Prozent- und zinsrechnung
Werbung
21 Prozentund Zinsrechnung Prozentund Zinsrechnung 2.1 Prozentrechnung Was du schon können musst: Du solltest proportionale Zusammenhänge kennen und wissen, wie man damit rechnet. Außerdem musst du Dreisatzrechnungen rasch und sicher durchführen können. Darum geht es Du lernst die Begriffe der Prozentrechnung kennen und erfährst, wie man mit ihnen rechnen kann. Merksatz Die Angabe „1 Prozent“ bzw. „1 %“ steht für den hundertsten Teil einer Größe oder Zahl. Dabei nennt man die Größe (oder Zahl), die das Ganze darstellt, Grundwert (G). Will man einen Teil des Grundwertes ermitteln, dann berechnet man den Prozentwert (W). Der jeweilige Anteil wird in Prozent angegeben und heißt Prozentsatz (P). Info Das Wort „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „für/von hundert“. Beispiel Berechne 40 % von 320 €. Wenn 1% = 0,01 ist, dann entspricht 40 % = 40 · 0,01 = 0,40; also: 320 € · 0,4 = 128 €; oder mit Dreisatzschluss: 100 % ⇔ s : 10 10 % : 10 s ⇔ s · 4 40 % 24 320 € 32 € · 4 s ⇔ 128 € 40 oder 320 € · ____ 100 . Merksatz Man berechnet den Prozentwert W bei einem Prozentsatz P von einem Grundwert G P mit der Formel: W = G · ____ 100 . 100 Man kann die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes P umstellen: P = W · ____ G . 100 Die Formel zur Berechnung des Grundwertes G lautet: G = W · ____ P . Beispiele: (1)Ein Herrenanzug zum Preis von 275 € wird um 24 % im Preis gesenkt. Wie viele Euro spart der Käufer ein? W = 275 € · 0,24 = 66,00 € Der Käufer spart 66 € ein. (2)Ein Herrenanzug zum Preis von 275 € wird um 66 € billiger verkauft. Wie viel Prozent beträgt die Einsparung? 66 P = ___ 275 · 100 = 0,24 · 100 = 24 Die Einsparung beträgt 24 %. (3)Beim Kauf eines Herrenanzugs wird ein Preisnachlass von 66 € gewährt. Das sind 24 % des ursprünglichen Preises. Berechne den ursprünglichen Preis (Grundwert). 66 G = 100 · __ 24 € = 100 · 2,75 € = 275 € Der Grundpreis beträgt 275 €. Bequeme Prozentsätze Mithilfe bequemer Prozentsätze kann man sich viele Rechenwege vereinfachen beziehungsweise leicht Überschlagsrechnungen ausführen. 2 %:teile G durch 50, denn 2 · 50 = 100 4 %:teile G durch 25, denn 4 · 25 = 100 5 %:teile G durch 20, denn 5 · 20 = 100 10 %:teile G durch 10, denn 10 · 10 = 100 12,5 %:teile G durch 8, denn 12,5 · 8 = 100 25 %:teile G durch 4, denn 25 · 4 = 100 50 %:teile G durch 2, denn 50 · 2 = 100 75 %:multipliziere 25 % mit 3. 1 Berechne mit allen bequemen Prozentsätzen die einzelnen Prozentwerte von G = 800 kg. 25 2 Prozent- und Zinsrechnung 2 Berechne nur mittels Überschlag. a) G = 65,4 m 2:(1)P = 12,1 %; W = (2)P = 48,9 %, W = b) G = 1.234 €: (1)W = 12,20 €; P = (2)W = 312,67 €, P = c) P = 25,3 %: (1)W = 35,60 €; G = (2)G = 24 987 m 3:G = 3 In das Anfangsfeld kann man eine beliebige Größe (oder Zahl) einsetzen. Ergänze, den Pfeilen folgend, die Leerstellen. davon 50 % · 4 davon 10 % davon 100 % · 50 1 davon _3 davon 75 % davon 25 % · 8 davon 20 % 4 Landwirt Petermann … … hat 12,5 % seiner landwirtschaftlichen Nutzfläche, das sind 4,8 ha, mit Raps bestellt. Wie viele Hektar beträgt seine Gesamtfläche? 5 Platz für Blumen 1 Der Schulgarten der Theodor-Körner-Realschule hat eine Fläche von 240 m 2. _ 6 davon entfalle auf den Geräteschuppen, die Wege und den Komposthaufen. Auf 85 % der restlichen Fläche wird Gemüse angebaut. Wie viele Quadratmeter bleiben für Blumen übrig? 