < Nennergrad)
Berechnungsmethoden
• Multiplikation mit
q(z) = c
Y
(z − zj )mj
j
und Vergleich der Koeffizienten von z k
Koeffizient aj,mj ;
• Multiplikation mit (z − zj )mj und Setzen von z = zj
rekursive Anwendung nach Subtraktion bereits bestimmter Terme
Reelle Mypartialbruchzerlegung
reelle Polstellen xj (Vielfachheit mj ) und komplex-konjugierte Polstellen uk ± ivk (Vielfachheit nk )
mj
n
k
XX
XX
p(x)
aj,ν
bk,µ (x − uk ) + ck,µ
= f (x) +
+
r(x) =
q(x)
(x − xj )ν
((x − uk )2 + vk2 )µ
j ν=1
k µ=1
Grad f = Grad p − Grad q (f = 0 falls Zählergrad < Nennergrad)
Berechnungsmethoden
• Multiplikation mit
q(z) = c
Y
Y
(z − xj )mj
((x − uk )2 + vk2 )nk
j
k
und Vergleich der Koeffizienten von z `
• Zusammenfassen komplex-konjugierter Terme der komplexen Partialbruchzerlegung
43
3.1.4
Trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus
2
1
t
co
s
0
t
t
cos t
1
sin
0
sin t
1
1
−1
−2
−2π
−π
0
Identitäten
• cos t = sin(t + π/2),
• cos t = cos(−t),
sin t = − sin(−t),
• sin2 t + cos2 t = 1.
spezielle Werte
sin
0
π
6
0
1
2
cos 1
1
2
√
3
π
4
√
1
2
2
√
1
2
2
1
2
π
3
π
2
1
2
0
√
3 1
Formel von Euler-Moivre
cos t + i sin t = exp(it),
t∈R
Sinus und Kosinus: Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag 1
1 it
e + e−it
2
1 it
it
sin t = Im e =
e − e−it
2i
cos t = Re eit =
Additionstheoreme von Sinus und Kosinus
• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
• sin(α + β) = sin β cos α + sin α cos β
insbesondere: cos(2α) = cos2 α − sin2 α, sin(2α) = 2 sin α cos α
44
π
2π
Tangens und Cotangens
tan t =
sin t
,
cos t
cot t =
cos t
sin t
spezielle Werte
π
6
0
1
3
tan
0
cot
nicht def.
√
π
4
3 1
√
3
1
π
3
π
2
√
3 nicht def.
√
1
3
0
3
Arkusfunktionen
Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
arccos : [−1 . . . 1] → [π . . . 0]
arcsin : [−1 . . . 1] → [−π/2 . . . π/2]
arctan : [−∞ . . . ∞] → [−π/2 . . . π/2]
Harmonische Schwingung
x(t) = c cos(ωt − δ)
Amplitude c ≥ 0, Phasenverschiebung δ, Frequenz ω bzw. Periode T = 2π/ω
x
δ/ω
c
t
T=2π/ω
äquivalente Darstellungen
x(t) = Re c exp(i(ωt − δ)) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
mit a = c cos(δ), b = c sin(δ)
Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz
45
2
X
k=1
ck cos(ωt − δk ) = c cos(ωt − δ)
p
mit c = c21 + 2 cos(δ1 − δ2 )c1 c2 + c22
alternative Darstellung xk (t) = ak cos(ωt) + bk sin(ωt)
p
c = (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2
Modulierte Schwingung
2
X
ck eiωk t = c(t)eiω̄t ,
c(t) = c1 ei∆ωt + c2 e−i∆ωt
k=1
mit ω̄ = (ω1 + ω2 )/2 und ∆ω = (ω1 − ω2 )/2
periodisch bei rationalem Frequenzverhältnis ω1 /ω2
46
3.1.5
Exponentialfunktionen
Exponentialfunktion
replacemen
y = ex = exp(x),
e = 2.71828...
