9. Übungsblatt zur Vorlesung „Physik für Pharmazeuten und Biologen“ Ausgabedatum: Vorlesung am 17. Juni 2013 Besprechung: Übungen am 24. Juni 2013 33 Gedämpfter harmonischer Oszillator Ein gedämpfter harmonischer Oszillator schwinge mit einer Periodendauer von T = 5, 4 s. Die Amplitude nimmt innerhalb der Periodendauer T um 3% ab. Bestimmen Sie in der folgenden Gleichung, welche die Schwingung beschreibt, die Winkelgeschwindigkeit ω und den Dämpfungskoeffizienten δ: x(t) = A0 · sin(ω · t) · e−δ·t 34 Federpendel Eine Waage bestimmt die Masse eines Körpers, indem sie die Gewichtskraft Fg misst und daraus mit Hilfe der Erdbeschleunigung g die Masse m berechnet. Astronauten auf einer Raumstation haben diese Möglichkeit nicht. In der Schwerelosigkeit lässt sich die Körpermasse der Astronauten mit Hilfe einer Feder bestimmen. Die Federkonstante sei bekannt und betrage k = 1 · 104 N m. Reibungsverluste sind in dieser Aufgabe zu vernachlässigen. Die rücktreibende Kraft F einer Feder, die auf einen Massenpunkt m wirkt, der an der Feder befestigt ist, ist direkt proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage x: F (t) = −k · x(t). Daraus resultiert eine harmonische Schwingung, deren zeitlicher Verlauf sich folgendermaßen darstellen lässt: x(t) = A0 · cos(ω · t) mit A0 : Amplitude, mit der die Feder ausgelenkt wurde, ω: Winkelgeschwindigkeit. a) Was ist die Voraussetzung für eine harmonische Schwingung? b) Bestimmen Sie ausgehend von der gegebenen Orts-Zeit-Funktion die Funktionen, die den zeitlichen Verlauf von Geschwindigkeit v und Beschleunigung a beschreiben! Achten Sie hier besonders auf die Vorfaktoren und die Einheiten! c) Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Masse m, der Federkonstanten k und der Periodendauer T ? Setzen Sie hierzu in die Bewegungsgleichung F (t) = m · a(t) die bekannten Funktionen ein und vereinfachen Sie! d) Ein Astronaut möchte in der Schwerelosigkeit seine Masse m bestimmen. Er befestigt sich hierzu an der Feder, versetzt sich in Schwingung und misst die Schwingungsdauer. Sie betrage T = 0, 544 s. Berechnen Sie die Körpermasse m des Astronauten! 35 Federkonstante und Erdbeschleunigung a) Ein Massepunkt der Masse m = 1 kg, der an einem Federpendel befestigt sei, schwinge drei Mal pro Sekunde. Berechnen Sie die Federkonstante D des Federpendels! b) Auf einem fernen Planeten schwinge ein Fadenpendel der Länge l = 2 m mit einer Schwingungsdauer T = 2 s. Berechnen Sie die „Erdbeschleunigung“ g auf diesem Planeten! 36 Dopplereffekt Ein Auto fahre mit der Geschwindigkeit v an einer Verkehrskontrolle vorbei. Doch in diesem Moment versagt das Radarmessgerät. Der musikalisch versierte Polizist nimmt das Motorengeräusch des Autos im Vorbeifahren als große Terz (entspricht einem Frequenzverhältnis von 5/4) wahr. Die erlaubte Höchstgeschwindigkeit an dieser Stelle betrage 100 km h . Kann der Autofahrer wegen überhöhter Geschwindigkeit zur Kasse gebeten werden? Die Schallgeschwindigkeit betrage in dieser Umgebung c = 340 m s .