Vorbereitung auf den Hauptschulabschluss Mathematik

Katrin Hiemer/Elisabeth Vogt
Vorbereitung auf den
Hauptschulabschluss
Mathematik
MANZ VERLAG
3051_Titelei.indd 1
27.07.2006 14:24:22
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als
den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des
Verlages. Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine
solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk gestellt werden. Dies gilt auch für
Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.
Manz Verlag
© Klett Lernen und Wissen GmbH, Stuttgart 2006
Alle Rechte vorbehalten
Lektorat: Jürgen Grimm, Braunschweig
Herstellung und Grafiken: PER Medien+Marketing, Braunschweig
Illustrationen: Gerd Bauer, Nürnberg
Umschlagkonzept: KünkelLopka, Heidelberg
Umschlagfoto: Fotostudio Maurer, Bamberg
Druck: Finidr s.r.o., Český Těšín
ISBN 10: 3-7863-3051-4
ISBN 13: 978-3-7863-3051-6
www.manz-verlag.de
3051_Titelei.indd 2
27.07.2006 14:24:22
Tipps zum Training mit diesem Buch
Dieses Buch hilft dir bei der gezielten Vorbereitung auf die Abschlussarbeit im
Fach Mathematik.
Du kannst es aber auch während des letzten Schuljahrs nutzen, um das in der
Schule Gelernte zu festigen, Themen zu wiederholen oder um dich gezielt auf
Klassen­arbeiten bzw. Schulaufgaben vorzubereiten.
Im Kapitel „A Grundrechenarten“ findest du alle wichtigen Rechenregeln von
den natürlichen Zahlen bis zu den Potenzen und Wurzeln. Das Kapitel „B Zuordnungen“ bietet dir eine Fülle von Text- und Sachaufgaben. Die Prozent- und Zinsrechnung wird ausführlich in Kapitel C behandelt. Das Lösen von Gleichungen
kannst du in Kapitel D trainieren. Alle wichtigen Themen der Geometrie findest
du in Kapitel E.
Alle Kapitel sind gleich aufgebaut: Zunächst werden die wichtigen Begriffe erklärt
und Regeln zusammengefasst, dann werden Beispiele vorgestellt. Im Anschluss
folgen Übungsaufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Mit diesen kannst
du deine Fähigkeiten testen bzw. die Inhalte an geeigneten Aufgaben wieder­
holen.
Mithilfe der ausführlichen Lösungen (ab Seite 103) kannst du überprüfen, ob du
die Aufgaben richtig gelöst hast oder auch herausfinden, was du falsch gemacht
hast.
Im Kapitel F (ab Seite 91) findest du zwei Abschlussarbeiten aus verschiedenen
Bundesländern. Mit ihnen kannst du den „Ernstfall“ durchspielen. Alles, was du
dazu wissen musst, ist bei den jeweiligen Arbeiten gesagt. Auch zu diesen
­Arbeiten gibt es sehr ausführliche Lösungen ab Seite 153.
Viel Erfolg und einen guten Abschluss wünschen dir die Autorinnen
und der Verlag.
3051_Vorspann_03-05.indd 3
01.08.2006 10:27:05
Inhalt
A
Grundrechenarten
1
2
3
4
5
B
Der Prozentbegriff36
Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz40
Vermehrter und verminderter Grundwert46
Zinsrechnung
54
Gleichungen
1
2
E
Proportionale Zuordnungen
24
Umgekehrt proportionale Zuordnungen
26
Anwendungen
28
Zusammengesetzte Größen30
Mischungsverhältnisse34
Prozent- und Zinsrechnen
1
2
3
4
D
6
9
11
16
20
Zuordnungen
1
2
3
4
5
C
Grundwissen
Dezimalbrüche (Dezimalzahlen)
Brüche
Rationale Zahlen
Potenzen und Wurzeln
Terme umformen
Rechnen mit Gleichungen
60
62
Geometrie
1
2
3
4
Zeichnen und Konstruieren
Der Satz des Pythagoras
Flächen
Körper
70
75
77
83
3051_Vorspann_03-05.indd 4
01.08.2006 10:27:05
F
Testarbeiten
1
2
Abschlussarbeit Mathematik des Jahres 2005 in Hessen
Qualifizierender Hauptschulabschluss 2005 Bayern
91
97
Lösungen
A
B
C
D
E
F
Grundrechenarten
Zuordnungen
Prozent– und Zinsrechnen
Gleichungen
Geometrie
Testarbeiten
103
109
116
128
135
153
3051_Vorspann_03-05.indd 5
01.08.2006 10:27:05
A Grundrechenarten
A Grundrechenarten
1 Grundwissen
Rechenarten
Addition und Subtraktion
Addieren heißt „zusammenzählen“, „plus“ rechnen oder die „Summe bilden“.
418 + 2 987 = 3 405
+ 2 987
418 Umkehraufgabe 3 405
Summe Ergebnis der Summe
– 2 987
Subtrahieren heißt „abziehen“, „minus“ rechnen oder die „Differenz bilden“.