7
6
5
4
y = exp(x)
3
2
1
0
−2
−1
1
0
2
Funktionalgleichung
ex+y = ex ey
insbesondere: e−x = 1/ex
Verzinsung
Endkapital bei Startkapital x nach n-facher Aus- bzw. Einzahlung einer Rate r (r < 0 bzw. r > 0) und
einem Zinsfaktor (1 + p)
(1 + p)n − 1
r
p
effektiver Jahreszins bei monatlicher Verzinsung mit Zinsfaktor 1 + pm
y = (1 + p)n x +
pj = (1 + pm )12 − 1 ≥ 12pm
PSfrag Logarithmus
Natürlicher
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
y = ex
2
⇔
x = ln y
1
0
y = ln x
−1
−2
0
1
2
3
4
47
5
6
7
Funktionalgleichung
ln(xy) = ln x + ln y
insbesondere: ln(1/x) = − ln x
Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus
y = ax = exp(x ln a),
a>0
Umkehrfunktion
x = loga y,
y>0
Zehner- und dualer Logarithmus: log = log10 , ld = log2
Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen
as+t = as at ,
loga x + loga y = loga (xy),
as−t = as /at ,
loga x − loga y = loga (x/y),
(as )t = ast
loga xt = t loga x
Umrechnung zwischen verschiedenen Basen
logb x = logb a loga x
Hyperbelfunktionen
cosh x =
ex + e−x
,
2
sinh x =
3
2
1 y = cosh x
0
−1
y = sinh x
−2
−3
−4
−2
0
2
ex − e−x
,
2
tanh x =
sinh x
= 1/coth x
cosh x
2
1
0
−1
−2
y = tanh x
y = coth x
−3 −2 −1 0
4
48
1
2
3
Hyperbolische Identitäten
sinh(−x) = − sinh x
cosh(−x) = cosh x
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
cosh2 x − sinh2 x = 1
49
3.2
Konvergenz und Grenzwerte
3.2.1
Folgen
Grenzwert einer Folge
a = limn→∞ an ⇔
∀ε > 0 ∃nε ∀n > nε : |an − a| < ε
Rechenregeln für Grenzwerte bei Folgen
an → a und bn → b =⇒
• lim (an ± bn ) = a ± b
n→∞
• lim (an bn ) = ab
n→∞
• lim (an /bn ) = a/b, falls b 6= 0
n→∞
Cauchy-Kriterium
Konvergenz von (an ) ⇔
∀ε > 0 ∃nε ∀j, k > nε : |aj − ak | < ε
Monotone Konvergenz einer Folge
an ≤ an+1 ≤ · · · ≤ c =⇒ Konvergenz gegen Grenzwert a ≤ c
analog: Konvergenz monoton fallender, nach unten beschränkter Folgen
Uneigentliche Grenzwerte
limn→∞ an = ∞ ⇔
∀a > 0 ∃na ∀n > na : an > a
analog: an → −∞
Limes Inferior und Limes Superior
lim an =
n→∞
lim an =
n→∞
lim an , an = inf ak
n→∞
lim an , an = sup ak
n→∞
lim an = a = lim an =⇒ Konvergenz von (an ) gegen a
n→∞
k≥n
n→∞
50
k≥n
Vergleichskriterium für Folgen
lim an = a, lim cn = c und an ≤ bn ≤ cn für n > n0 =⇒
a ≤ lim bn ≤ lim bn ≤ c
a = c =⇒ Konvergenz von (bn )
Häufungspunkt einer Folge
Grenzwert a einer konvergenten Teilfolge von (an )
⇔ jedes Intervall (a − ε, a + ε), ε > 0, enthält unendlich viele Folgenelemente
Rekursive Approximation von Pi
an , bn : halbe Umfänge der um- bzw. einbeschriebenen (6 · 2n )-Ecke eines Einheitskreises
rekursiv definierte, gegen π = 3.1415926535897932 . . . konvergene Folgen
an+1 =
2an bn
,
an + b n
bn+1 =
p
an+1 bn ,
√
a0 = 2 3 , b0 = 3
Spezielle Grenzwerte von Folgen
an
a = lim an
√
n
1
n→∞
n
nα q n , |q| < 1
0
n−α ln n , α > 0
0
q n /n!
