Polynome und Polynomgleichungen

Polynome und Polynomgleichungen
Gymnasium Immensee
Vertiefungskurs Mathematik
Bettina Bieri
24. Juli 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Polynomgleichungen
1.1 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Anzahl Nullstellen eines Polynoms
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2 Lösungsmethoden für spezielle Polynomgleichungen
2.1 Lösungsverfahren mit Polynomdivision . . . . . . . .
2.1.1 Faktorisierung von Polynomen . . . . . . . . .
2.1.2 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Lösungsverfahren mit Polynomdivision . . . .
2.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kapitel 1
Polynomgleichungen
1.1
Polynomfunktionen
Polynome sind Funktionen, die schöne Eigenschaften haben: Sie sind z.B.
stetig, beliebig oft differenzierbar und einfach integrierbar. In der Numerik
gibt es deshalb verschiedene Methoden, wie man kompliziertere Funktionen
durch Poynomfunktionen annähern kann.
1.1.1
Definition
Allgemein ist eine Polynomfunktion gegeben durch
f (x) =
Pn
i=0
ai x i
x∈R
Dabei sind an 6= 0, an−1 , an−2 , ..., a1 , a0 ∈ R die Koeffizienten des Polynoms.
Die Zahl n, wird als Grad des Polynoms bezeichnet. Der Grad des Polynoms
ist also die grösste im Polynom vorkommende Potenz der Variablen.
1.1.2
Beispiel
Durch die Vorschrift f (x) = 12x5 + 5x3 − 3x2 − x + 44 wird ein Polynom vom
Grad 5 mit den Koeffizienten a5 = 12, a4 = 0, a3 = 5, a2 = −3, a1 = −1,
a0 = 44 definiert.
1
1.2
Polynomgleichungen
Bei der Lösung von Polynomgleichungen werden die Nullstellen von Polynomfunktionen gesucht.
1.2.1
Definition
Eine Gleichung f (x) = 0, deren linke Seite ein Polynom f (x) =
vom Grad n ist, heisst Polynomgleichung vom Grad n.
Pn
i=0
ai xi
Der Definitionsbereich einer Polynomgleichung ist D = R.
1.2.2
Anzahl Nullstellen eines Polynoms
Ein Polynom f vom Grad n hat nöchstens n Nullstellen. Dabei ist bei einem
Polynom mit ungeradem Grad mindestens eine Nullstelle reell.
Polynome mit geradem Grad können auch keine reelle Nullstelle haben, wie
das Beispiel der Gleichung x2 + 1 = 0 zeigt.
2
Kapitel 2
Lösungsmethoden für spezielle
Polynomgleichungen
Bisher habt ihr zwei spezielle Typen von Polynomgleichungen kennengelernt:
1. Lineare Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 1:
a1 x + a0 = 0
2. Quadratische Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 2:
a2 x2 + a1 x + a0 = 0.
Für diese beiden Gleichungstypen gibt es Lösungsverfahren, die immer zum
Ziel führen.
Für Polynomgleichungen vom Grad 3 und 4 gibt es auch noch solche Verfahren, die aber sehr aufwändig sind und daher hier nicht behandelt werden.
Für Polynomgleichungen, die Grad 5 oder höher haben, gibt es keine allgemeingültigen Lösungsverfahren mehr. Eine direkte Lösung ist nur noch in
speziellen Fällen möglich. Für Polynome mit verschiedenen Struktureigenschaften sind verschiedene Lösungsverfahren möglich.
Das folgende Verfahren zeigt, wie es möglich ist - mit etwas Glück und Geschick - Polynomgleichungen vom Grad 3 und hher zu lösen.
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2.1
Lösungsverfahren mit Polynomdivision
2.1.1
Faktorisierung von Polynomen
Es ist bekannt, dass ein Polynom faktorisiert werden kann.
Beispiel
Es gilt:
x3 + 4x2 + x − 6 = (x − 1)(x2 + 5x + 6) = (x − 1)(x + 2)(x + 3)
Faktorisierung allgemein
Allgemein können wir also sagen:
an xn +an−1 xn−1 +...+a2 x2 +a1 x+a0 = (x−x1 )(bn−1 xn−1 +...+b2 x2 +b1 x+b0 )
= (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )...(x − xn )
Es sollte also möglich sein, einzelne Nullstellen abzuspalten und so den Grad
des Polynoms und damit auch den Lösungsaufwand zu verkleinern.
Sei also pn (x) ein Polynom vom Grad n, dann gilt:
pn (x) = (x − x1 ) · pn−1 (x), bzw.
pn (x) : (x − x1 ) = pn−1 (x).
