Technische Universität München Übungsblatt 1

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Mathematik 1 (Elektrotechnik)
Prof. Dr. Anusch Taraz | Dr. Michael Ritter
Übungsblatt 1
Hausaufgaben
Aufgabe 1.1
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n ∈ N gilt
1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n =
n
X
2i = 2n+1 − 1.
i=0
Aufgabe 1.2
Zeigen Sie: Für alle n ∈ N mit n > 4 gilt
2n > n2 .
Aufgabe 1.3
Die Fibonacci-Zahlen F0 , F1 , F2 , . . . sind rekursiv definiert durch die folgende Vorschrift
F0 := 0
F1 := 1
Fn := Fn−1 + Fn−2
Zeigen Sie: Für alle n ∈ N gilt
n
X
für n ≥ 2
(Fi )2 = Fn · Fn+1 .
i=1
Aufgabe 1.4
Was halten Sie von folgendem Beweis? Wo genau steckt der Fehler?
Behauptung: Alle Katzen haben die gleiche Augenfarbe.
Zum Beweis formulieren wir die Behauptung erst ein wenig genauer. Wir werden zeigen:
„Für jedes n ∈ N gilt: Alle Katzen in jeder n-elementigen Menge von Katzen besitzen alle
die gleiche Augenfarbe.“. Wir beweisen diese Aussage mit Induktion über n, damit folgt dann
sofort unsere ursprüngliche Behauptung.
• Der Induktionsanfang ist klar: Für n = 1 besitzen alle Katzen in jeder 1-elementigen
Menge von Katzen die gleiche Augenfarbe.
• Für den Induktionsschritt sei M eine (n + 1)-elementige Menge von Katzen. Wir nummerieren die Katzen in beliebiger Reihenfolge von 1 bis (n + 1) durch und betrachten
die Mengen M1 der ersten n Katzen (also der Katzen 1, . . . , n) und M2 der letzten n
Katzen (also der Katzen 2, . . . , (n + 1)). Auf diese beiden Mengen dürfen wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, also gilt: Alle Katzen in der Menge M1 und alle Katzen
Bitte wenden!
in der Menge M2 besitzen jeweils die gleiche Augenfarbe. Da die zweite Katze in beiden
Mengen enthalten ist, gilt weiter, dass die Augenfarbe aller M1 -Katzen gleich der Augenfarbe aller M2 -Katzen ist. Damit ist aber gezeigt, dass alle Katzen in M die gleiche
Augenfarbe besitzen. Da M eine beliebige (n + 1)-elementige Katzenmenge war, zeigt
das die Behauptung.
Aufgaben für die Tutorübung
Aufgabe 1.5
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle a ∈ N und alle n ∈ N ist (2a − 1)n − 1 eine
gerade Zahl.
Aufgabe 1.6
Zeigen Sie: Für jedes n ∈ N hat die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen den
Wert n2 .
Aufgabe 1.7
Bestimmen Sie jeweils alle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen und Ungleichungen
und kennzeichnen Sie jeweils die Lösungsmengen auf der Zahlengeraden.
a) 7 − 6x = 2x + 3
c) |1 − x| ≤ 1 + 2x
b) x2 − x − 6 > 0
d) x |x| = 12 x3
Aufgabe 1.8
Gegeben seien die folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:
A := {x ∈ R : −2 < x < 5}
n
o
C := x ∈ R : x2 ≤ 4
B := {x ∈ R : 1 ≥ x}
n
o
D := x ∈ R : x2 > 1
Bestimmen Sie jeweils die folgenden Mengen und skizzieren Sie diese auf der Zahlengerade:
a) A ∩ B
c) B \ C
e) C ∩ (A ∪ B)
b) A ∪ D
d) D \ (A ∩ B)
f) (R \ (A ∩ B)) ∪ (C ∩ D)
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bis Mittwoch, den 28.10.2009, 18:00 Uhr, ab.