Lernwerkstatt Prozent
Werbung
Prozent- und Zinsrechnung Grundgleichung der Prozentrechnung 1% = 1 100 p% = p 100 Bsp. 12% = W- Prozentwert W G p 100% 12 100 p-Prozentsatz G- Grundwert 1. Berechnung von Prozentwerten W= G p 100% Bsp. Wie viel sind 15% von 30€? W= 30€ 15% 100% oder Dreisatz 100% 30€ : 100 1% 3€ 15 W = 4,50€ 15% 4,50€ Übung Berechne die fehlenden Prozentwerte G P W 20 40% 300 61% 5000 85% 750 110% 240 62% 450 300% 300 75% 2. Berechnung von Grundwerten G= W 100% p Bsp. 15% vom Grundwert sind 12€. Wie groß ist der Grundwert? G= 12€ 100% 15% G= 80€ oder Dreisatz 15% 12,00€ 1% 0.80€ 100% 80,00€ :15 100 Übung Berechne die fehlenden Grundwerte. Runde, wenn nötig, sinnvoll. W P G 50m 2% 800€ 40% 60kg 200% 5t 35% 2000€ 75% 900mm 18% 400ha 450% 3. Berechnung von Prozentsätzen P= W 100% G Bsp. Wie viel Prozent sind 5m von 40m? P= 5m 100% 40m oder Dreisatz P = 12,5% 100% 40m :100 1% 0,4m 12,5 12,5% 5m Berechne die fehlenden Prozentsätze. Runde, falls nötig, sinnvoll. W G p 40 120 68 950 4000 500 500 750 760 900 6 32 9 45 Übung Berechne nun die fehlenden Größen der Tabelle. Runde auf zwei Kommastellen. G P W 7,5m 32,5% 704€ 850€ 33% 25kg 34,5t 120% 99,5cm 62,5% 704€ 42cm Weitere Übungen findest du im Bereich Arithmetik in Klasse 6 unter www.realmath.de 0,5% 45ha Vermehren und Vermindern von Grundwerten Beispiel- Vermindern eines Grundwertes Ein Handy kostet im Geschäft 300€. Beim Kauf gibt es 12% Rabatt. Wie teuer ist das Handy dann? Es gibt zwei Möglichkeiten der Berechnung. 1. Überlegung: a) Man berechnet 12% von 300€ 12% von 300€ = 36€ b) Man subtrahiert dem errechneten Betrag von 300€ 300€ - 36€ = 264€ 2. Überlegung: Man überlegt, dass man dann nur noch 88% des Kaufpreises bezahlen muss. 100% - 12% = 88% Man berechnet 88% von 300€ 88% von 300€ = 264€ Das Handy kostet noch 264€. Beispiel- Vermehren eines Grundwertes Das Urlaubszimmer kostet am Tag 120€. Da es in einem Kurort liegt kommen noch einmal 2% Kurtaxe dazu. Wie teuer ist das Zimmer pro Tag? 1. Überlegung: a) Man berechnet 2% von 120€. 2% von 120€ = 2,40€ b) Man addiert den errechneten Betrag zu 120€ 120€ + 2,40€ = 122,40€ 2. Überlegung: Man überlegt, dass man dann 102% des ursprünglichen Preises zahlt. 100% + 2% = 102% Man berechnet 102% von 120€ = 122,40€. Der komplette Preis pro Tag beträgt 122,40€. Du solltest auch wissen, dass die Mehrwertsteuer in Deutschland für viele Güter 19% beträgt und zwischen dem Nettopreis ( ohne Mehrwertsteuer ) und dem Bruttopreis ( mit Mehrwertsteuer ) unterschieden wird. Beispiel: Der Verkaufspreis ( Bruttopreis ) einer Hose beträgt 53,55€. Wie hoch ist der Nettopreis? Überlegung: 53,55€ sind 119% des gesuchten Wertes Geg: W = 53,55€ P = 119% Ges: G G= 53,55€ 100% 119% G = 45€ Der Nettopreis ist 45€. Übungen- Sachaufgaben (weitere unter www.realmath.de Mathematik Klasse 6 und Klasse 7 ) 1. Ein Grundstück hat eine Größe von 500m2. Das Haus, welches gebaut werden soll, nimmt 22% des Grundstücks ein. Wie groß ist die bebaute Fläche dann? 2. 60% der Schüler eines Gymnasiums sind Mädchen, das sind 390 Schülerinnen. Wie viele Schüler und Schülerinnen besuchen insgesamt das Gymnasium? 3. 22 von 30 Schüler der Klasse 7a haben bei der Wahl des Schülersprechers für Anne gestimmt. Wie viel Prozent der Klasse waren das? 4. In die Klasse 7b gehen 30 Schüler. 