Physikalisches Praktikum, FH Münster

Physikalisches Praktikum, FH Münster
Prof.
Dr. H.-CH. Mertins & Dipl.-Ing. M. Gilbert
21.8.2008
Bestimmung der Federkonstanten einer Schraubenfeder
Versuch Nr. M06
Praktikum:
(Pr_EX_M06_Federschwingung)
FB 01
Plätze:
3
1. Ziel
Schwingungen spielen in der gesamten Physik und Technik eine bedeutende Rolle. Als auslösende
Ursache
von
Wellen
stehen
Schwingungen
am
Anfang
vieler
Verfahren
zur
Informations-Übertragung, Lautsprechermembran-Schallwelle, schwingende Ladung in der
Antenne – Radio-Welle. Bei genauer Betrachtung gibt es Nichts, was nicht schwingt.
2 Theorie
Die "einfachste" Schwingung stellt die "harmonische" Schwingung dar, die sich immer dann
ausbilden kann, wenn das schwingungsfähige System bei Auslenkung seiner Ruhelage eine
rücktreibende Kraft erfährt, die seiner Auslenkung
proportional ist. Generell setzt sich ein
mechanisch schwingendes System aus zwei Komponenten zusammen: der trägen (Masse m)
und der rücktreibenden (Feder) Komponente. Die Frequenz, mit der das sich selbst
überlassene System
schwingt, ist
charakteristisch
für
das
System
und heißt daher
"Eigenfrequenz". Eine Voraussetzung für das Verständnis komplexerer gedämpfter oder
angeregter Schwingungen bis hin zur Resonanzkatastrophe ist die Beherrschung der
harmonischen Schwingung, die in diesem Versuch anhand einer einfachen Schraubenfeder
erarbeitet werden soll. Im späteren Praktikum „Erzwungene Schwingungen & Resonanz“
bearbeiten wir die komplexeren Fälle.
2.1 Statische Belastung der Feder
Greift an einer Schraubenfeder eine Kraft F an, so tritt bei der Feder eine Längenänderung x
auf. Die Änderung ist der einwirkenden Kraft proportional (Hooksches Gesetz). In der Feder
entsteht dabei eine Federkraft vom gleichen Betrag, allerdings ist sie der von außen wirkende
Kraft entgegengerichtet. Für diese "rüchtreibende" Federkraft gilt daher
(1)
F  k  x
(Federkraft)
Der Proportionalitätsfaktor k heißt Federkonstante. Sie hängt von
den Abmessungen und Materialeigenschaften der Feder ab. Wird
die Feder vertikal aufgehängt und mit der Masse m beschwert, so
führt die Gravitationsbeschleunigung g zur Gravitationskraft
(2)
Fg  mg
(Gravitationskraft)
zur Auslenkung x, woraus mit Gl. 1 über F  Fg die Federkonstante k
1
berechnet werden kann.
Abb. 1
2.2 Dynamische Belastung der Feder
lenkt man die an der Schraubenfeder hängenden Masse aus seiner Ruhelage x0 um die
Strecke x aus, so erfährt sie, sobald sie losgelassen wird, eine Beschleunigung aufgrund der
rücktreibenden Kraft zurück in die Gleichgewichtslage
a
(3)
d²x
dt ²
(Beschleunigung)
Weil Kraft = Masse x Beschleunigung, folgt:
F   k  x  ma  m
(4)
d ²x
dt ²
=>
(5)
d²x k
 x0
dt ² m
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Funktion x(t), welche die Zeitabhängigkeit der
Bewegung des schwingenden Systems beschreibt (Beweis siehe Vorlesung)
x(t )  x0  sint   
(6)
Diese Funktion werden wir im Praktikum näher untersuchen. Sie ergibt den momentanen Ort
x(t) eines Körpers zu einer Zeit t,. Die maximale Auslenkung aus der Ruhelage x0 = 0 nennt
man die Amplitude. Das Argument
schiebung
 t   
des Sinus heißt Phase. Aus der Phasenver-
 ergibt sich die Startposition x0(t = 0) zur Zeit t = 0. Die Frequenz f und die
Kreisfrequenz  der Schwingung berechnen sich aus den für charakteristischen Größen:
  2 f 
(7)
k
,
m
rad 

  s 
,
[f ]
1
 Hz
s
Die Schwingung ist ein periodischer Vorgang und wiederholt sich daher nach einem Durchlauf
der Periodendauer T, d.h. x(t) = x(t + T). Sie ist dann wieder in der gleichen Phase (gleicher
Ort und gleiche Bewegungsrichtung), Es gilt
(8)
 T  2 
Abb. 2
Daraus ergibt sich die Periodendauer:
(9)
T 
2 
 2  

