PsDoc, Job 4

FACHHOCHSCHULE ANSBACH
Fachbereich Wirtschaft
Prof. Dr. W. Kiel
Ansbach, den 18.07.97
Klausur im Fach WIRTSCHAFTSMATHEMATIK - SS 1997
Bearbeitungszeit:
Zulässige Hilfsmittel:
90 Minuten
Taschenrechner
Besondere Hinweise zur vorliegenden Klausur:
Es sind insgesamt 5 Aufgaben zu lösen und dabei maximal 100 Punkte (die Punkteaufteilung ist
vorläufig) zu erzielen:
-
Im Aufgabenblock A. (Analysis) soll zwischen Aufgabe A.2a. und Aufgabe A.2b. ausgewählt werden, es sind somit genau 3 Aufgaben aus der Analysis zu bearbeiten.
-
Im Aufgabenblock B. (Lineare Algebra) soll zwischen Aufgabe B.2a. und Aufgabe B.2b.
ausgewählt werden, d. h. aus der Linearen Algebra sind genau 2 Aufgaben zu bearbeiten.
-
Bei den Wahlaufgaben A.2. und B.2. wird jeweils nur eine Lösung akzeptiert (die Wahlaufgaben sind deshalb sicherheitshalber mit einem Stern gekennzeichnet).
-
Der Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Die einzelnen Lösungen müssen eindeutig
erkennbar sein (kein Probieren - jeweils nur eine Lösung).
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A. ANALYSIS
Aufgabe A.1. (15 Punkte)
Ein Einprodukt-Monopolist produziere mit der folgenden Kostenfunktion:
K = 0,5 x 2 + 32 .
Die Preis-Absatz-Funktion des Monopolisten laute:
p = −2 x + 40 .
a.
Bestimmen Sie den Preis, den der Monopolist fordern muß, wenn er das Ziel der Gewinnmaximierung verfolgt.
b.
Bei welcher Menge wird er seinen Umsatz maximieren ?
c.
Welche Stückzahl muß der Monopolist produzieren, wenn er das Ziel der Stückkostenminimierung verfolgt ?
2
* Aufgabe A.2a. (18 Punkte)
Eine lineare Nachfragefunktion sei für 0 ≤ p ≤ 5 durch die Wertepaare (p1 = 4 GE ; x1 = 2 ME) und
(p2 = 2 GE ; x2 = 6 ME) gegeben.
a.
Ermitteln Sie hierfür die Nachfragefunktion und die Preiselastizität des Nachfrage allgemein.
b.
Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage für x = 2 ? Interpretieren Sie die berechnete
Elastizität. Ist dieser Wert als elastisch, fließend oder unelastisch zu bezeichnen ?
c.
Bestimmen Sie den elastischen Bereich der Elastizitätsfunktion.
d.
Der Marktpreis sei mit pM = 2 GE gegeben. Berechnen Sie die Konsumentenrente, wenn die
Preisobergrenze po = 4 beträgt.
* Aufgabe A.2b. (18 Punkte)
Für ein bestimmtes Gut laute die Angebotsfunktion
x = 100 ⋅ p
und die Nachfragefunktion
100
x=
.
p
a.
Bestimmen Sie den Marktpreis und den dazugehörigen Umsatz.
b.
Berechnen Sie die Produzentenrente bei der Preisuntergrenze von pu = 0,396850263.
c.
Bekannt sei die Konsumentenrente in Höhe von 100 GE. Berechnen Sie daraus die
Preisobergrenze für die Nachfrage.
Aufgabe A.3. (26 Punkte)
Bei der Produktion eines bestimmten Gutes betragen die Kosten für die hierzu erforderlichen Produktionsfaktoren k1 = 1 GE für eine Einheit r1 und k2 = 4 GE für eine Einheit r2 . Es sollen 100 ME
des Gutes hergestellt werden. Die Produktion unterliege der folgenden Produktionsfunktion:
x=2⋅
r1 ⋅ r2
.
a.
Wie lautet die kostenminimale Faktorkombination zur Produktion des Gutes ? Lösen Sie dieses
Problem mit dem Lagrangeschen Multiplikatorenansatz. Überprüfen sie auch das derart gefundene
Extremum.
b.
Berechnen und interpretieren Sie den Lagrangeschen Multiplikator λ für das Optimum.
3
B. LINEARE ALGEBRA
Aufgabe B.1. (24 Punkte)
Gegeben sei die folgende Input-/Output-Tabelle für eine fiktive Volkswirtschaft mit zwei Sektoren (jeder
Sektor stelle nur ein Produkt her; die Endnachfrage sei exogen erklärt):
Output des Sektors 1
Output des Sektors 2
Input des Sektors
1
2
80
100
160
200
Endnachfrage
140
40
a.
Bestimmen Sie den Gesamtoutput-Vektor und die Produktionskoeffizienten-Matrix.
b.
Formulieren Sie anhand der Input-/Output-Tabelle ein statisches Leontief-Modell und bestimmen
Sie die Leontief-Inverse.
c.
Wie hoch müßte der Gesamtoutput sein, um eine Endnachfrage von 150 Einheiten nach dem Gut
des Sektors 1 und eine von 50 Einheiten nach dem Gut des Sektors 2 zu befriedigen ?
* Aufgabe B.2a. (17 Punkte)
Das folgende Kreislaufschema beschreibe den Leistungsaustausch für einen Betrieb mit zwei Kostenstellen:
20 M E
K .S t. 1
10 M E
K.S t. 2
10 M E
E n d n a c h fra g e
Bei der Kostenstelle 1 fallen 200 GE als Primärkosten an; für Kostenstelle 2 sind dies 400 GE.
a.
Stellen Sie die Bilanzgleichungen für die zwei Kostenstellen auf.
b.
Schreiben Sie die Bilanzgleichungen als lineares Gleichungssystem um. Formulieren Sie dieses
lineare Gleichungssystem dann als Matrizengleichung.
c.
Lösen Sie die Matrizengleichung auf und bestimmen Sie die internen Verrechnungspreise p1 und
p2 unter Verwendung von Matrix-Inversion.
4
* Aufgabe B.2b. (17 Punkte)
Ein Unternehmen stellt (u. a.) zwei Produkte her. Zur Herstellung werden drei Maschinen verwendet.
Für die Produktion der zwei Güter stehen die folgenden maximalen wöchentlichen Maschinenkapazitäten
zur Verfügung: 1200 Min. der Maschine 1, 1000 Min. der Maschine 2 und 600 Min. der Maschine 3.
Ein Stück von Produkt 1 beansprucht 3 Min. der Maschine 1, 1 Min. der Maschine 2 und 1 Min. der
Maschine 3.
Ein Stück von Produkt 2 beansprucht 1 Min. der Maschine 1, 2 Min. der Maschine 2 und 1 Min. der
Maschine 3.
Unabhängig von der Produktionsmenge kann mit Produkt 1 ein Stückgewinn von 2 GE erzielt werden;
für Produkt 2 sind dies 3 GE.
a.
Formulieren Sie die Zielfunktion und die Restriktionen für dieses Problem der linearen
Optimierung.
b.
Lösen Sie das Problem graphisch und kennzeichnen Sie dabei den Lösungsraum. Bei welchen
wöchentlichen Produktionsmengen der Produkte 1 und 2 wird der Gewinn maximiert ?