0
n!/nn
0
(1 + 1/n)n
e
(1 − 1/n)n
1/e
51
3.2.2
Reihen
Grenzwert einer Reihe
Konvergenz ⇔ Konvergenz der Partialsummen
s=
∞
X
ak
k=0
⇔
s = lim
n→∞
n
X
ak
k=0
notwendig: limn→∞ an = 0
Geometrische Reihe
1
,
1−q
1 + q + q2 + q3 + · · · =
|q| < 1
Harmonische Reihe
1 1 1
+ + + ··· = ∞
1 2 3
P
−α
, Konvergenz ⇔ α > 1
allgemeiner: ∞
n=1 n
Absolut konvergente Reihen
Konvergenz von
=⇒ Konvergenz von
∞
X
n=0
P∞
n=0
|an |
an , beliebige Umordnung der Summanden möglich
Majorante und Minorante einer Reihe
X
n
|bn | < ∞
umgekehrt: Divergenz von
P
n
=⇒
X
n
|an | < ∞ falls |an | ≤ c|bn |, n ≥ n0
|bn | =⇒ Divergenz von
falls |an | ≥ c|bn | für alle bis auf endlich viele n
P
n
|an |,
Quotientenkriterium
=⇒ absolute Konvergenz von
P
n
an
an+1 an ≤ q ∈ (0, 1),
n > n0
alternativ: limn→∞ |an+1 |/|an | = q ∈ (0, 1)
=⇒ Divergenz von
P
n
an
an+1 an ≥ 1,
52
n > n0
Wurzelkriterium
p
n
|an | ≤ q < 1,
P
=⇒ absolute Konvergenz
an
p
alternativ: limn→∞ n |an | = q < 1
=⇒ Divergenz von
Leibniz-Kriterium
P
p
n
|an | ≥ 1,
an
n > n0
n > n0
(ak ) monotone Nullfolge =⇒ Konvergenz der alternierenden Reihe
∞
X
k=0
Reihenrest: |
P∞
k=n+1
(−1)k ak = a0 − a1 + a2 − a3 ± · · ·
. . . | ≤ |an+1 |
Eulersche Zahl
n
∞
X
1
1
lim 1 +
,
=e=
n→∞
n
n!
n=0
e = 2.71828182845905 . . .
Spezielle Reihen
∞
X
k=0
aq k = a + aq + aq 2 + · · · =
a
,
1−q
∞
X
1 1 1
1
(−1)k−1
= 1 − + − ± · · · = ln 2
k
2 3 4
k=1
∞
X
1
1
1
π2
= 1 + 2 + 2 + ··· =
k2
2
3
6
k=1
∞
X
1
1
1
1
= 1 + + + + ··· = e
k!
1! 2! 3!
k=0
53
|q| < 1
3.2.3
Stetigkeit
Stetigkeit
xn → a
=⇒
f (xn ) → f (a)
⇔
∀ε > 0 ∃δε : |f (x) − f (a)| < ε für |x − a| < δε
Einseitige Stetigkeit
lim f (x) = f − (a),
lim f (x) = f + (a)
x→a−
x→a+
Regeln für stetige Funktionen
f und g stetig =⇒
f ± g,
f /g
(g 6= 0),
f ◦g
stetig
Zwischenwertsatz
Annahme aller Werte zwischen f (a) und f (b) für stetige Funktionen
Satz vom Maximum und Minimum
Existenz von Minimum und Maximum für stetige Funktionen auf einem endlichen abgeschlossenen Intervall
Gleichmäßige Stetigkeit
∀ε > 0 ∃δε : |f (x) − f (a)| < ε für |x − a| < ε
(δε unabhängig von a)
54
3.3
3.3.1
Differentiation
Grundbegriffe
Ableitung
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f 0 (a) = lim
alternative Schreibweisen: f 0 (x) = dy/dx = (d/dx)f (x)
Tangente: y = f (a) + f 0 (a)(x − a)
Linearität der Ableitung
(rf )0 = rf 0
(f ± g)0 = f 0 ± g 0
(r ∈ R),
Ableitungen von Grundfunktionen
f (x)