Bemerkung
Die Zahlen x1 , x2 , ...xn sind die Nullstellen des Polynoms. Nicht jedes Polynom hat n reelle Nullstellen. Allerdings hat jedes Polynom vom Grad n, n
komplexe Nullstellen. Da uns hier aber die Zeit fehlt, komplexe Zahlen zu
behandeln, werden wir im Folgenden immer Polynome anschauen. Welche so
viele reelle Nullstellen haben, wie wir für die Aufgabenstellung brauchen.
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2.1.2
Polynomdivision
Um pn (x) : (x − x1 ) berechnen zu können, brauchen wir die Polynomdivision.
Diese funktionniert ähnlich, wie das schriftliche Dividieren, welches ihr in der
Primarschule für ganze Zahlen gelernt habt.
Beispiel 1
x3 + 4x2 + x − 6 : x − 1 = x2 + 5x + 6
− x3 + x2
5x2 + x
− 5x2 + 5x
6x − 6
− 6x + 6
0
Beispiel 2
x3 + 5x2 + 9x + 5 : x + 1 = x2 + 4x + 5
− x3 − x2
4x2 + 9x
− 4x2 − 4x
5x + 5
− 5x − 5
0
Beispiel 3
Auch Polynomdivisionen, die nicht aufgehen, können durchgeführt werden:
1
x3
− x + 1 : x − 1 = x2 + x +
x−1
− x3 + x2
x2 − x
− x2 + x
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2.1.3
Lösungsverfahren mit Polynomdivision
Zur Lösung der Polynomgleichung pn (x) = 0 ist folgendes Verfahren anwendbar:
1. Auf heuristische Weise (z.B. durch Raten) wird eine Lösung x1 der
Polynomgleichung pn (x) = 0bestimmt.
2. Durch Polynomdivision wird das Polynom pn−1 (x) =
pn (x)
x−x1
berechnet.
Die Lösungsmenge der Polynomgleichung pn (x) = 0 besteht aus x1 und aus
den Lösungen der Polynomgleichung pn−1 (x) = 0, die um einen Grad kleiner
ist, als die ursprüngliche Gleichung. Das Problem wird also vereinfacht.
2.1.4
Beispiele
Beispiel 1
Die Gleichung x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 hat x1 = 1 als Lösung und es gilt:
x3 − 6x2 + 11x − 6 : x − 1 = x2 − 5x + 6
− x3 + x2
− 5x2 + 11x
5x2 − 5x
6x − 6
− 6x + 6
0
Die Lösung der Gleichung x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 sind also neben x1 = 1 alle
x ∈ R, welche Lösungen der quadratischen Gleichung x2 − 5x + 6 = 0 sind.
Diese Lösungen sind nun einfach mit Hilfe der Lösungsformel oder durch faktorisieren zu finden:
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind also x2 = 2 und x3 = 3.
Wegen: x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
sind die Lösungen der obigen kubischen Gleichung x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
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Bemerkung
Jedes Polynom lässt sich in ein Produkt aus Polynomen vom Grad eins und
zwei zerlegen, wobei die quadratsichen Polynome nicht immer reelle Nullstellen haben.
Beispiel 2
Die Gleichung x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 = 0 hat x1 = 1 als Lösung und es gilt:
x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 : x − 1 = x3 + 6x2 + 14x + 15
− x4 + x3
6x3 + 8x2
− 6x3 + 6x2
14x2 + x
− 14x2 + 14x
15x − 15
− 15x + 15
0
Damit sind noch die Lösungen der Gleichung x3 + 6x2 + 14x + 15 = 0 zu
finden. Durch Ausprobieren ergibt sich x2 = −3 als Lösung. Daher folgt:
x3 + 6x2 + 14x + 15 : x + 3 = x2 + 3x + 5
− x3 − 3x2
3x2 + 14x
− 3x2 − 9x
5x + 15
− 5x − 15
0
Die Gleichung x2 + 3x + 5 = 0 hat keine reelle Lösung. Daher gilt:
x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 = (x − 1)(x + 3)(x2 + 3x + 5) und die Lösungen der
obigen Gleichung sind x1 = 1 und x2 = −3.
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2.2
Aufgaben
Löse die folgenden Polynomgleichungen.
a) x2 − 1 = 0
b) t3 − 5t2 + 3t + 9 = 0
c) u3 − 3u2 − 91 u +
1
3
=0
d) x3 − 2x = −1
e) z 3 −
13 2
z
6
+ 32 z −
1
3
=0
f) x4 − x3 − 34x2 − 56x = 0
g) y 6 + 23 y 5 − 5y 4 + 4y 2 = 6y 3
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Literaturverzeichnis
E. Cramer, J. Nes̆lehová, Vorkurs Mathematik, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2009
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