3 405 – 2 987 = 418
Differenz Ergebnis der Differenz
Multiplikation und Division
Multiplizieren heißt „malnehmen“ oder das „Produkt bilden“.
807 · 74
= 59 718
· 74
807 Umkehraufgabe 59 718
Produkt Ergebnis des Produkts
: 74
Dividieren heißt „geteilt“ rechnen oder den „Quotienten bilden“.
59 718 : 74 = 807
Quotient Ergebnis des Quotienten
Runden und überschlagen
Die Rundungsregel lautet:
Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet.
Die Stelle rechts neben der zu rundenden Zahl entscheidet dies.
Hier im Beispiel wird auf ganze Zahlen gerundet, die erste Stelle
nach dem Komma („Zehntel“) entscheidet das Auf- oder Abrunden.
17,5
0
1
2
3
abrunden
17
17,0
17,1
17,2
17,3
4
5
17,6
6
17,7
17,8
17,9
18
aufrunden
7
8
9
17,4
3051_KapA_06-23.indd 6
01.08.2006 10:29:44
1 Grundwissen
Beispiele
Runde 83 063 auf „Hunderter“.

Die 6 entscheidet das „Aufrunden“ – aus der 0 wird eine 1. Die gerundete Zahl
heißt 83 100.
Runde 173,84 auf eine Stelle nach dem Komma („Zehntel“).

Die 4 entscheidet das „Abrunden“ – die 8 bleibt. Die gerundete Zahl heißt 173,8.
Tipp
Wenn bei Aufgaben nicht angegeben ist, wie du runden sollst, dann runde
­„sinnvoll“, z. B. bei Euro auf zwei Stellen nach dem Komma, denn ein Euro hat
nur 100 Cent.
Der Überschlag bei einer Aufgabe ist sinnvoll, denn er gibt an, wie groß
ein Ergebnis ungefähr ist, d. h. wie viele Stellen das Ergebnis haben muss.
Runde dabei großzügig und verwende Zahlen, mit denen du einfach im Kopf
rechnen kannst. So hast du eine gute Kontrollmöglichkeit.
4 273,72 + 506 ø 4 300 + 500 = 4 800
523,8 – 12,73 ø 520 – 10 = 510
17,397 · 4,91 ø 17 · 5 = 85
923 : 17,55ø 900 : 18 = 50
Beispiele
1.Runde die Zahlen zuerst auf ganze Zahlen, dann auf zwei Stellen nach dem
Komma.
a) 18,7553 b) 124,907 c) 73,195 d) 728,378 e) 8,792 f) 13,048
Aufgaben
2.Wandle in die angegebene Einheit um und runde auf ganze Zahlen.
km
2 486 m
318 Ct 9 642 kg
2,486 km
ø 2 km
t
1
m
98 cm
1
cm
kg
1 559 Ct 4,264 m 2,5902 t
km
t
738 m
4 073 kg
1
ø
1
3.Mach den Überschlag und
a) 4 270,89 + 379,13
d) 2 108,3 – 11,98
g)7 176,4 : 189,83
notiere dein Ergebnis.
b) 973,758 + 128
e)69,58 · 7,09
h) 12 429 : 3 750,76
c) 13,4 – 0,792
f) 121,2 · 0,84
3051_KapA_06-23.indd 7
01.08.2006 10:29:44
A Grundrechenarten
Rechenregeln
Klammerregeln:Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet.
Steht ein Minus vor der Klammer, kannst du die ­Klammer
weglassen, musst aber die Rechenzeichen in der Klammer
umkehren.
Aus + wird –, aus – wird +. Die Rechenzeichen · und : bleiben
unverändert.
Punkt-vor-Strich-Regel:„Punkt“ – Rechnungen (· und :) werden vor
„Strich” – Rechnungen (+ und –) gerechnet.
„Punkt – vor – Strich“ gilt auch in einer Klammer.
Beispiele
9 · (5 + 3) =
9·
8
= 72
(32 – 17) : 3 =
15
:3=5
4 86 – (32 + 59) =
18 : 3 + 24 =
86 – 32 – 59 = 395 4
6 + 24 = 3
Aufgaben
4.Berechne.
a) 356 – 18 ∙ 6
c) 173 + 96 : 8 – 91
e) 36 ∙ (42 + 3) : 9 + 107 252 – (56 – 98) =
252 – 56 + 98 = 294
113 – (17 + 81 : 9)=
113 – (17 +
9 )=
113 – 17 – 9
= 87
b) 17 ∙ 28 + (789 – 469 : 7) ∙ 2
d) 215 + (64 – 56) : 4
f) 2 738 – (563 + 65 ∙ 3) – 47
5. Löse die Textaufgaben. Schreibe zunächst die genaue Form mit Rechen­
zeichen auf.
a) Addiere die Zahlen 713 und 5 109 und subtrahiere die Zahl 812.
b) Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 13 und 7 die Zahl 52.
c) Bilde den Quotienten aus den Zahlen 108 und 12 und addiere dann 33.
d)Multipliziere 15 mit einer unbekannten Zahl (x); das Ergebnis des
Produkts ist 195.
e)Dividiere die Differenz aus den Zahlen 513 und 88 durch die Summe
der Zahlen 16 und 9.
f)Bilde das Produkt der Zahlen 18 und 6; subtrahiere davon
den Quotienten aus diesen Zahlen.
