Aufgaben zur Vorbereitung Abschlussklausur am 09.08.2014 (Teil 2)

Mathematik II für Studierende der Informatik
(Analysis und Lineare Algebra)
Steven Köhler
Sommersemester 2014
Aufgaben zur Vorbereitung der Abschlussklausur am 09.08.2014 (Teil 2)
1. a) Bestimme diejenigen x ∈ R \ −3 , die die Ungleichung
|x − 2|
≤7
x+3
erfüllen. Mit L sei die Menge dieser x bezeichnet. Gib L in Intervallschreibweise an.
b) Bestimme alle x ∈ R, für die |3x − 2| ≥ 4 gilt. Gib das Ergebnis in Intervallschreibweise an.
2. a) Differenziere die folgenden Funktionen
√
2
(i) f (x) = cos ( 3 x) · e−x
x7 + 1
(ii) f (x) =
(x > 1)
ln x
arcsin (x2 )
(iii) g(x) = xe − π
b) Berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung:
2
h(x, y, z) = y sin xzex+y + z 2 .
Z
e
b) Berechne
Z3
11x − 5
dx.
x2 + 1
c) Berechne
Z
2x − 5
dx.
x2 − 6x + 10
3. a) Berechne
√
9x+1
dx.
2
4. Entscheide, ob die folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
∞
i
X
(−1)
i=1
5i+1
Falls Konvergenz vorliegt, so ermittle man den Grenzwert. Falls Divergenz vorliegt, so begründe man,
weshalb dies der Fall ist.
5. a) Entscheide für die folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind. Gib (möglichst kurze) Begründungen für deine Antworten.
(i) 5n2 + n + 1 = O(n2 )
(ii) log2 (n3 ) = O(log2 (n))
√
(iii) 10 n = O(2n )
b) Wir betrachten die Funktion f : (0, ∞) → R, die durch
f (x) = ex ln (2x)
gegeben ist. Bestimme, falls vorhanden, die lokalen Minima und Maxima dieser Funktion. Bestimme eine möglichst große Teilmenge des Definitionsbereichs von f , auf der f konvex ist.
c) Beschreibe die folgende Teilmenge der komplexen Zahlen durch geometrische Begriffe (wie z.B.
Abstand, Punkt, Gerade, Ebene, Radius, . . .):
n
o
M = z ∈ C : |3i − z| = |5i − z| .
6. a) Berechne die Taylorpolynome T0 (x), . . . , T3 (x) für
√
3
x + 1 an der Stelle x0 = 0.
b) Bestimme die folgenden Grenzwerte:
x2 − 4x + 3
(i) lim
x→1 x4 + x2 − x − 1
1
(ii) lim (1 + 11x) 4x
x→0
7. Berechne die folgenden Grenzwerte:
x
e + e−2x
a) lim
x→0 x2 + 3x + 1
x
e − e−2x
b) lim
x→0
x2 + 3x
3
2x + x + 5
c) lim
x→∞
ln x
1
1
d) lim √ −
x→0
x ln x
8. Bestimme die stationären Stellen der Funktion f : R2 → R, f (x, y) = 3x2 − y 2 unter der Nebenbedingung −x + y = −2:
(a) mithilfe der Lagrangeschen Multiplikatorenregel;
(b) ohne die Lagrangesche Multiplikatorenregel;
(c) Enscheide: Minimum, Maximum oder kein lokales Extremum.
9. Bestimme die stationären Stellen für die Funktion f : R3 → R und entscheide, ob lokale Minima oder
Maxima vorliegen:
f (x, y, z) = −2x2 − 3y 2 − z 2 + 2xz + 2x + 8y.