PsDoc, Job 28

FACHHOCHSCHULE OSNABRÜCK
-Fachbereich WirtschaftProf. Dr. W. Kiel
Osnabrück, den 26.06.92
SS 1992
Klausur im Fach MATHEMATIK (BiG)
Bearbeitungszeit
: 180 Minuten
Zulässige Hilfsmittel : Taschenrechner
Besondere Hinweise zur vorliegenden Klausur:
Es sind insgesamt 7 Aufgaben zu lösen und dabei maximal 100
Punkte zu erzielen:
Im Aufgabenblock A. (Finanzmathematik) soll zwischen Aufgabe A.1 und Aufgabe A.2. ausgewählt werden, d.h. es sind
lediglich zwei Aufgaben aus der Finanzmathematik zu bearbeiten.
Im Aufgabenblock B. (Differentialrechnung) sind alle 4
Aufgaben zu bearbeiten.
Im Aufgabenblock C. (Lineare Algebra) ist nur eine Aufgabe
zu bearbeiten, d.h. es soll zwischen Aufgabe C.1. und
Aufgabe C.2 ausgewählt werden.
Es werden nur 7 Lösungen akzeptiert. Die einzelnen Lösungen
müssen eindeutig erkennbar sein (kein Probieren - jeweils
nur eine Lösung).
__________________________________________________________________
A. FINANZMATHEMATIK
Aufgabe A.1. (12 Punkte)
Eine Betriebswirtin, die sich gut in Finanzmathematik auskennt, plant
den folgenden Ansparprozeß:
-
Zum 1.1.1993 wird ein Guthaben von 10.000,- DM auf ein Konto
eingezahlt.
Zum 1.1.1995 soll ein Guthaben von 7.500,- DM auf ein Konto
eingezahlt werden.
Am 1.1.1998 werden 5.000,- DM eingezahlt, und in den darauf
folgenden vier Jahren jeweils der gleiche Betrag zum 1.1.
Der Zinssatz sei für 1993, 1994 und 1995 7 %. Für die Jahre 1996 und
1997 soll mit 6 % gerechnet werden. Ab dem 1.1.1998 ist von 5 %
auszugehen.
Wie hoch wird unter den genannten Annahmen das Guthaben der Betriebswirtin am 1.1.2005 bei zinseszinslicher Verzinsung sein?
- 2 Aufgabe A.2. (12 Punkte)
Eine Privatklinik plant einen Erweiterungsbau und müßte dazu erst das
Grundstück eines Nachbarn kaufen. Zum Verkauf bietet der Nachbar am
1.1.1993 vier unterschiedliche Möglichkeiten an:
a)
b)
c)
d)
Die Klinik kann das Grundstück sofort zu 500.000,- DM erwerben.
Die Klinik könnte das Grundstück am 1.1.1998 zu 650.000,- DM
erwerben (unentgeltliche Nutzung ab dem 1.1.1993).
Die Klinik könnte das Grundstück sofort erwerben, wenn sie dem
Verkäufer ab dem 1.1.1995 20 Jahre lang eine regelmäßige vorschüssige Rente von 42.000,- DM zusichert.
Die Klinik könnte das Grundstück sofort erwerben und mit drei
unregelmäßigen Beträgen bezahlen: am 1.1.1993 100.000,- DM, am
1.1.1995 250.000,- DM und am 1.1.2000 250.000,- DM.
Welches Angebot ist für die Privatklinik zum 1.1.1993 am günstigsten,
wenn ein Zinssatz von 5 % unterstellt wird?
Aufgabe A.3. (16 Punkte)
Ein junger Arzt will medizinische Apparate für 150.000 DM,- anschaffen. Die Finanzierung dieser Anschaffung übernimmt eine Bank. Es
wurden die folgenden Konditionen ausgehandelt:
-
-
Es wird eine Auszahlungsgebühr in Höhe von 3 Prozent der
Schuldsumme vereinbart. Das Darlehen wird am 1.1.1993 voll
ausgezahlt.
