Meyers Handbuch über die Mathematik
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Meyers Handbuch über die Mathematik Herausgegeben von Herbert Meschkowski in Zusammenarbeit mit Detlef Laugwitz 2. erweiterte Auflage BIBLIOGRAPHISCHES INSTITUT • MANNHEIM/WIEN/ZÜRICH LEXIKONVEK.1AG INHALT A. G R U N D L A G E N / . Elemente der modernen Mathematik 1. 2. 3. 4. 5. 6. Die Sprache des Mathematikers Mengen Relationen Funktionen Elementare Mengenalgebra Äquivalenzklassen 13 20 25 29 33 39 / / . Kationale Zahlen 1. 2. 3. 4. Axiome Die vollständige Induktion Einführung negativer Zahlen Einführung rationaler Zahlen 41 47 52 57 / / / . Strukturen 1. Axiome der Mengenlehre 2. Gruppen 2 a) Definition der Gruppe 2b) Beispiele 2 c) Elementare Sätze 2d) Untergruppen 3. Halbordnungen und Verbände 3 a) Ein elektrotechnisches Problem 3b) Halbordnungen 3c) Verbände 3d) Zusammenhang zwischen Verband und Halbordnung 4. Ringe und Körper 4a) Definitionen und Beispiele 4b) Das Rechnen mit Kongruenzen 4c) Beispiele für Körper 4d) Formale Systeme 63 68 68 70 79 85 91 91 93 97 103 106 106 109 113 115 IV. Reelle und komplexe Zahlen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Vollständigkeit halbgeordneter Mengen Das Rechnen mit reellen Zahlen Potenzen und Wurzeln Darstellung reeller Zahlen Komplexe Zahlen Elementare Funktionen mit reellem Argument Funktionen mit komplexem Argument Die Riemannsche Zahlenkugel . . . . 118 125 130 132 136 142 147 150 B. E I N F Ü H R E N D E D A R S T E L L U N G E N V. Elemente der euklidischen Geometrie 1. 2. 3. 4. Metrische Räume Das Werk Euklids Verknüpfung und Anordnung Gebiete 4a) Polygone 4b) Polyeder 5. Kongruenz 5a) Die Axiome 5 b) Kongruenz von Winkeln und Dreiecken 153 157 160 169 169 174 180 180 182 10 6. Stetigkeit 6 a) Die Meßbarkeit von Strecken 6b) Das Winkelmaß 6c) Der Kreis 7. Das Parallelenaxiom 7 a) Elementare Sätze 7b) Der Flächeninhalt 7c) Ähnlichkeit 8. Bewegungen. 8a) Spiegelungen 8b) Freie Vektoren, Translationen 8c) Drehungen 8d) Das Rechnen mit Spiegelungen 8e) Der Satz von den drei Spiegelungen 9. Das Volumen der Polyeder VI. VII. . . Analytische Geometrie und lineare Algebra 1. Koordinaten und geometrische Örter in der Ebene und im R a u m 2. Anschauliche Vektorrechnung 3. Vektorräume 4. Lineare Gleichungssysteme und Determinanten . . . 5. Matrizen 6. Projektive Geometrie 6a) P u n k t r ä u m e 6b) Die projektive Ebene 6c) Projektive Räume 6d) Klassifikation der Geometrien 7. Konvexität 8. Praktische lineare Algebra 8 a) Numerische Fragen der linearen Algebra . . . . 8 b) Ausgleichsrechnung 8 c) Lineare Optimierung, Operations-research, Theorie der Spiele Differentialund Integralrechnung 1. Einleitung 2. Grenzwerte bei reellen Zahlfolgen 2 a) Konvergenz von Zahlfolgen 2b) Unendliche Reihen 2 c) Unendliche Produkte 2d) Begriffliche Vertiefung 3. Grenzwerte bei Funktionen 3 a) Funktionen (spezielle Klassen) 3b) Stetigkeit . 4. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen 4 a) Differentiation und Integration 4b) Reihen von Funktionen 4 c) Praktische Analysis 5. Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränderlicher 5a) Differentiation 5 b) Integration 6. Weiterer Ausbau der Begriffe 6 a) Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) . . 6b) Maß und Integral 187 187 192 193 194 194 197 202 206 206 208 212 214 220 222 231 235 248 263 275 286 286 291 297 300 303 307 307 310 312 318 321 321 327 332 334 337 337 351 357 357 376 384 390 390 401 412 414 422 11 VIII. IX. C. Differentialgeometrie 1. Kurven im euklidischen Raum 2. Flächen im euklidischen R a u m 3. Spezielles über Flächen, Anwendungen 3 a) Spezielle Flächenkurven 3 b) Spezielle Flächenklassen 3 c) Mathematische Grundlagen der Kartographie . . 