6 Geld für die Klassenfahrt Die 7a hat fleißig Altpapier gesammelt und abgeliefert. Davon erzielten sie einen Erlös von 23,75 €. Das sind knapp 8 % der Summe, die für die Klassenfahrt geplant ist. Welcher Betrag ist geplant (runde sinnvoll)? 7 Von 26 Schülern der 7b hatten nur 2 eine Note 1 in der Mathearbeit. Wie viel Prozent sind das (runde sinnvoll)? 8 3 Schüler der Klasse 7c erhielten beim Diktat eine „4“. Das entspricht etwa 8,3 %. Wie viele Schüler nahmen am Diktat teil? 26 Prozent- und Zinsrechnung 9 Im Englisch-Diktat gab es folgende Notenverteilung: Note 1: 3 Schüler; Note 2: 8 Schüler; Note 3: 5 Schüler; Note 4: 3 Schüler; Note 5: 4 Schüler; Note 6: 2 Schüler. a) Gib die Notenverteilung in Prozent an. b) Stelle den Sachverhalt in einem Kreisdiagramm dar. 2.2 Prozentuale Änderung Was du schon können musst: Du solltest die Grundbegriffe und Grundregeln aus der Prozentrechnung kennen. Darum geht es Sicherlich hast du beim Einkaufen schon erlebt, dass Produkte teuerer oder billiger wurden. Hier lernst du, wie du schnell feststellen kannst, wie groß die Änderung der Preise in Prozent war. Die prozentuale Veränderung spielt auch in vielen anderen Bereichen, wo es um Wachstum oder Abnahme geht, eine wichtige Rolle. Regel a)Wird ein Grundwert um P % vermehrt, so erhält man den neuen Wert (Prozentwert), indem man rechnet P 100 . W = G · 1 + ___ b)Wird ein Grundwert um P % vermindert, so erhält man den neuen Wert (Prozentwert), indem man rechnet P W = G · 1 + ___ 100 . ( ) ( ) Anwendungen a)Ein Fahrrad kostet ohne Mehrwertsteuer 450 €. Die Mehrwertsteuer beträgt 19 %. Wie teuer ist das Fahrrad mit Mehrwertsteuer? 19 W = 450 € · 1 + ___ 100 = 450 € · 1,19 = 535,50 €. Das Fahrrad kostet mit Mehrwertsteuer 535,50 €. ( ) 27 2 Prozent- und Zinsrechnung b)Ein Computer kostet ursprünglich 1.290 €. Bei einer Sonderaktion wird der Preis um 15 % gesenkt. Wie teuer ist der Computer nach der Preissenkung? 15 W = 1.290 € · 1 – ___ 100 = 1.290 € · 0,85 = 1.096,50 €. Der Computer kostet nach der Preissenkung 1.096,50 €. ( ) 1 Skonto Ein neuer Fernseher kostet 580 €. Wird er innerhalb von zwei Wochen bezahlt, darf man 2 % Skonto abziehen. Herr Schmidt bezahlt direkt beim Verkauf im Geschäft. Was muss er bezahlen? 2 Mehrwertsteuer Ein Auto wird zu einem Nettopreis von 19.900 € angeboten. Es kommen noch 19 % Mehrwertsteuer hinzu. Wie teuer ist der Wagen? 3 Gehaltserhöhung Herr Kieslowskis monatliches Gehalt ist bei der letzten Lohnerhöhung von 3.200 € auf 3.392 € gestiegen. Frau Wolfs Gehalt stieg zuletzt von 2.800 € auf 2.982 €. Welche Lohnerhöhung ist prozentual höher ausgefallen? 4 Sonderaktion Ein Elektronikkaufhaus wirbt bei einer Sonderaktion mit dem Slogan „Wir erlassen Ihnen die Mehrwertsteuer“. Lena möchte einen MP3-Player kaufen. Er kostet 129 € einschließlich der Mehrwertsteuer von 19 %. Wie viel kostet das Gerät netto? 2.3 Zinsrechnung Was du schon können musst: Du solltest die Grundbegriffe und Grundregeln aus der Prozentrechnung kennen. Darum geht es Wenn man bei einer Sparkasse oder Bank ein Guthaben angelegt hat, erhält man nach Ablauf eines Jahres Zinsen gutgeschrieben. Hier lernst du, Zinsen mithilfe der Prozentrechnung zu bestimmen. 