Da der Arzt seine Praxis gerade erst neu gegründet hat, soll die
Tilgung in der Anfangsphase für 3 Jahre ausgesetzt werden. Der
Arzt braucht während dieser Zeit auch keine Zinsen zu zahlen.
Für die tilgungsfreie Zeit wird ein Zinssatz von 9 Prozent
festgelegt.
Ab dem 1.1.1996 soll die bis dahin aufgelaufene Schuld annuitätisch mit 2 % zuzüglich ersparter Zinsen getilgt werden. Als
Zinssatz wird für die Jahre 1996 bis einschließlich dem Jahr
1998 ein Prozentsatz von 8 v.H. vereinbart. Ab dem 1.1.1999 wird
ein Zinssatz von 6 % festgelegt.
Stellen Sie den Tilgungsplan für das erste und das vierte Jahr der
Annuitätentilgung auf. Wie lange wird die Laufzeit der gesamten
Annuitätentilgung sein ? Wie hoch ist die Restschuld zu Beginn des
letzten Jahres und auf welche Weise könnte diese finanzmathematisch
neutral beglichen werden?
B. DIFFERENTIALRECHNUNG
Aufgabe B.1. (13 Punkte)
Eine lineare Angebotsfunktion für ein
Wertepaare (x1=1000 ME / p1=5 GE) und
Die Nachfragefunktion nach diesem Gut
2100:
p = - (1/450.000) x2 +
bestimmtes Gut sei durch die
(x2=2000 ME / p2=7 GE) gegeben.
lautet im Bereich 600 < x <
11
.
- 3 a.
b.
c.
Bestimmen Sie den Marktpreis, die dabei umgesetzte Menge, den
Umsatz und allgemein die Preiselastizität der Nachfrage und die
des Angebots.
Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage bei einem Preis
von p = 5,50 GE? Ist die Nachfrage an dieser Stelle der
Nachfragefunktion elastisch oder unelastisch? Interpretieren sie
den berechneten Wert der Elastizität.
Bestimmen Sie die Preiselastizität des Angebots und die der
Nachfrage für den Marktpreis.
Aufgabe B.2. (12 Punkte)
Eine Herstellerfirma von Medikamenten fertigt u.a. ein spezielles
Medikament. Jährlich können davon 5.000 Einheiten abgesetzt werden.
Die Rüstkosten für ein Fertigungslos betragen 250,- DM pro Produktionsserie. Das in den bereits gefertigten, aber noch nicht
verkauften Medikamenten gebundene Kapital muß mit 5 % p.a. verzinst
werden. Der Absatz vollzieht sich kontinuierlich. Die proportionalen
Herstellungskosten (z.B. für Rohstoffe) pro Einheit betragen 8,- DM.
Wie groß ist die optimale Losgröße für eine Produktionsserie und wie
oft soll eine solche Produktionsserie demzufolge pro Jahr gefertigt
werden?
Aufgabe B.3. (15 Punkte)
Ein Monopolist stellt ein Produkt in unterschiedlichen Ausführungen
her. Bei der Produktion entstehen die stückvariablen Kosten von k1 =
1 DM pro Stück des Produkts 1 und von k2 = 3 DM pro Stück des
Produktes 2. Bei einem Verkaufspreis von p1 für das Produkt 1 und von
p2 für das Produkt 2 ergeben sich zwei Nachfragefunktionen in
Abhängigkeit von den Güterpreisen p1 und p2:
x1 = 105
- 60 p1 +
15 p2
x2 = 142,5 + 15 p1 - 22,5 p2
.
Bei welchen Preisen p1 und p2 ist der Gewinn des Monopolisten
maximal? Welche Gütermengen x1 und x2 ergeben sich bei dem gewinnoptimalen Preis? Quantifizieren Sie Gewinn, Umsatz und Kosten im
Optimum!