f 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
c
0
xr , r 6= 0
rxr−1
ex
ex
ln |x|
1
x
sin x
cos x
arcsin x
1
√
1 − x2
cos x
− sin x
arccos x
1
−√
1 − x2
tan x
tan2 x + 1
arctan x
1
1 + x2
cot x
−
1
sin2 x
arccot x
55
−
1
1 + x2
3.3.2
Ableitungsregeln
Produktregel
(f g)0 = f 0 g + f g 0
Quotientenregel
insbesondere: (1/g)0 = −g 0 /g 2
0
f
f 0g − f g0
=
g
g2
Kettenregel
d
f (g(x)) = f 0 (g(x))g 0 (x)
dx
bzw. mit f (y) = z, g(x) = y
dz
dz dy
=
dx
dy dx
Ableitung der Umkehrfunktion
y = f (x), x = f −1 (y) =⇒
(f −1 )0 (y) = f 0 (x)−1
bzw. dx/dy = (dy/dx)−1
Logarithmische Ableitung
f 0 (x) = f (x)
d
ln |f (x)| (f 6= 0)
dx
Differentiation von Funktionen der Form y = g(x)h(x) mit g(x) > 0
56
3.3.3
Anwendungen
Satz von Rolle
f (a) = f (b)
f 0 (c) = 0 für ein c ∈ (a, b)
=⇒
allgemeiner: n Nullstellen von f einschließlich Vielfachheiten
mindestens n − k Nullstellen von f (k)
Mittelwertsatz
f (b) − f (a) = f 0 (t)(b − a) für ein t ∈ (a, b)
Landau-Symbole
f (x) = O(g(x))
⇔
|f (x)| ≤ c|g(x)|
für x → x0
⇔
f (x) = o(g(x))
lim |f (x)|/|g(x)| = 0
x→x0
Fehlerfortpflanzung
absoluter Fehler
|∆y| = |f 0 (x)||∆x| + o(∆x)
relativer Fehler
|∆y|
=
|y|
|x|
|f (x)|
|y|
0
Abschätzung mit Hilfe geeigneter Schranken für f 0
|∆x|
+ o(∆x)
|x|
Regel von l’Hospital
f (a) = 0 = g(a) oder |f (a)| = ∞ = |g(a)| =⇒
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
,
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
falls der rechte Grenzwert existiert (gegebenenfalls im uneigentlichen Sinn)
57
3.3.4
Taylor-Entwicklung
Taylor-Polynom
pn (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + · · · +
f (n) (a)
(x − a)n
n!
interpoliert Ableitungen von f
Restglied
R = f (x) − pn (x) =
f (n+1) (t)
(x − a)n+1
(n + 1)!
für ein t zwischen a und x.
Newton-Verfahren
x`+1 = x` − f (x` )/f 0 (x` )
quadratische Konvergenz gegen Nullstelle x∗ von f
|x`+1 − x∗ | ≤ c |x` − x∗ |2
Taylor-Reihe
f (x) =
∞
X
n=0
cn (x − a)n ,
cn =
Konvergenz in einem Intervall (a − r, a + r) mit
r=
lim |cn |1/n
n→∞
1 (n)
f (a)
n!
−1
Binomialreihe
α
(1 + x) =
∞ X
α
k=0
konvergent für |x| < 1
k
xk = 1 + αx +
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x + ···
2!
3!
Differentiation und Integration von Taylor-Reihen
P
k
f (x) = ∞
k=0 ck (x − a)
∞
X
f (x) =
(k + 1)ck+1 (x − a)k
0
Z
k=0
f (x)dx = c +
∞
X
ck−1
k=1
58
k
(x − a)k
Multiplikation von Taylor-Reihen
mit ck =
Pk
j=0
∞
X
k=0
k
fk (x − a)
!
∞
X
k=0
k
gk (x − a)
!
