Ubungsblatt 6 zur Vorlesung Analysis II - Ruhr

Übungsblatt 6 zur Vorlesung Analysis II
Prof. Dr. Holger Dette
Axel Bücher
SS 2016
Abgabe bis Freitag, den 27.05.16 um 10:00 in den Zettelkästen auf NA 02.
Hinweis: die Aufgaben 1–3 sind Bonusaufgaben für die Pfingstferien. Bitte geben Sie Ihre Lösungen der
Aufgaben 5,6,7 in den Kästen mit den Nummern 1,2,3 ab.
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Man bestimme diejenigen α ∈ R, für die das uneigentliche Integral
Z ∞
xα
dx
x(1 + x)
0
konvergiert.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
P∞
1
k=1 ks
Nach dem Integralvergleichskriterium konvergiert die Reihe ζ(s) =
für alle s > 1 (das ist
nicht zu zeigen). Die so definierte Funktion ζ : (1, ∞) → R heißt Riemannsche Zeta-Funktion. Ziel der
Aufgaben 2, 3 und 7 ist es, den Wert der Reihe für gerade natürliche Zahlen explizit zu berechnen.
Man betrachte dazu zunächst die Funktion f : R → R, die definiert ist durch
(
x
für x 6= 0,
x
f (x) = e −1
1
für x = 0.
Man zeige:
a) f läßt sich um x0 = 0 in eine Potenzreihe entwickeln.
P
Bn n
b) Schreibt man f (x) = ∞
n=0 n! x (die so definierten Zahlen B0 , B1 , . . . heißen Bernoulli-Zahlen),
so gilt für n ≥ 1:
n X
n+1
Bj = 0.
j
j=0
Hinweis: Man schreibe das Produkt f (x)(ex − 1) auf zwei Weisen als Potenzreihe und nutze den
Identitätssatz für Potenzreihen.
c) Es gilt B0 = 1, B1 = − 12 und B2k+1 = 0 für alle k ≥ 1.
Hinweis: Man untersuche die Funktion g(x) = f (x) + x/2 auf Symmetrie.
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Es seien Bn die Bernoulli-Zahlen aus Aufgabe 2. Das Bernoulli-Polynom vom Grad n ist definiert als
Pn (x) =
n X
n
k=0
k
Bk xn−k .
Man zeige mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 2:
a) Pn (1) = Bn für alle n ≥ 2.
Rx
b) (n + 1) 0 Pn (t) dt = Pn+1 (x) − Bn+1 für alle n ≥ 1.
R1
c) 0 Pn (t) dt = 0 für alle n ≥ 1.
d) Man berechne explizit das Polynom P2 .
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Man zeige Hilfssatz 16.2 der Vorlesung:
Z π
sin(nx) cos(mx) dx = 0
(i)
∀n, m ∈ N0 ;
−π
(
0
cos(nx) cos(mx) dx =
sin(nx) sin(mx) dx =
π
−π
−π
Z
(ii)
π
π
Z
n, m ∈ N0 , n 6= m,
n = m ≥ 1.
Aufgabe 5.
(4 Punkte)
Man berechne die Fourierreihe der Funktion f : R → R, f (x) = | sin(x)| und zeige, dass sie gleichmäßig
gegen f konvergiert.
Aufgabe 6.
(4 Punkte)
Es sei t ∈ R kein ganzzahliges Vielfaches von 2π. Man zeige, dass für alle n ∈ N:
n
X
sin (n + 12 )t
1
− .
cos(kt) =
t
2
2 sin 2
k=1
Hinweis: Vollständige Induktion und Additionstheoreme.
Aufgabe 7.
(4 Punkte)
Pn sei das Bernoulli-Polynom aus Aufgabe 3. Man zeige:
a) Für alle n ≥ 2 und alle x ∈ [0, 1] gilt:
∞
Pn (x) = 2
Pn (x) = 2
X cos(k2πx)
n!
1+n/2
(−1)
(2π)n
kn
k=1
∞
X
(1+n)/2
n!
(−1)
(2π)n
k=1
sin(k2πx)
kn
(falls n gerade),
(falls n ungerade).
Hinweis: Vollständige Induktion. Für den Induktionsanfang n = 2 lässt sich Beispiel 16.4 verwenden.
P
1
b) Es sei ζ : (1, ∞) → R, s 7→ ζ(s) = ∞
k=1 ks die Riemannsche Zeta-Funktion. Man drücke mit
Hilfe von Aufgabe 2 und 3 den Wert der Reihe für gerade natürliche Zahlen s = 2n durch die
Bernoulli-Zahlen aus und berechne mit Hilfe von Aufgabe 2 und 3 explizit ζ(2) und ζ(4).
B Hinweis: Die Zettel können in Gruppen von bis zu drei Studenten abgegeben werden. Verwenden Sie
für jede Aufgabe ein eigenes Blatt und tackern ggf. mehrseitige Lösungen einer einzelnen Aufgabe zusammen. Notieren Sie außerdem auf jedem Zettel die Namen und Matrikelnummern aller Beteiligten, sowie die
Nummer der Übungsgruppe. Dort erfolgt dann die Rückgabe der Zettel.