Lernwerkstatt Prozent

Prozent- und Zinsrechnung
Grundgleichung der Prozentrechnung
1% =
1
100
p% =
p
100
Bsp. 12% =
W- Prozentwert
W
G

p 100%
12
100
p-Prozentsatz
G- Grundwert
1. Berechnung von Prozentwerten
W=
G p
100%
Bsp. Wie viel sind 15% von 30€?
W=
30€  15%
100%
oder Dreisatz
100%

30€
 : 100
1%

3€
  15
W = 4,50€
15%
 4,50€
Übung
Berechne die fehlenden Prozentwerte
G
P
W
20
40%
300
61%
5000
85%
750
110%
240
62%
450
300%
300
75%
2. Berechnung von Grundwerten
G=
W  100%
p
Bsp. 15% vom Grundwert sind 12€. Wie groß ist der Grundwert?
G=
12€  100%
15%
G= 80€
oder Dreisatz
15%

12,00€
1%

0.80€
100%

80,00€
 :15
  100
Übung
Berechne die fehlenden Grundwerte. Runde, wenn nötig, sinnvoll.
W
P
G
50m
2%
800€
40%
60kg
200%
5t
35%
2000€
75%
900mm
18%
400ha
450%
3. Berechnung von Prozentsätzen
P=
W  100%
G
Bsp. Wie viel Prozent sind 5m von 40m?
P=
5m  100%
40m
oder Dreisatz
P = 12,5%
100%