3051_KapA_06-23.indd 8
01.08.2006 10:29:44
2 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen)
2 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen)
Du findest beide Bezeichnungen. Die Bezeichnung „Brüche“ kommt daher,
dass nach dem Komma „Zehntel“, „Hundertstel“, etc. folgen.
Addieren und Subtrahieren
Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren musst du Komma unter Komma
schreiben. Schreibe jede Ziffer in ein Kästchen, dann machst du keinen Fehler.
Die fehlenden Dezimalstellen nach dem Komma kannst du mit Nullen auffüllen, dann geht das Rechnen leichter.
Vergiss das Komma nicht, wenn du mit dem Taschenrechner rechnest.
53,07 + 714,851 + 0,3
425,8 – 13,92 – 7,001
53,070
714,851
+   0,300
768,221
425,800
oder:
–   13,920
–   7,001
404,879
6.Schreibe richtig untereinander und berechne.
a)672,89 + 37,9 + 0,24 b) 11 – 7,2 + 328,09
d) 468,32 – 52,87
e) 0,798 – 0,45
f) 59,14 – 22,68 – 3,044 g) 12 344,07 – 0,008
Beispiele
13,920
425,800
+  7,001 –   20,921
20,921
404,879
c) 156,02 + 3,718 – 0,6
Aufgabe
Multiplizieren und Dividieren
Beim Multiplizieren rechnest du zunächst wie mit ganzen Zahlen. Dann musst
du bei beiden Dezimalbrüchen die Stellen nach den Kommas zusammenzählen
und vom Ergebnis abstreichen.
Beispiel
16,37 · 18,2
163 700
130 960
3 274 297,934
Beim Dividieren eines Dezimalbruchs durch eine ganze Zahl rechnest du wie
mit ganzen Zahlen. Wenn du das Komma beim Rechnen „über­schreitest“,
musst du im Ergebnis das Komma setzen.
Sind beide Zahlen Dezimalbrüche, werden sie so lange „erweitert“, bis du
durch eine ganze Zahl teilen kannst. Das Komma „wandert“ nach rechts.
3051_KapA_06-23.indd 9
01.08.2006 10:29:44
A Grundrechenarten
Tipp
Wenn die erste Dezimalzahl weniger Kommastellen als die zweite hat,
musst du Nullen anhängen (z. B. 23,1 : 4,72 = 2 310 : 472).
Beispiele
17,832 : 4 = 4,4587,137 : 2,08 =713,7 : 208 = 3,43125 ø 3,43
624
16
  18  897
  16  832
   23 650
   20  624
    32   260
    32   208
     0    520
    416
    1040
    1040
       0
Aufgaben
7. Multipliziere die Dezimalbrüche.
a) 47,3 · 0,25
b) 519,7 · 12,3
d) 22,931 · 0,17 e) 1,007 · 6,4
c) 17,03 · 0,9
f) 0,89 · 0,7
8. Berechne; die Aufgaben a) bis d) kannst du vielleicht auch im Kopf schaffen.
a) 1,8 : 2
b) 14,4 : 12
c) 5,6 : 7
d) 160,88 : 4
e) 1 253,96 : 16 f) 702,6 : 8
g) 2,306 : 5
h) 9 641,85 : 15
9. Dividiere die Zahlen. Runde, wenn nötig, auf zwei Stellen nach dem Komma.
a) 1,28 : 0,4
b) 39,2 : 3,5
c) 377 : 1,45
d) 10,508 : 0,37
e) 13,957 : 2,94 f) 2 504,5 : 73,47 g)78,32 : 0,6 h) 0,9 : 12,9
10. Löse die Textaufgaben. Setze Klammern, wo es notwendig ist.
a)Subtrahiere vom Quotienten aus den Zahlen 915 und 18,3 die Zahl 23,24.
b)Addiere zum Produkt aus den Zahlen 17,9 und 4,83 die Differenz aus den
Zahlen 18,3 und 9,02.
c) Dividiere die Zahl 225 durch 12 und subtrahiere davon 17,3.
d) Multipliziere die Zahl 24 mit der Summe aus den Zahlen 29,87 und 18,9.
e)Subtrahiere von der Summe aus den Zahlen 408,91 und 58,13 die Diffe­
renz aus diesen Zahlen.
f)Bilde die Summe aus der Zahl 713 und der Differenz aus den Zahlen
183,3 und 17,08.
11. Beachte die Rechenregeln und berechne.
a)627,68 : 4 – 2 · 17,3
b) 43 873,2 – (2 156,03 + 17,17)
c) 0,18 · 6 – (0,38 + 0,07)
d) (12,7 + 3,78 : 9) – 8,35
10
3051_KapA_06-23.indd 10
01.08.2006 10:29:45