12 Schüler kommen mit der Bahn, 8 Schüler kommen mit dem Rad, 6 Schüler kommen zu Fuß, der Rest wird mit dem Auto gebracht. Stelle in einem Kreisdiagramm die prozentualen Anteile dar. 5. Die Miete von Herrn Müller von 380€ wurde um 10% erhöht. Wie viel muss Herr Müller jetzt zahlen? 6. Das Taschengeld von Sonja wurde von 12€ auf 15€ erhöht. a) Um wie viel Prozent wurde das Taschengeld erhöht? b) Auf wie viel Prozent wurde das Taschengeld erhöht? 7. Beim Schlussverkauf wird ein Mantel um 35% reduziert. Er kostet jetzt noch 455€. Wie hoch war der Preis vorher? 8. Im Preis von 1 Liter Benzin sind 70% Mineralölsteuer enthalten. Herr Meier tankt 55 Liter Benzin für 1,56€ je Liter. Wie viel Euro vom Gesamtpreis beträgt die Mineralölsteuer? 9. Im Schlussverkauf wurde ein Mantel von 150€ erst um 20% reduziert und anschließend in einer zweiten Aktion noch einmal um 12%. Wie hoch ist der Preis nach der zweiten Aktion? 10. Der Preis eines Waschmittels wurde von 14,99€ auf 11,99€ gesenkt. Um wie viel Prozent sank der Preis? 11. Rabatt und Skonto Herr Müller bekommt für die Renovierung seines Bades einen Kostenvorabschlag von 8000€ Bruttopreis. Der Anbieter gewährt ihm einen Rabatt von 5% auf den Nettopreis. Sollte er nach Der Renovierung den verbleibenden Betrag innerhalb von 7 Tagen zahlen kann er noch 2% Skonto Vom verbleibenden Betrag ziehen. Wie viel müsste er dann noch bezahlen? Lösungen Berechnung von Prozentwerten G P W 20 40% 8 300 61% 183 5000 85% 4250 750 110% 825 240 62% 148,8 450 300% 1350 300 75% 225 60kg 200% 30kg 5t 35% 14,29t 2000€ 75% 2666,67€ 900mm 18% 5000mm 400ha 450% 88,89ha Berechnung von Grundwerten W P G 50m 2% 2500m 800€ 40% 2000€ Berechnung von Prozentsätzen W G p 40 120 33 13 % 68 950 7,16% 4000 500 800% 500 750 66 23 % 760 900 84,4% 6 32 18,75% 9 45 20% 7,5m 32,5% 2,44m 704€ 120,74% 850€ 75,76kg 33% 25kg 34,5t 120% 41,4t 1126,40€ 62,5% 704€ 99,5cm 42,21% 42cm 9000ha 0,5% 45ha Übung G P W Sachaufgaben 1. 110m2 2. 650 Schüler 3. 73,3% 4. Bahn 40% Rad 26 23 % Zu Fuß 20% Auto 13 13 % 144° 96° 72° 48° Bahn Rad zu Fuß Auto 5. 418€ 6a) um 25% b) auf 125% 7. 700€ 8. 55 1,56€ 85,80€ 9. 1. Aktion: 120€ Mineralölsteuer: 60,06€ 2. Aktion: 105,60€ 10. ≈20% 11. Nettopreis: 6722,69€ 5% Rabatt: 336,13€ 8000€ - 336,13€ = 7663,87€ 2% Skonto: 153,28€ zu zahlender Betrag: 7510,59€ Zinsrechnung Begriffe: Zinsen Z entspricht dem Prozentwert W Zinssatz p entspricht dem Prozentsatz p Kapital K entspricht dem Grundwert G Deshalb lässt sich folgenden Gleichung formulieren: Z K p 100% Damit lassen sich die Jahreszinsen wie folgt berechnen: Z= Kp 100% Für die Berechnung von Monatszinsen gilt: Z Kp m 100% 12 Für die Berechnung von Tageszinsen gilt: Z Kp t 100% 360 m- Anzahl der Monate t- Anzahl der Tage Beispiele: Jahreszinsen 1. Kapital von 200€ soll für ein Jahr zu einem Zinssatz von 3% angelegt werden. Wie hoch sind die Zinsen nach einem Jahr? Z= 200€ 3% 100% Z = 6€ 2. Für einen Anlagebetrag von 5000€ wurden nach einem Jahr 55€ Zinsen gezahlt. Wie hoch war der Zinssatz? p Z 100% 55€ 100% = K 5000€ P = 1,1% 3. Bei einem Zinssatz von 2,5% wurden nach einem Jahr 120€ Zinsen gezahlt. Wie hoch war das