40m
 :100
1%

0,4m
  12,5
12,5%

5m
Berechne die fehlenden Prozentsätze. Runde, falls nötig, sinnvoll.
W
G
p
40
120
68
950
4000
500
500
750
760
900
6
32
9
45
Übung
Berechne nun die fehlenden Größen der Tabelle. Runde auf zwei Kommastellen.
G
P
W
7,5m
32,5%
704€
850€
33%
25kg
34,5t
120%
99,5cm
62,5%
704€
42cm
Weitere Übungen findest du im Bereich Arithmetik in Klasse 6 unter www.realmath.de
0,5%
45ha
Vermehren und Vermindern von Grundwerten
Beispiel- Vermindern eines Grundwertes
Ein Handy kostet im Geschäft 300€. Beim Kauf gibt es 12% Rabatt. Wie teuer ist das Handy dann?
Es gibt zwei Möglichkeiten der Berechnung.
1. Überlegung: a) Man berechnet 12% von 300€
12% von 300€ = 36€
b) Man subtrahiert dem errechneten Betrag von 300€
300€ - 36€ = 264€
2. Überlegung: Man überlegt, dass man dann nur noch 88% des Kaufpreises bezahlen muss.
100% - 12% = 88%
Man berechnet 88% von 300€
88% von 300€ = 264€
Das Handy kostet noch 264€.
Beispiel- Vermehren eines Grundwertes
Das Urlaubszimmer kostet am Tag 120€. Da es in einem Kurort liegt kommen noch einmal 2% Kurtaxe
dazu. Wie teuer ist das Zimmer pro Tag?
1. Überlegung: a) Man berechnet 2% von 120€.
2% von 120€ = 2,40€
b) Man addiert den errechneten Betrag zu 120€
120€ + 2,40€ = 122,40€
2. Überlegung: Man überlegt, dass man dann 102% des ursprünglichen Preises zahlt.
100% + 2% = 102%
Man berechnet 102% von 120€ = 122,40€.
Der komplette Preis pro Tag beträgt 122,40€.
Du solltest auch wissen, dass die Mehrwertsteuer in Deutschland für viele Güter 19% beträgt und
zwischen dem Nettopreis ( ohne Mehrwertsteuer ) und dem Bruttopreis ( mit Mehrwertsteuer )
unterschieden wird.
Beispiel: Der Verkaufspreis ( Bruttopreis ) einer Hose beträgt 53,55€. Wie hoch ist der Nettopreis?
Überlegung: 53,55€ sind 119% des gesuchten Wertes
Geg: W = 53,55€
P = 119%
Ges: G
G=
53,55€  100%
119%
G = 45€
Der Nettopreis ist 45€.
Übungen- Sachaufgaben (weitere unter www.realmath.de Mathematik Klasse 6 und Klasse 7 )
1. Ein Grundstück hat eine Größe von 500m2. Das Haus, welches gebaut werden soll, nimmt 22% des
Grundstücks ein. Wie groß ist die bebaute Fläche dann?
2. 60% der Schüler eines Gymnasiums sind Mädchen, das sind 390 Schülerinnen. Wie viele Schüler
und Schülerinnen besuchen insgesamt das Gymnasium?
3. 22 von 30 Schüler der Klasse 7a haben bei der Wahl des Schülersprechers für Anne gestimmt. Wie
viel Prozent der Klasse waren das?
4. In die Klasse 7b gehen 30 Schüler. 12 Schüler kommen mit der Bahn, 8 Schüler kommen mit dem
Rad, 6 Schüler kommen zu Fuß, der Rest wird mit dem Auto gebracht. Stelle in einem
Kreisdiagramm die prozentualen Anteile dar.
5. Die Miete von Herrn Müller von 380€ wurde um 10% erhöht. Wie viel muss Herr Müller jetzt
zahlen?
6. Das Taschengeld von Sonja wurde von 12€ auf 15€ erhöht.
a) Um wie viel Prozent wurde das Taschengeld erhöht?
b) Auf wie viel Prozent wurde das Taschengeld erhöht?
7. Beim Schlussverkauf wird ein Mantel um 35% reduziert. Er kostet jetzt noch 455€. Wie hoch war
der Preis vorher?
8. Im Preis von 1 Liter Benzin sind 70% Mineralölsteuer enthalten. Herr Meier tankt 55 Liter Benzin
für 1,56€ je Liter. Wie viel Euro vom Gesamtpreis beträgt die Mineralölsteuer?
9. Im Schlussverkauf wurde ein Mantel von 150€ erst um 20% reduziert und anschließend in einer
zweiten Aktion noch einmal um 12%. Wie hoch ist der Preis nach der zweiten Aktion?
10. Der Preis eines Waschmittels wurde von 14,99€ auf 11,99€ gesenkt. Um wie viel Prozent sank der
Preis?
11. Rabatt und Skonto
Herr Müller bekommt für die Renovierung seines Bades einen Kostenvorabschlag von 8000€
Bruttopreis. Der Anbieter gewährt ihm einen Rabatt von 5% auf den Nettopreis. Sollte er nach
Der Renovierung den verbleibenden Betrag innerhalb von 7 Tagen zahlen kann er noch 2% Skonto
Vom verbleibenden Betrag ziehen. Wie viel müsste er dann noch bezahlen?
Lösungen
Berechnung von Prozentwerten
G
P
W
20
40%
8
300
61%
183
5000
85%
4250
750
110%
825
240
62%
148,8
450
300%
1350
300
75%
225
60kg
200%
30kg
5t
35%
14,29t
2000€
75%
2666,67€
900mm
18%
5000mm
400ha
450%
88,89ha
Berechnung von Grundwerten
W
P
G
50m
2%
2500m
800€
40%
2000€
Berechnung von Prozentsätzen
W
G
p
40
120
33 13 %
68
950
7,16%
4000
500
800%
500
750
66 23 %
760
900
84,4%
6
32
18,75%
9
45
20%
7,5m
32,5%
2,44m
704€
120,74%
850€
75,76kg
33%
25kg
34,5t
120%
41,4t
1126,40€
62,5%
704€
99,5cm
42,21%
42cm
9000ha
0,5%
45ha
Übung
G
P
W
Sachaufgaben
1. 110m2
2. 650 Schüler
3. 73,3%
4.
Bahn
40%
Rad
26 23 %
Zu Fuß
20%
Auto
13 13 %
144°
96°
72°
48°
Bahn
Rad
zu Fuß
Auto
5. 418€
6a) um 25%
b) auf 125%
7. 700€
8. 55  1,56€  85,80€
9.
1. Aktion: 120€
Mineralölsteuer: 60,06€
2. Aktion: 105,60€
10. ≈20%
11. Nettopreis: 6722,69€
5% Rabatt:
336,13€
8000€ - 336,13€ = 7663,87€
2% Skonto: 153,28€
zu zahlender Betrag: 7510,59€
Zinsrechnung
Begriffe:
Zinsen Z
entspricht dem Prozentwert W
Zinssatz p entspricht dem Prozentsatz p
Kapital K
entspricht dem Grundwert G
Deshalb lässt sich folgenden Gleichung formulieren:
Z
K

p 100%
Damit lassen sich die Jahreszinsen wie folgt berechnen:
Z=
Kp
100%
Für die Berechnung von Monatszinsen gilt:
Z
Kp m

100% 12
Für die Berechnung von Tageszinsen gilt:
Z
Kp t

100% 360
m- Anzahl der Monate
t- Anzahl der Tage
Beispiele: Jahreszinsen
1. Kapital von 200€ soll für ein Jahr zu einem Zinssatz von 3% angelegt werden. Wie hoch sind die
Zinsen nach einem Jahr?
Z=
200€  3%
100%
Z = 6€
2. Für einen Anlagebetrag von 5000€ wurden nach einem Jahr 55€ Zinsen gezahlt. Wie hoch war der
Zinssatz?
p
Z  100% 55€  100%
=
K
5000€
P = 1,1%
3. Bei einem Zinssatz von 2,5% wurden nach einem Jahr 120€ Zinsen gezahlt. Wie hoch war das
Kapital?
K
Z  100%
120€  100%
= p
p
2,5%
K = 4800€
Beispiele Monats- und Tageszinsen
Ein Kapital von 10000€ soll bei einem Zinssatz von 4%
a) für 5 Monate,
b) für 120 Tage angelegt werden.
Berechne die jeweiligen Zinsen.
a) Z 
10000€  4% 5