=
∞
X
k=0
ck (x − a)k
fk−j gj
Division von Taylor-Reihen
Koeffizienten von
q(x) =
∞
X
k=0
k
fk (x − a) /
durch Koeffizientenvergleich aus der Identität
∞
X
k=0
gk (x − a)k ,
g0 6= 0,
(q0 + q1 u + . . .)(g0 + g1 u + . . .) = f0 + f1 u + . . . ,
u=x−a
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion
Berechnung der Taylor-Koeffizienten der Umkehrfunktion g von f mit f 0 (a) 6= 0 im Punkt b = f (a) ⇔
a = g(b) durch Differentiation von
g(f (x)) = x ,
d.h.
g 0 (b) f 0 (a) = 1 → g 0 (b),
g 00 (b) f 0 (a)2 + g 0 (b) f 00 (a) = 0 → g 00 (b),
...
Spezielle Taylor-Reihen
ex =
∞
X
xk
k=0
ln(1 + x) =
∞
X
k!
=1+x+
(−1)k+1
k=1
sin x =
cos x =
arctan x =
∞
X
k=0
∞
X
k=0
∞
X
k=0
x2
+ ···
2!
x∈R
x2 x3
xk
=x−
+
± ···
k
2
3
−1 < x ≤ 1
(−1)k
x2k+1
x3 x5
=x−
+
± ···
(2k + 1)!
3!
5!
x∈R
(−1)k
x2k
x2 x4
=1−
+
± ···
(2k)!
2!
4!
x∈R
(−1)k
x2k+1
x3 x5
=x−
+
± ···
2k + 1
3
5
59
|x| < 1
3.3.5
Funktionsuntersuchung
Extremwert
y
globale Extrema
lokale Extrema
x
D
Extremwerte nur an den Nullstellen der Ableitung, Unstetigkeitsstellen oder Randpunkten
Extremwerttest
f 0 (a) = 0 ,
f 00 (a) > 0
(f 00 (a) < 0)
=⇒ lokales Minimum (Maximum) bei a
allgemeiner: Extremstelle, falls
f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 und f (n) (a) 6= 0 ,
mit n gerade
lokales Maximum (Minimum), falls f (n) (a) < 0 (f (n) (a) > 0)
Wendepunkte
Nullstelle a von f 00 mit Vorzeichenwechsel
hinreichend: f 000 (a) 6= 0
Asymptoten
lineare Funktion p(x) = ax + b mit
f (x) − p(x) → 0 für x → ∞ oder x → −∞
60
Kurvendiskussion
Bestimmung qualitativer Merkmale einer Funktion
• Symmetrien
• Periodizität
• Unstetigkeitsstellen
• Nullstellen (→ Vorzeichen)
• Extrema (→ Monotoniebereiche)
• Wendepunkte (→ Konvexitätsbereiche)
• Polstellen
• Asymptoten
61
3.4
3.4.1
Integration
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Riemann-Integral
Z
b
f (x) dx = lim
|∆|→0
a
Z
b
f∆ = lim
|∆|→0
a
X
f (ξk ) ∆xk
k
mit ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b einer Zerlegung von [a, b], ∆xk = xk − xk−1 , |∆| der maximalen Länge
der Teilintervalle und ξk einem beliebigem Punkt im k-ten Intervall
Eigenschaften des Integrals
Z
• Linearität:
rf = r
Z
f,
• Monotonie:
f ≤ g =⇒
• Additivität:
Z
a
b
f+
Z
Z
Z
f +g =
f≤
Z
c
f=
Z
Z
f+
Z
g
c
f,
insbesondere
a
b
g
Ra
b
f =−
Rb
a
f
Mittelwertsatz der Integralrechnung
g ohne Vorzeichenwechsel =⇒
Z
b
f g = f (c)
Rb
a
b
g
a
a
insbesondere:
Z
für ein c ∈ [a, b]
f = (b − a)f (c)
Stammfunktion
beliebige Integrationskonstante c
Z
f (x) dx = F (x) + c,
F0 = f
Stammfunktionen einiger Grundfunktionen
f (x)
F (x)
xs , s 6= −1 xs+1 /(s + 1)
f (x)
F (x)
1/x
ln |x|
exp(x)
exp(x)
ln(x)
sin x
− cos x
x ln(x) − x
cos x
sin x
sin x cos x
√
1/ 1 − x2
sin2 (x)/2
tan x
1/(1 + x2 )
− ln(cos x)
arctan x
62
arcsin x
Hauptsatz der Integralrechnung
Z
a
b
f (x) dx = [F ]ba = F (b) − F (a),
63
F0 = f
3.4.2
Integrationsregeln
Mypartielle Integration
Z
0
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
Z
f (x)g 0 (x) dx
entsprechende Formel für bestimmte Integrale
Z b
Z b
b
0
f g = [f g]a −
f g0
a
a
kein Randterm für periodische Funktionen mit Periodenlänge (b − a) und wenn eine der beiden Funktionen
an den Intervallendpunkten Null ist
Dirac- und Heaviside-Funktion
Z
δf = f (0)
R
verallgemeinerte Ableitung der Heavisideschen Sprungfunktion


1, für x > 0
0
δ = H , H(x) =

0, sonst
Variablensubstitution
Substitution y = g(x)
bzw.