4. Riemannsche Geometrie 4 a) Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 4b) Riemannsche Metrik 4c) Gekrümmte Flächen in der Physik 432 439 448 448 450 452 458 458 460 464 Praktische Mathematik 1. Prinzipien der numerischen Mathematik 2. Statistik 2 a) Die statistische Denkweise 2b) Deskriptive Statistik 2 c) Analytische Statistik 2d) Zufällige Funktionen 3. Rechenanlagen 3 a) Historische Entwicklung der Rechenmaschinen 3b) Information 3 c) Digitale Rechenanlagen 3d) Programmierung elektronischer Rechenanlagen 468 474 474 489 508 530 535 535 541 563 632 . . ÜBERBLICK ÜBER EINZELNE X. 1. 2. 3. 4. 5. XI. XII. SPEZIALGEBIETE Zahlentheorie Verteilung der Primzahlen Diophantische Gleichungen Zahlentheoretische Funktionen Über Kongruenzen Ungelöste Probleme der Zahlentheorie Klassische Algebra 1. Was ist Algebra? 2. Adjunktionen 3. Eigenschaften der Polynome 4. Einheitswurzeln : 5. Auflösung von Gleichungen 6. Zur Theorie der geometrischen Konstruktionen 644 648 652 655 660 . . . Differentialgleichungen 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 a) Spezielle Fragen bei Differentialgleichungen erster Ordnung l b ) Integrationsverfahren bei Differentialgleichungen erster Ordnung . 1 c) Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . . 1 d) Lineare Differentialgleichungen 2. Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen . . . . 2 a) Existenz- und Eindeutigkeitsfragen 2 b) Lineare Systeme 3. Partielle Differentialgleichungen 3 a) Differentialgleichungen erster Ordnung 3 b) Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . 662 663 665 668 671 676 681 681 686 691 692 699 699 701 703 703 706 12 4. Variationsrechnung , 5. Numerische Integration von Differentialgleichungen XIII. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. XIV. 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. XVIII. Theorie 1. 2. 3. 4. 5. Research — Lineare Einführung Was ist lineare Optimierung? Das graphische Lösungsverfahren Das Simplex verfahren Die Dualität der transfiniten Statistik 787 794 796 801 803 808 816 824 826 831 837 839 845 Optimierung 849 850 854 864 883 Mengen Abzählbare Mengen Das Kontinuum Der Teilmengensatz Transfmite Zahlen Das Kontinuumproblem SACHREGISTER D. 746 755 761 762 770 774 777 Informationstheorie Ansatz Einzigkeit des Informationsmaßes Unsicherheit, Überraschungswert und Transinformation Elementare Aussagen der Informationstheorie. . . . Spezielle anthropokybernetische Anwendungen . . . Redundanzsparende und störungsgesicherte Codes . . Ausblick auf die Sätze von McMillan, Feinstein und Shannon Operation 1. 2. 3. 4. 5. 713 716 719 725 728 732 736 739 743 Funktionalanalysis Normierte Räume Iterationsverfahren Hilbert-Räume und Orthogonalentwicklungen . . . . Integralgleichungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische 1. Klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Statistische Definition 3. Normierte Boolesche Algebren 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit 5. Folgen unabhängiger Versuche 6. Erwartungswerte XVII. XIX. Funktionentheorie Eigenschaften holomorpher Funktionen Integrale im Komplexen Singularitäten Das Residuum Meromorphe Funktionen Riemannsche Flächen Konforme Abbildung Topologie 1. Topologische Probleme im euklidischen R a u m ; . . . 2. Der topologische Raum 3. Stetigkeit XV. XVI. . BEGRIFFSWÖRTERBUCH mit Literaturverzeichnis 894 899 904 906 912 917 925