100%
12
Z = 166,67€
b) Z 
10000€  4% 120

100%
360
Z = 133,33€
( Rundung nach Rundungsregeln )
Zinsesszinsrechnung
Bei der Zinseszinsrechnung werden dem Ausgangskapital am Ende des Jahres die Zinsen
dazugerechnet und es entsteht für das nächste Jahr ein verändertes Kapital.
Beispiel: Wie groß ist das Kapital, das entsteht, wenn man 20000€ für drei Jahre zu einem Zinssatz
von 5% anlegt?
1. Jahr: Z1 
20000€  5%
 1000€
100%
K1  20000€  1000€  21000€
2. Jahr
Z2 
21000€  5%
 1050€
100%
K 2  21000€  1050€  22050€
3. Jahr
Z3 
22050€  5%
 1102,50€
100%
K 3  22050€  1102,50€  23152,50€
Nach drei Jahren beträt das Kapital 23152,50€.
Übungen
Berechnung von Tages- Monats- und Jahreszinsen
Ergänze folgende Tabelle. Runde, falls nötig.
K in €
P
Z in €
Zeit t
7000
4%
1 Jahr
15000
6%
500
1 Jahr
300
1 Jahr
5500
2%
8050
4,5%
7
65 Tage
Monate
3,4%
65
1 Jahr
19000
8,3%
20000
15%
80000
12%
1 Jahr
30 Tage
8
Monate
Sachaufgaben
1. Zum Ausbau eines Geschäftes nimmt Herr Müller ein Darlehen von 7500€ auf. Nach einem Jahr
soll er 607,50€ Zinsen zahlen. Zu welchem Zinssatz wurde das Darlehen gewährt?
2. Wie viel Zinsen bringt ein Kapital von 5600€ bei einem Zinssatz von 3,5% in einem Jahr?
3. Welches Kapital müsste man mit 7,5% verzinsen, um nach einem Jahr 300€ Zinsen zu bekommen?
4. Sven spart 560€. Auf das Konto bekommt er 1,2% Zinsen. Wie viel Geld hat er nach einem Jahr?
5. Wie hoch ist ein Kredit, wenn bei einer Verzinsung von 5% nach einem Jahr 2250€ Zinsen zu zahlen
sind?
6. Eine Bank zahlt für ein Kapital von 30000€ 4,5% Zinsen. Für einen Kredit in gleicher Höhe verlangt
sie 8,4% pro Jahr. Wie groß ist der Gewinn der Bank?
7. Für 1200€ bekommt Alex nach einem Jahr 76,80€ Zinsen. Wie muss sich der Zinssatz ändern, enn
Alex 6€ mehr bekommen will?
8. Frau Müller braucht für den Kauf einer Küche 20000€. Die Hälfte hat sie gespart. Für die andere
Hälfte nimmt sie einen Kredit für 6 Monate zu einem Zinssatz von 5,5%. Wie viel Geld muss sie nach
einem halbe Jahr zurück zahlen?
9. Sabine hat ein Konto bei einer Bank und 450€ eingezahlt. Welchen Zinssatz bekommt sie, wenn sie
nach einem Jahr 466,65€ zurück bekommt?
10. Ein Kapital von 50000€ soll bei einer Bank für 3 Jahre angelegt werden. Die Bank bietet
2 Varianten an:
a) Verzinsung desselben Grundkapitals für 3 Jahre bei einem Zinssatz von 8%( kein Zinseszins),
b) Verzinsung mit Zinseszins und steigenden Zinssätzen: 1. Jahr 7,5%, 2. Jahr 8%, 3. Jahr 8,5%.
Welches Angebot sollte angenommen werden?
Weitere Übungen unter www.real.math.de
Lösungen Zinsrechnung
K in €
P
Z in €
Zeit t
7000
4%
280
1 Jahr
8333,33
6%
500
1 Jahr
15000
2%
300
1 Jahr
5500
2%
64,17
7
Monate
Sachaufgaben- Antwortsätze nicht vergessen
1. 8,1%
2. 196€
3. 4000€
4. Z = 6,72€ K = 566,72€
5. 4500€
6. Z1 = 1350€
Z2 = 2520€
Gewinn: 1170€
7. p = 6,9%
8. 10275€
9. 3,7%
10. Angebot a: K = 62000€
Angebot b: K = 62984,25€
Angebot b sollt angenommen werden.
8050
4,5%
65,41
65 Tage
1911,76
3,4%
65
1 Jahr
19000
8,3%
1577
1 Jahr
20000
15%
250
30 Tage
80000
12%
6400
8
Monate