28 Prozent- und Zinsrechnung Merksatz Die Grundbegriffe der Prozentrechnung lassen sich auf die Zinsrechnung übertragen: Grundwert G (100 %) p Kapital K (Guthaben, Spareinlage …) Prozentwert W p Zinsen Z Prozentsatz P p Zinssatz p Beispiel: Herr Förster bekommt für seine Spareinlage K = 1.807,50 € pro Jahr (p. a.: von latei1 nisch per annum „pro Jahr“) Zinsen mit einem Zinssatz von 3 _ 4 %. Wir berechnen seine Zinsen nach Ablauf eines Kalenderjahres. 3,25 Z = 1.807,50 € · ___ 100 = 1.807,50 € · 0,0325 = 58,74 € Herr Förster besitzt nach Ablauf eines Jahres nun ein Guthaben von 1.807,50 € + 58,74 € = 1.866,24 €. Merksatz Berechnung der Jahreszinsen Z von einem Kapital K zu einem Zinssatz p %. p Z = K · ____ . 100 100 Man kann die Formel zur Berechnung des Kapitals K umstellen: K = Z · ____ p . 100 Umstellung zur Berechnung des Zinssatzes p: p = Z · ____ K . Beispiele: (1)Frau Fröhlich erhält auf ihr Sparguthaben in Höhe von 10.580 € von ihrer Sparkasse für ein Jahr 290,95 € an Zinsen. Herr Schmidt bekommt für 8.750 € von seiner Bank 262,50 € Zinsen. Welcher Zinssatz ist besser? 100 Frau Fröhlich: p = 290,95 € · ______ = 2,75 10.580 € Das ist ein Zinssatz von 2,75 %. 100 Herr Schmidt: p = 262,50 € · _____ = 3,0. 8.750 € Das ist ein Zinssatz von 3 %. Eine Spareinlage bei der Bank wäre demnach günstiger. (2)Welche Spareinlage hat Claudia vor einem Jahr vorgenommen, wenn sie bei einem Zinssatz von 3,25 % Zinsen in Höhe von 28,43 € erhält? 100 K = 28,43 € · ___ = 874,77 € 3,25 Claudia hat 874,77 € angelegt. 29 4 2 1 Prozent- und Zinsrechnung 1 Berechne die Jahreszinsen für folgende Guthaben bei einem Zinssatz von 3,5 %. a) 375 € b) 4.500 € c) 23.550 €. 2 Gut angelegt Tommy freut sich über 98,75 € Zinsen bei einem Zinssatz von 4 %. Berechne sein Gut­ haben vom Vorjahresende. 3 Welcher Zinssatz wurde gewährt, wenn 23.550 € im Jahr 942 € Zinsen bringen? 4 Ergänze die Tabelle. Kapital 4.250 € Zinssatz 4 % Zinsen 975 € 3,75 % 412,50 € 31,69 € 2.4Zinsrechnung – Monats- und Tageszinsen Was du schon können musst: Du solltest die Grundbegriffe und Grundregeln aus der Prozentrechnung kennen. Darum geht es Leiht man sich bei Bank Geld, so verlangt diese im Gegenzug Zinsen. Die Zinsen werden sehr häufig nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern auch für Monate und Tage. Hier erfährst Du, wie dies funktioniert. Berechnung von Monatszinsen Nadine hat zum Jahresbeginn 250 € auf ihrem Sparbuch. Im Laufe des Jahres zahlt sie nichts ein und hebt nichts ab. Nach fünf Monaten möchte sie eine neue Digitalkamera für 259 € kaufen und das Geld vom Sparbuch nehmen. Sind inzwischen genügend Zinsen hinzugekommen, um die Kamera zu kaufen, wenn der Zinssatz für das Sparbuch 3 % beträgt? 30 Prozent- und Zinsrechnung Lösung: 5 Wir berechnen die Zinsen wie für ein Jahr, multiplizieren jedoch noch mit __ 12 um die fünf Monate zu berücksichtigen. 3 ___ 5 Zinsen ( Z t )= 250 € · ____ 100 · 12 = 3,125 € ≈ 3,13 €. Nadine erhält in fünf Monaten 3,13 € Zinsen. Das reicht nicht, um die Digitalkamera mit dem Geld auf dem Sparbuch zu kaufen. Regeln Berechnung der Monatszinsen. Gegeben sind Kapital K, Zinssatz p %, Laufzeit t Monate. Gesucht: Zinsen Z t. p t Z t= K · ___ 100 · __ 12 Die Formel lässt sich zur Berechnung des Kapitals umstellen. Berechnung des Kapitals. Gegeben sind Zinsen Z t, Zinssatz p %, Laufzeit t Monate. Gesucht: Kapital K. 100 12 K = Z t· ___ p · __ t Die Formel lässt sich auch zur Berechnung des Zinssatzes p % umstellen. Berechnung des Zinssatz p %. Gegeben sind Kapital K, Zinsen Z t, Laufzeit t Monate. Gesucht: Zinssatz p % 100 12 p = Z t· ___ K · __ t Anwendungen der Regeln (1) Eine Bank bietet für ein Vierteljahr einen Zinssatz von 3,2 % an. Welche Summe muss Herr Mayer anlegen, wenn er 120 € Zinsen für diesen Zeitraum erhalten möchte? 