Aufgabe B.4. (16 Punkte)
Ein bestimmtes Produkt sei mit zwei unterschiedlichen Produktionsfaktoren r1 und r2 (z.B. Arbeit und Kapital) zu erzeugen. Für die
zwei Produktionsfaktoren seien die folgenden Faktorpreise gegeben: 1
GE pro Einheit r1 und 16 GE pro Einheit r2.
a.
Ermitteln Sie nach dem Lagrange-Ansatz die kostenminimale Faktorkombination unter der Voraussetzung, daß ein Output von 6000
- 4 Mengeneinheiten des Produktes erstellt wird, und daß der
Produktion die folgende Produktionsfunktion zugrundeliegt:
___________
3
x = 6 . √_ r1 . r22
.
b.
Quantifizieren Sie die Kosten im Optimum.
c.
Bestimmen Sie zur Menge 6000 die Isoquante und die Grenzrate der
Substitution.
d.
Interpretieren Sie Lambda.
C. LINEARE ALGEBRA
Aufgabe C.1. (16 Punkte)
Für zwei Betriebe eines Unternehmens bestehe die folgende Lieferstruktur (Angaben als Wertgrößen in Mio. DM)
Input
1
an Betrieb
2
Endnachfrage
Output
von
Betrieb
1
2
a.
Quantifizieren Sie den Gesamtoutput der beiden Betriebe. Wie
lautet die Produktionskoeffizientenmatrix? Formulieren Sie ein
statisches Leontief-Modell für die vorgegebene Input-/OutputStruktur.
b.
Welche Endnachfrage wäre unter den gegebenen technologischen
Voraussetzungen möglich, wenn der Betrieb 1 einen Output zum
Wert von 150 Mio. DM erstellen würde, und der Betrieb 2 einen
Output zum Wert von 200 Mio. DM?
c.
Wie hoch müßte der Gesamtoutput der beiden Betriebe sein, wenn
die Endnachfrage nach den Produkten des Betriebes 1 '20 Mio. DM'
betragen würde und die nach den Produkten des Betriebes 2 '80
Mio. DM' ?
Aufgabe C.2. (16 Punkte)
Das folgende lineare Gleichungssystem möge eine innerbetriebliche
Kostenverrechnung beschreiben, d.h. es werden für jede Kostenstelle
die Kosten bei gegebenen Primärkosten in Abhängigkeit von den
Verrechnungspreisen pro Leistungseinheit der jeweiligen Kostenstelle
(p1, p2 und p3) betrachtet:
- 5 (1)
600p1 = 600
(2)
300p2 = 100 + 300p1
(3)
+ 100p2 + 300p3
+ 200p3
1500p3 = 300 + 300p1 + 200p2
a.
Schreiben Sie das Gleichungssystem so um, daß Sie es als
Matrizengleichung auffassen können, und formulieren Sie die
entsprechende Matrizengleichung.
b.
Lösen Sie diese Matrizengleichung durch Matrizeninversion auf
und geben sie die jeweiligen internen Verrechnungspreise p1, p2
und p3 an.
c.
Welcher Lösungsvektor würde sich ergeben, wenn im obigen Gleichungssystem in der Gleichung (1) statt 600 nun 900 und in der
Gleichung (3) statt 300 nun 500 als Primärkosten auftreten?
Lösen Sie diese Frage allein durch eine Matrizenmultiplikation.
- 6 Notwendige FORMELN zur Lösung der Aufgaben des Bereichs A.
__________________________________________________________
1. Zinsrechnung
Kn = Ko qn
qn - 1
_________
Kn = rE q
q - 1
2. Rentenrechnung
qn - 1
_________
Rn = rv q
q - 1
Rn = Ro qn
3. Tilgungsrechnung
qn - 1
n
_
_________
Kn = Ko q
A
q - 1
A
= Ko (i + i*)
bzw.
qn - 1
_________
Kn = rE
q - 1