Kapital? K Z 100% 120€ 100% = p p 2,5% K = 4800€ Beispiele Monats- und Tageszinsen Ein Kapital von 10000€ soll bei einem Zinssatz von 4% a) für 5 Monate, b) für 120 Tage angelegt werden. Berechne die jeweiligen Zinsen. a) Z 10000€ 4% 5 100% 12 Z = 166,67€ b) Z 10000€ 4% 120 100% 360 Z = 133,33€ ( Rundung nach Rundungsregeln ) Zinsesszinsrechnung Bei der Zinseszinsrechnung werden dem Ausgangskapital am Ende des Jahres die Zinsen dazugerechnet und es entsteht für das nächste Jahr ein verändertes Kapital. Beispiel: Wie groß ist das Kapital, das entsteht, wenn man 20000€ für drei Jahre zu einem Zinssatz von 5% anlegt? 1. Jahr: Z1 20000€ 5% 1000€ 100% K1 20000€ 1000€ 21000€ 2. Jahr Z2 21000€ 5% 1050€ 100% K 2 21000€ 1050€ 22050€ 3. Jahr Z3 22050€ 5% 1102,50€ 100% K 3 22050€ 1102,50€ 23152,50€ Nach drei Jahren beträt das Kapital 23152,50€. Übungen Berechnung von Tages- Monats- und Jahreszinsen Ergänze folgende Tabelle. Runde, falls nötig. K in € P Z in € Zeit t 7000 4% 1 Jahr 15000 6% 500 1 Jahr 300 1 Jahr 5500 2% 8050 4,5% 7 65 Tage Monate 3,4% 65 1 Jahr 19000 8,3% 20000 15% 80000 12% 1 Jahr 30 Tage 8 Monate Sachaufgaben 1. Zum Ausbau eines Geschäftes nimmt Herr Müller ein Darlehen von 7500€ auf. Nach einem Jahr soll er 607,50€ Zinsen zahlen. Zu welchem Zinssatz wurde das Darlehen gewährt? 2. Wie viel Zinsen bringt ein Kapital von 5600€ bei einem Zinssatz von 3,5% in einem Jahr? 3. Welches Kapital müsste man mit 7,5% verzinsen, um nach einem Jahr 300€ Zinsen zu bekommen? 4. Sven spart 560€. Auf das Konto bekommt er 1,2% Zinsen. Wie viel Geld hat er nach einem Jahr? 5. Wie hoch ist ein Kredit, wenn bei einer Verzinsung von 5% nach einem Jahr 2250€ Zinsen zu zahlen sind? 6. Eine Bank zahlt für ein Kapital von 30000€ 4,5% Zinsen. Für einen Kredit in gleicher Höhe verlangt sie 8,4% pro Jahr. Wie groß ist der Gewinn der Bank? 7. Für 1200€ bekommt Alex nach einem Jahr 76,80€ Zinsen. Wie muss sich der Zinssatz ändern, enn Alex 6€ mehr bekommen will? 8. Frau Müller braucht für den Kauf einer Küche 20000€. Die Hälfte hat sie gespart. Für die andere Hälfte nimmt sie einen Kredit für 6 Monate zu einem Zinssatz von 5,5%. Wie viel Geld muss sie nach einem halbe Jahr zurück zahlen? 9. Sabine hat ein Konto bei einer Bank und 450€ eingezahlt. Welchen Zinssatz bekommt sie, wenn sie nach einem Jahr 466,65€ zurück bekommt? 10. Ein Kapital von 50000€ soll bei einer Bank für 3 Jahre angelegt werden. Die Bank bietet 2 Varianten an: a) Verzinsung desselben Grundkapitals für 3 Jahre bei einem Zinssatz von 8%( kein Zinseszins), b) Verzinsung mit Zinseszins und steigenden Zinssätzen: 1. Jahr 7,5%, 2. Jahr 8%, 3. Jahr 8,5%. Welches Angebot sollte angenommen werden? Weitere Übungen unter www.real.math.de Lösungen Zinsrechnung K in € P Z in € Zeit t 7000 4% 280 1 Jahr 8333,33 6% 500 1 Jahr 15000 2% 300 1 Jahr 5500 2% 64,17 7 Monate Sachaufgaben- Antwortsätze nicht vergessen 1. 8,1% 2. 196€ 3. 4000€ 4. Z = 6,72€ K = 566,72€ 5. 4500€ 6. Z1 = 1350€ Z2 = 2520€ Gewinn: 1170€ 7. p = 6,9% 8. 10275€ 9. 3,7% 10. Angebot a: K = 62000€ Angebot b: K = 62984,25€ Angebot b sollt angenommen werden. 8050 4,5% 65,41 65 Tage 1911,76 3,4% 65 1 Jahr 19000 8,3% 1577 1 Jahr 20000 15% 250 30 Tage 80000 12% 6400 8 Monate
