PsDoc, Job 23

FACHHOCHSCHULE OSNABRÜCK
- Fachbereich Wirtschaft Prof. Dr. W. Kiel
Osnabrück, den 23.06.94
Klausur im Fach MATHEMATIK (EB) - SS 1994
Bearbeitungszeit:
Zulässige Hilfsmittel:
120 Minuten
Taschenrechner
Besondere Hinweise zur vorliegenden Klausur:
Es sind insgesamt 7 Aufgaben zu lösen und dabei maximal 100 Punkte (die Punkteaufteilung ist vorläufig) zu erzielen:
-
Im Aufgabenblock A. (Finanzmathematik) soll zwischen Aufgabe A.1a. und Aufgabe A.1b. ausgewählt werden, d. h. es sind aus der Finanzmathematik genau zwei Aufgaben zu bearbeiten.
-
Im Aufgabenblock B. (Analysis) sind alle 4 Aufgaben zu bearbeiten.
-
Im Aufgabenblock C. (Lineare Algebra) soll zwischen Aufgabe C.1a. und Aufgabe C.1b. ausgewählt werden, d.h. es ist genau 1 Aufgabe aus der Linearen Algebra zu bearbeiten.
-
Es werden nur 7 Lösungen akzeptiert. Die einzelnen Lösungen müssen eindeutig erkennbar
sein (kein Probieren - jeweils nur eine Lösung).
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A. FINANZMATHEMATIK
Aufgabe A.1a. (8 Punkte)
Ein Kapital von 150 000,-- DM sei vom 1.1.94 an zinseszinslich zu 8 % p. a. angelegt. Welcher konstante Betrag
darf jeweils zu Jahresbeginn entnommen werden, wenn am 1.1.99 noch genau 50 000,-- DM auf diesem Konto sein
sollen ?
Aufgabe A.1b. (8 Punkte)
Ein Kapital Ko soll vom 1.1.95 an zinseszinslich zu 8 % p. a. angelegt werden. Ab dem 1.1.2005 soll daraus für 10
Jahre eine jährliche vorschüssige Rente von 12 000,-- DM gezahlt werden (Zinsannahme ab dem 1.1.2005: 5 Prozent p. a.). Wie hoch muß Ko am 1.1.95 sein, um dies unter den gegebenen Annahmen zu gewährleisten ?
Aufgabe A.2. (20 Punkte)
Eine Schuld über 150 000,-- DM soll ab dem 1.1.95 annuitätisch mit 2 % zuzüglich ersparter Zinsen getilgt werden. Die Verzinsung soll zinseszinslich für die Jahre 1995 bis einschließlich 1999 zu 8 % p. a. erfolgen; ab dem
1.1.2000 seien 5 % vereinbart.
a.
Wie lange wird die Laufzeit der gesamten Annuitätentilgung sein ?
b.
Wie hoch ist die Restschuld zu Beginn des letzten Jahres und wie kann diese im Rahmen dieses
Tilgungsprozesses beglichen werden ?
2
B. ANALYSIS
Aufgabe B.1. (17 Punkte)
Für ein bestimmtes Produkt sei die folgende Kostenfunktion gegeben:
K = f ( x ) = x 2 + 200x + 1 440 000
.
Das Produkt werde zu 3 200,-- DM pro Stück abgesetzt.
a.
Bestimmen Sie die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze.
b.
Wieviel Stück des Produkts müssen innerhalb einer bestimmten Periode abgesetzt werden, wenn ein
maximaler Gewinn erzielt werden soll ?
c.
Wieviel Stück des Produkts müssen innerhalb einer bestimmten Periode abgesetzt werden, wenn die
Stückkosten minimiert werden sollen ?
Aufgabe B.2. (12 Punkte)
Für ein bestimmtes Gut gelte die folgende Nachfragefunktion:
x = f ( p) =
1
ln p
für
p >1 .
a.
Bestimmen Sie allgemein die Elastizität der Nachfrage bezüglich des Preises.
b.
Bestimmen Sie die Elastizität der Nachfrage bezüglich des Preises für p = 2,-- DM. Ist dieser Wert als
elastisch, fließend oder unelastisch zu bezeichnen ?
c.
Wie verändert sich die Nachfrage (ungefähr), wenn der Preis von p = 2,-- DM um 2 % steigt ?
Aufgabe B.3. (17 Punkte)
Für einen Einprodukt-Monopolisten gehe eine lineare Grenzumsatzfunktion durch die folgenden Punkte:
P1 ( x1 = 5 ; U'1 = 100 )
und
P2 ( x2 = 8 ; U'2 = 40 )
.
a.
Bestimmen Sie die Grenzumsatzfunktion, die Umsatzfunktion und die zur Umsatzfunktion gehörige PreisAbsatz-Funktion.
b.
Bei welchem Preis wird der Umsatz des Monopolisten maximal ?
c.
Der Monopolist produziert mit der Kostenfunktion
1
K = f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 29 x + 100
3
.
Bei welchem Preis kann der Monopolist seinen Gewinn maximieren ?
3
Aufgabe B.4. (14 Punkte)
Für ein bestimmtes Gut laute die Angebotsfunktion
x = f ( p) = p −1
für
p≥4
,
für
4≤ p≤8
.
und die Nachfragefunktion
x = f ( p) =
35
p +1
a.
Bestimmen Sie den Marktpreis, die dabei umgesetzte Menge und den zugehörigen Umsatz.
b.
Berechnen Sie die Konsumenten- und die Produzentenrente.
C. LINEARE ALGEBRA
Aufgabe C.1a. (12 Punkte)
Das folgende Kreislaufschema beschreibe den Leistungsaustausch für einen Betrieb mit zwei Kostenstellen:
200 ME
K.St. 1
200 ME
400 ME
K.St. 2
200 ME
Endnachfrage
a.
Erstellen Sie aus dem Kreislaufschema eine Leistungsaustausch-Tabelle.
b.
Bei der Kostenstelle 1 fallen 200 GE als Primärkosten an; für Kostenstelle 2 sind dies 600 GE. Wie lauten
die Bilanzgleichungen für die zwei Kostenstellen ?
c.
Bestimmen Sie die internen Verrechnungspreise p1 und p2 , indem Sie die Bilanzgleichungen zuerst in
ein lineares Gleichungssystem umschreiben, und dieses mit dem Gauß-Algorithmus auflösen.
Aufgabe C.1b. (12 Punkte)
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus auf:
(1)
x1 − x2 + x3 = 2
(2)
− x1 + 2 x2 − x3 = 0
(3)
x1 − x2 − x3 = 0
4
Notwendige Formeln zur Lösung der Aufgaben des Bereichs A.
K n = K0 ⋅ q n
bzw.
Rn = R0 ⋅ q n
qn − 1
K n = K 0 ⋅ q − rn ⋅
q −1
bzw.
qn −1
K n = K0 ⋅ q − A ⋅
q −1
qn −1
q −1
bzw.
Rn = rv ⋅ q ⋅
n
Rn = rn ⋅
n
qn −1
q −1