Klausur Lineare Algebra und analytische Geometrie I 29.3.2010

Klausur
Lineare Algebra und analytische Geometrie I
29.3.2010
Aufgabe 6 (6 Punkte)
Klausur
Lineare Algebra und analytische Geometrie I
Name:
Matrikelnr.:
29.3.2010
Fach:
Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Falsche Kreuze geben Punktabzug.
wahr
Aufgabe
falsch
1
2
3
4
5
6
7
8
Summe
Punkte
A ∈ Mn (R) hat Eigenwert 0 ⇐⇒ rg(A) < n
A ∈ Mn (R) diagonalisierbar =⇒ A invertierbar
Sei A ∈ Mn (R) und b ∈ Rn . Aus Ax = b nicht lösbar folgt det(A) = 0.
f : Rn → Rn sei injektiv und linear. Dann ist f bijektiv.
t
Sei A, B ∈ Mn (C). Dann gilt det(B AB) = det(A).
f ∈ EndR (Rn ) habe n verschiedene Eigenwerte. Dann besitzt Rn eine
Basis aus Eigenvektoren von f .
Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise:
• Bearbeitungszeit: 120 Minuten
• Erlaubte Hilfsmittel: keine
• Bei den Aufgaben 1, 2 und 3 werden nur die Ergebnisse gewertet. Bitte bearbeiten Sie die
Aufgaben 7 und 8 auf einem gesonderten Blatt.
• Viel Erfolg!
Aufgabe 7 (6 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass die Menge der orthogonalen n × n-Matrizen über R eine Gruppe bilden.
(b) Zeigen Sie, dass det : On (R) → R r {0} ein Gruppenhomomorphismus ist. Bestimmen Sie sein
Bild.
Aufgabe 8 (9 Punkte)
Es sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K -Vektorraum und f : V → V ein Endomor-
Aufgabe 1 (8 Punkte)
Es sei α ∈ R. Abhängig von α sind die folgenden Vektoren des R3 gegeben:
 
 
 
α
1
0
 
 
 





b1,α :=  1  b2,α := 2 b3,α :=  1 

0
1
α
(a) Für welche α ∈ R bildet Bα : b1,α , b2,α , b3,α eine Basis?
phismus mit rg(f ) = rg(f ◦ f ).
(a) Zeigen Sie, dass Bild (f ) = Bild (f ◦ f ).
Für α ∈
.
(b) Zeigen Sie, dass Bild (f ) ∩ Kern (f ) = 0.
(c) Beweisen Sie, dass V = Kern (f ) ⊕ Bild (f ).
(b) Sei nun α = −1. Mit E sei wie üblich die Standardbasis des R3 bezeichnet.
Bestimmen Sie die Matrizen
M
id (E, B−1 )
=
M
id (E, B−1 )
und
M
id (B−1 , E).
M
id (B−1 , E)
=
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Lineare Algebra und analytische Geometrie I
29.3.2010
Aufgabe 2 (4 Punkte)
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Lineare Algebra und analytische Geometrie I
29.3.2010
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Es sei V ein K -Vektorraum und S j V eine Teilmenge. Wann heißt S linear unabhängig?
Konstruieren Sie zu den Vektoren
v1 =
−4
3
!
v2 =
!
2
1
eine Orthonormalbasis B = {b1 , b2 } von R2 mit hv1 i = hb1 i und hv1 , v2 i = hb1 , b2 i.
b1 =
Es sei V ein K -Vektorraum und U j V ein Untervektorraum. Was ist der Faktorraum V /U ?
b2 =
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Für welche Zahlen s ∈ R ist das lineare Gleichungssystem A ~x = ~b mit


−2 6 −4



0
9
−5

A=


1
−3
4


2
3
s

−2



−10

und ~b = 


5


2
Wie lautet die allgemeine Lösung für diese s?
lösbar?
s=





~x = 



Aufgabe 4 (3 Punkte)
Gegeben sind die folgenden R-Vektorräume:
R3 , R4 , M2 (R), EndR (R3 ), R[X], HomR (R3 , R), R3 ⊕ R.
Geben Sie an, welche dieser Vektorräume zueinander isomorph sind.
.





.



Geben Sie eine hinreichende und notwendige Bedingung an, so dass die Matrix A ∈ Mn (K) diagonalisierbar ist.