100 ___ 12 Lösung: K = 120 € · ____ 3,2 · 3 = 15.000 €. Herr Mayer muss 15.000 € anlegen. (2) Ein Darlehen über 8.000 € soll nach 9 Monaten mit 8.420 € zurückgezahlt werden. Welchem Zinssatz entspricht das? 100 ___ 12 Lösung: p = 420 € · _____ 8 000 · 9 = 7. Der Zinssatz beträgt 7 %. 31 2 Prozent- und Zinsrechnung Berechung von Tageszinsen Die Berechnung von Tageszinsen ist ähnlich zu der Berechung von Monatszinsen. Jedoch anders als das Kalenderjahr rechnen die Banken nicht mit 365 Tagen, sondern mit 360 Tagen. Ein Monat wird mit 30 Tagen gezählt. Folgende Formeln ergeben sich daher: Regeln Berechnung der Tageszinsen. Gegeben sind Kapital K, Zinssatz p %, Laufzeit t Tage Gesucht: Zinsen Z t(1). p t Z t= K · ___ 100 · ___ 360 Berechnung des Kapitals. Gegeben sind Zinsen Z t , Zinssatz p %, Laufzeit t Monate. Gesucht: Kapital K (2) 100 360 K = Z t· ___ p · ___ t Berechnung des Zinssatz p %. Gegeben sind Kapital K, Zinsen Z t , Laufzeit t Monate. Gesucht: Zinssatz p % (3) 100 360 p = Z t· ___ K · ___ t Anwendungen der Regeln (1) Guila hat 4 Monate und 18 Tage lang 210 € auf dem Sparbuch. Berechne die Zinsen bei einem Zinssatz von 2,5 %. 2,5 38 100 · 1 ____ Lösung: Z t= 210 € · ____ 360 ≈ 2,01 €. Sie erhält in diesem Zeitraum 2,01 € Zinsen. (2) Frau Hager hat ihr Gehaltskonto 45 Tage lang überzogen. Bei einem Zinssatz von 11,5 % berechnet die Bank 6,90 € Zinsen. Um wie viel Euro hat sie ihr Konto überzogen? 100 360 Lösung: K = 6,90 € · ____ 11,5 · ____ 45 = 480 €. Sie hat ihr Konto um 480 € überzogen. (3) Das Bergmann-Kreditinstitut bietet folgendes Angebot: Bei uns kostet ein Kredit über 2.000 € nur 1 € Zinsen am Tag! Wie hoch ist der Zinssatz? 360 100 ____ = 18. Der Zinssatz beträgt 18 %. · 1 Lösung: p = 1 € · _____ 2 000 32 Prozent- und Zinsrechnung 1 Herr Schmidt hat sein Konto für 4 Monate um 2.500 € überzogen. Die Bank verlangt von ihm 8 % Zinsen. Wieviel Zinsen muss er zahlen? 2 Berechne die Monatszinsen für ein Sparbuch mit einem Zinssatz von 2,5 %. a) Fabian hat 9 Monate lang 600 € auf seinem Sparbuch. b) Aylin hat 11 Monate lang 450 € auf ihrem Sparbuch. 3 Ergänze die folgende Tabelle. a) b) c) Kapital 200 € Zinssatz 2% 2,5 € Laufzeit 5 Monate 3 Monate 7 Monate 7,50 € 525 € Monatszinsen 22.500 € 4 Berechne die Tageszinsen für ein Sparbuch mit einem Zinssatz von 2,5 %. a) Jakob hat 20 Tage lang 600 € auf seinem Sparbuch. b) Sarah hat 11 Monate und 10 Tage lang 450 € auf ihrem Sparbuch. 5 Ergänze folgende Tabelle. a) b) c) Kapital 200 € 1.200 € 22.500 € Zinssatz 2 % Laufzeit 150 Tage Tageszinsen 4 % 21 Tage 1,75 € 2,50 € 6 Familie Ortner will ein neues Auto kaufen. Sie kann den Verkaufspreis von 24.500 € nicht sofort bezahlen. Das Autohaus Rottmayer bietet an: 12.500 € werden sofort bezahlt. Der Rest ist bei einem Zinssatz von 4,5 % in 12 Monatsraten zu begleichen. Wie hoch ist eine Monatsrate? 33
