Arbeitsblatt: "Sparmodelle"

Ma 11a
Bisher:
Exponentialfunktionen auf N – Geometrische Folgen
f(x) = a  bx
2014/2015
mit a  R\{0}, b  R mit b > 0, x  R
Für viele Aufgabenstellungen genügt es, für die Funktionsvariable x nur noch natürliche
Zahlen und die Zahl 0 (N0 = {0, 1, 2, 3, …}) zu verwenden.
Dies wird in der Funktionsgleichung dokumentiert, in dem man statt der Variable x die
Variable n verwendet. (Das Schaubild erfährt eine dramatische Veränderung. Welche?)
Neu:
f(n) = a  bn
mit a  R\{0}, b  R mit b > 0, n
 N0
Hinweis: Die Bedeutung von a und b verändert sich nicht (a: Startwert für n = 0, b: Wachstumsfaktor).
Beispiel:
(ist schon bekannt: Kapital zu einem Zinssatz p% anlegen)
Ein Betrag K0 = 1000,- € wird zu einem Zinssatz von p% = 4,5% über einen Zeitraum von
n = 10 Jahren fest angelegt.
Berechne das aktuelle Kapital nach jedem Jahr und stelle den Verlauf in einem Schaubild
dar!
Wir verwenden die Hilfe einer Tabellenkalkulation (z.B. MS-Excel oder OO-Calc):
Das zugehörige Diagramm könnte wie folgt dargestellt werden:
Kapital am Jahresende
1.800,00 €
1.600,00 €
1.400,00 €
1.200,00 €
1.000,00 €
800,00 €
600,00 €
400,00 €
200,00 €
- €
0
1
2
3
4
5
1
6
7
8
9
10
Jahr
Arbeitsauftrag:
1.
Erstelle ein Tabellenkalkulationsblatt zur Berechnung der Kapitalentwicklung bei
gegebenem Startkapital und Zinssatz und füge ein Diagramm ein (wie im Beispiel
dargestellt).
Startkapital und Zinssatz sollen variabel angelegt werden.
2.
Bestimme mit Hilfe des Tabellenblattes den Zeitraum, in dem sich das Kapital
(mindestens) verdoppelt.
Verändere Startkapital und Zinssatz und untersuche die Auswirkungen bezüglich der
Verdopplungszeit.
Startkapital
Zinssatz
1000,00 €
4,5 %
2000,00 €
4,5 %
10.000,00 €
4,5 %
Jahre bis zur Verdopplung und Endbetrag
9,0 %
9,0 %
9,0 %
2,25 %
2,25 %
2,25 %
3.
Überprüfe die Ergebnisse aus Nr.2 mit Hilfe geeigneter Exponentialgleichungen.
(Funktionsterm aufstellen, T2 berechnen, aufrunden, Endbetrag berechnen)
4.
Und jetzt wird es interessant. Löse die Aufgabenstellungen zunächst mit Hilfe der
Tabellenkalkulation:
a.
Am Anfang jeden Jahres wird ein Betrag R = 400,00 € auf das Konto eingezahlt. Das
bedeutet: Der Betrag wird am Ende des Jahres verzinst (4,5%), dazu kommt dann
wieder die nächste Rate.
Jahr
0
1
2
3
Kapital am Anfang
0
400,00 €
818,00 €
1254,81 €
Zinsen
0
18,00 €
36,81 €
…
Kapital am Ende
0
418,00 €
854,81 €
…
b.
Wie lange dauert es, bis 10.000,- € (25.000,- €) angespart sind?
c.
(*) Finde eine mögliche Berechnungsvorschrift für dieses Ratensparmodell.
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