m
k
Die träge Masse m und die rücktreibende Kraft (Federkonstante k) des schwingungsfähigen
Systems bestimmen also die
Periodendauer T bzw. die Eigenfrequenz . In Abb. 2 ist eine
Sinus-Schwingung gezeigt, bei der die Auslenkung zu Beginn (Zeit t = 0) fast bei –x0 liegt. In
2
unserem Praktikum werden wir die Masse bis –x0 auslenken und dann loslassen und
gleichzeitig die Stoppuhr starten und die Periodendauer T messen.
3. Versuchsdurchführung:
3.1 Statische Messung
Am unteren Ende der Feder ist ein Zeiger angebracht, dessen Stellung an einem Maßstab
abgelesen werden kann. Vermeiden Sie Paralaxefehler.
3.1.1 Es werden acht unterschiedliche Massestücke m auf die Waagschale gelegt und die
Auslenkung x des Zeigers aus der unbelasteten Position in Abhängigkeit von der Masse
gemessen. Hierbei darf die Feder mit max. 50 g belastet werden, ansonsten wird sie
irreparabel zerstört und folgt nicht mehr dem Hookschen Gesetz.
3.1.2 Notieren Sie die Messgenauigkeit in x und in m. Messen Sie die Masse der Schale mSchale .
3.2 Dynamische Messung
3.2.1 Die Schraubenfeder wird mit 8 verschiedenen Massestücken (beginnend mit der
größten erlaubten Masse von 50g) ausgelenkt und in Schwingungen versetzt. Mit einer
Stoppuhr wird die Zeit T10 für 10 Schwingungen (Start und Stop beim jeweiligen
Nulldurchgang!) gemessen und daraus die Periodendauer T bestimmt.
3.2.2 Notieren Sie die Messgenauigkeit in t.
4.Versuchsauswertung:
4.1 Statische Messung
4.1.1 Die Auslenkung x wird als Funktion der Masse m graphisch aufgetragen, durch die
Mess-punkte wird eine ausgleichende Gerade gelegt.
4.1.2 Bestimmen Sie aus der Steigung der Geraden die Federkonstante (Erdbeschleunigung
g = 9.81 m/s2).
4.1.3 Tragen Sie die Fehlerbalken in 4.1.1 ein und bestimmen Sie den Fehler für k.
4.2 Dynamische Messung
Hier wurde die Masse verändert und die Periodendauer gemesen, woraus wir die Federkonstante k bestimmen können, indem wir die Gleichung (9) benutzen. Dazu müssten wir T über
m auftragen. Leider erhalten wir dabei keine einfache Gerade, sondern eine Wurzelfunktion,
und auch die Masse in dieser Gleichung ist die Summe mges = m + mSchale + mFeder. Deshalb
wird die Gleichung linearisiert und in der Form y  ax  b geschrieben, mit y  T
2
und
x
=
m, so dass aus der Steigung der Regressionsgraden die gesuchten Größen ermittelt werden
können.
3
4.2.1 Zeigen Sie, dass die obige Behauptung gilt.
4.2.2 Das Quadrat der Schwingungsdauer T (Gl. 9) wird als Funktion der Masse m graphisch
aufgetragen.
4.2.3 Zeigen sie anhand der Grafik, dass aus dem y-Abschnitt der Anteil der Federmasse
mFeder bestimmt werden kann.
4.2.4 Bestimmen Sie aus der Steigung der Ausgleichdgeraden die Federkonstante k.
4.2.5 Führen Sie eine Fehlerabschätzung und die entsprechende Rechnung zur Fehlerfortpflanzung für k durch.
Die statisch und dynamisch bestimmten Werte für k sind zu vergleichen.
4.2.6 Zeichnen Sie x (t ), v (t ), und F(t )=m  a(t ) gemäß der Bewegungsgleichung (4).
5.1 Fragen: Zulassung

Wie lautet das Hooksche Gesetz ?

Was ist eine Schwingung und wie ist ein schwingendes System grundsätzlich aufgebaut?

Mit welcher Funktion kann ich die zeitliche Abhängigkeit des Ortes x(t) einer harmonischen
Schwingung beschreiben?

Was sind Kreisfrequenz , Frequenz, Periodendauer, Amplitude einer Schwingung?

Wie kann ich ein Masse-Feder-System ändern, um seine Fequenz f zu modifizieren?
4