Wirtschaftsmathematik - für International Management (BA)

Wirtschaftsmathematik
für International Management (BA)
Wintersemester 2012/13
In welchem Studiengang/Semester sind Sie?
A: IM, 1. Sem.
B: BW, 1. Sem.
C: IM, 3. Sem.
D: IM, höheres Sem.
E: was anderes
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Logarithmen
Mathematik
Stefan Etschberger
Wie löst man die Gleichung ax = b nach x auf?
(dabei soll gelten a, b > 0 und a 6= 1)
Neues Symbol: Der Logarithmus von b zur Basis a:
ax = b
⇔
x = loga b
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
Beobachtungen:
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
loga a = 1
loga 1 = 0
loga (an ) = n
Rechenregeln:
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
loga (c · d) = loga c + loga d
c
loga = loga c − loga d
d
loga bn = n · loga b
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
22
Ich habe Interesse an
A: einem zus. Tutorium
für Übungsaufgaben
B: einem zus. Tutorium
für basics
C. beidem
D: nichts Zusätzlichem,
alles ist super so
Logarithmen
Mathematik
Stefan Etschberger
Spezielle Logarithmen:
log2 x = ld x
Logarithmus dualis
log10 x = log x
loge x = ln x
Dekadischer Logarithmus
Logarithmus naturalis
1. Grundlegende
Bausteine
Umrechnung von Basen
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
loga b =
logc b
logc a
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
Beispiel
Nach wieviel Jahren verdoppelt sich ein Anfangskapital K mit einem
jährlichen Zins von 5%?
Lösung:
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
2K = K · (1 + 5%)n = K · 1,05n
n
⇔
1,05 = 2
⇔
n = log1,05 2 =
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
ln 2
≈ 14,2
ln 1,05
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
23
Mathematik: Gliederung
1
Grundlegende Bausteine
2
Grundlegende Werkzeuge
3
Lineare Algebra
4
Lineare Programme
5
Folgen und Reihen
6
Finanzmathematik
7
Reelle Funktionen
8
Differenzieren 1
9
Differenzieren 2
10
Integration
2
Grundlegende Werkzeuge
Notation von Summen
Binomische Formel
Doppelsummen
Grundbegriffe der Logik
Grundlegendes über Mengen
Summenzeichen
Mathematik
Stefan Etschberger
Oft sinnvoll: Abkürzen
P von längeren Summen durch das
Summenzeichen
(Großes griechisches Sigma)
Beispiel: Summe von 6 durchnumerierten Zahlen:
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 =
6
X
1. Grundlegende
Bausteine
Ni
i=1
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
Sprechweise: „Summe von i gleich 1 bis 6 über Ni “
Obere und untere Summationsgrenze kann variieren, z.B.
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Lineare Algebra
q
X
4. Lineare Programme
ai = ap + ap+1 + . . . + aq
i=p
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
Auch konkrete Berechnungsvorschriften sind möglich, z.B.
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
8
X
10. Integration
i2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82
i=3
25
Summenzeichen
Mathematik
Stefan Etschberger
Rechenregeln für das Summenzeichen
n
X
i=1
(ai + bi ) =
n
X
i=1
n
X
ai +
i=1
n
X
c · ai = c
n
X
Additivität
bi
i=1
Homogenität
ai
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
i=1
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
Damit leicht zu zeigen (Setze µx =
n
X
i=1
n
X
2.5. Grundlegendes über
Mengen
n
P
ai ):
i=1
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
(ai − µx ) = 0
2
(ai − µx ) =
i=1
1
n
7. Reelle Funktionen
n
X
i=1
a2i
!
8. Differenzieren 1
− n · µ2x
9. Differenzieren 2
10. Integration
26
Produktzeichen
Mathematik
Stefan Etschberger
Analog zum Summenzeichen:
Q
Das Produktzeichen
n
Y
i=1
ai = a1 · a2 · . . . · an ·
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
Zum Beispiel:
2.5. Grundlegendes über
Mengen
2
Y
x + (−1)
i=1
Spezielle Abkürzung:
i
3. Lineare Algebra
= (x − 1)(x + 1)
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
n
Y
i=1
9. Differenzieren 2
i = 1 · 2 · . . . · n = n!
„n Fakultät“
10. Integration
27
Binomialkoeffizient
Mathematik
Stefan Etschberger
Man definiert den Binomialkoeffizienten als:
m
Y
m
=
k
i
i=(m−k+1)
k
Y
=
j
m!
k! · (m − k)!
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
j=1
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
Wobei 0! = 1 gesetzt wird. Also:
Beispiel:
Rechenregeln:
m
m
=
k
m−k
m
0
=1
5
5·4
=
= 10
2
1·2
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
und
m+1
m
m
=
+
k+1
k
k+1
9. Differenzieren 2
10. Integration
28
Binomische Formel
Mathematik
Stefan Etschberger
Newtons binomische Formel
m m
m m−1
a +
a
b + ···
0
1
m
m m
+
abm−1 +
b
m−1
m
(a + b)m =
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
Kurzform:
3. Lineare Algebra
(a + b)m
m X
m m−k k
=
a
b
k
k=0
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
6. Finanzmathematik
7. Reelle Funktionen
8. Differenzieren 1
Zum Beispiel:
9. Differenzieren 2
10. Integration
(x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4
29
Doppelsummen
Mathematik
Stefan Etschberger
Beispielsituation: Daten in Tabellenform in n Spalten und m
Zeilen
Einzelne Einträge: aij mit i ∈ 1, . . . , m und j ∈ 1, . . . , n
Summe über alle Zahlen mit Doppelsummen:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
m
X
i=1
ai1 +
m
X
ai2 + . . . +
i=1
m
X
ain =
i=1
n
m
X
X
j=1
i=1
aij
!
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Lineare Algebra
4. Lineare Programme
5. Folgen und Reihen
Es gilt:
6. Finanzmathematik
m X
n
X
i=1 j=1
aij =
n X
m
X
j=1 i=1
7. Reelle Funktionen
aij
8. Differenzieren 1
9. Differenzieren 2
10. Integration
30