Z
Z
a
für bestimmte Integrale
b
0
f (g(x))g (x) dx = F (y) + c =
0
Z
f (y) dy
f (g(x)) g (x) dx = F (g(b)) − F (g(a)) =
| {z }
dy/dx
64
Z
g(b)
g(a)
f (y) dy
3.4.3
Rationale Integranden
Elementare rationale Integranden
Z
1
dx
=
ln |x + b/a| + c
ax + b
a
Z
dx
x−a
1
arctan
+c
=
(x − a)2 + b2
b
b
Z
(x − a)dx
1
ln((x − a)2 + b2 ) + c
=
2
2
(x − a) + b
2
Elementare rationale Integranden mit mehrfachen Polstellen
Z
1
(x − a)−n−1 dx = − (x − a)−n + c
n
rekursive Berechnung bei quadratischen Faktoren q(x) = (x − a)2 + b2 für mehrfache komplex konjugierte
Polstellen
Z
c
d(x − a)
d(2n − 1)
c(x − a) + d
dx = −
+ 2
+
n+1
n
n
q(x)
2n q(x)
2b n q(x)
2b2 n
Mypartialbruchzerlegung
Darstellung als Summe der drei elementaren Grundtypen
axn ,
c
,
(ax + b)n
65
c(x − a) + d
((x − a)2 + b2 )n
Z
dx
q(x)n
3.4.4
Trigonometrische Integranden
Integration trigonometrischer Polynome
Z X
ck e
|k|≤n
ikx
Z
X ck
eikx ,
dx = c + c0 x +
ik
π
. . . = 2πc0
π
06=|k|≤n
Integration von Polynomen in sin(kx) und cos(kx) mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre
Trigonometrische Substitutionen
Substitutionen für algebraische Integranden
x = a sin t :
dx = a cos t dt
x = a tan t :
dx = a/ cos2 t dt
x = a/ cos t :
dx = a sin t/ cos2 t dt
√
a2 − x2 = a cos t
√
a2 + x2 = a/ cos t
√
x2 − a2 = a tan t
Rationale Funktionen von Sinus und Kosinus
Substitution x = tan(t/2)
Z
r(cos t, sin t) dt =
Z
r
1 − x2
2x
,
2
1 + x 1 + x2
für eine beliebige rationale Funktion r
66
2
dx
1 + x2
3.4.5
Uneigentliche Integrale
Uneigentliches Integral
Singularität bei b (b = ∞ oder unbeschränkter Integrand)
Z
b
f = lim
a
c→b−
Z
c
f
a
Singularität an beiden Grenzen:
Grenzwert muss unabhängig von der Wahl der Folgen c → a+, d → b− sein
hinreichend: absolute Intergrierbarkeit, d. h.
Z
d
c
|f (x)| ≤ const
für alle Teilintervalle [c, d] ⊂ (a, b)
Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale
g absolut integrierbar, |f (x)| ≤ c |g(x)|, a < x < b (Majorante)
=⇒ absolute Integrierbarkeit von f auf [a, b]
Gamma-Funktion
Γ(x) =
Z
∞
tx−1 e−t dt,
0
Funktionalgleichung
x ∈ (0, ∞)
Γ(x + 1) = xΓ(x)
insbesondere Γ(n + 1) = n!
einfache Pole für x = 0, −1, . . .
67