und eine (quadratische) Einheitsmatrix 1=(lij) mit ∀ 1 i = j 0 i = j

und eine (quadratische) Einheitsmatrix
1̂ = (lij ) mit ∀i=1,...,n ∀j=1,...,n lij = δij ,
δij =
(
1
0
i=j
,
i 6= j
wobei δij das sog. Kronecker-Symbol (Kronecker-Delta) ist.
Bemerkung — Für entsprechend dimensionierte Nullmatrizen und Einheits-
matrizen gilt:
 = |{z}
0̂ = |{z}
 |{z}
0̂
0̂ |{z}
|{z}
n×n n×m
und
n×m
n×m m×m
 = |{z}
1̂ = |{z}
1̂ |{z}
 |{z}
 .
|{z}
n×n n×m
n×m m×m
n×m
Bemerkung — Die Addition von Matrizen ist assoziativ
(Â + B̂) + Ĉ = Â + (B̂ + Ĉ)
und kommutativ
 + B̂ = B̂ +  .
Bemerkung — Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ ((ÂB̂)Ĉ = Â(B̂ Ĉ))
aber im allgemeinen nicht kommutativ! Ein nicht verschwindender Kommutator
[Â, B̂] := ÂB̂ − B̂ Â
ist Ausdruck für die Nichtvertauschbarkeit zweier Matrizen bei Multiplikation.
Beispiel 1.8 — Nichtkommutativität der Matrizenmultiplikation:
 =
0 1
1 0
!
,
B̂ =
1 0
0 −1
!
⇒
ÂB̂ =
0 −1
1 0
!
= −B̂ Â
Bemerkung — Wird eine Summe von Matrizen mit einer Zahl multipliziert,
so gilt das Distributivgesetz:
α( + B̂) = α + αB̂ .
Ein weiteres Distributivgesetz gilt, wenn eine Summe von Zahlen mit einer
Matrix multipliziert wird:
(α + β) = α + β  .
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Ferner gilt auch Distributivität, wenn eine Summe von Matrizen mit einer
Matrix multipliziert wird
Â(B̂ + Ĉ) = ÂB̂ + ÂĈ
bzw. (Â + B̂)Ĉ = ÂĈ + B̂ Ĉ .
Es wurde ja schon einige Male festgestellt, dass die Koeffizienten von Matrizen allgemein Elemente aus einem Körper sein können und nicht nur auf etwa reelle Zahlen
beschränkt sind. In der Folge wollen wir uns genauer ansehen, was man unter einem
“Körper” versteht. Bevor wir die algebraische Struktur eines Körpers untersuchen, ist
es allerdings zweckmäßig den Begriff der Gruppe einzuführen.
Definition 1.4 — Eine Gruppe besteht aus einer nicht-leeren Menge G und
einer Verknüpfung, die jedem geordneten Paar (a, b) von Elementen aus
G eindeutig ein mit a ◦ b bezeichnetes Element aus G zuordnet. Formal
stellt die Verknüpfung ◦ eine Abbildung der Produktmenge G × G in G
dar,
◦:
G×G→G
(a, b) 7→ a ◦ b
(Abgeschlossenheit)
die folgende Eigenschaften aufweisen soll:
i) ∀ a, b, c ∈ G : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
(Assoziativität)
ii) ∃ e ∈ G : e ◦ a = a ◦ e = a , ∀ a ∈ G
(neutrales Element)
iii) ∀ a ∈ G ∃ a−1 ∈ G : a−1 ◦ a = a ◦ a−1 = e
(inverses Element)
Gilt zusätzlich die Eigenschaft
iv) ∀ a, b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a
(Kommutativität)
so spricht man von einer kommutativen (oder abelschen) Gruppe.
Bemerkung — Es existiert genau ein neutrales Element e. Zu jedem a ∈ G
gibt es genau ein a−1 .
Beispiel 1.9 — Die ganzen Zahlen mit der üblichen Addition als Verknüpfung
bilden eine Gruppe (Z, +). Analoges gilt für (Q, +), (R, +), (C, +). In
allen Fällen ist e = 0 und a−1 = −a.
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Beispiel 1.10 — (N, +) bildet keine Gruppe, da 0 ∈
/ N und somit kein neutrales
Element in N vorhanden ist. (N0 , +) mit N0 = N ∪ {0} weist zwar ein
neutrales Element auf, es fehlen aber noch immer die inversen Elemente.
Es ist also auch keine Gruppe.
Beispiel 1.11 — Rationale Zahlen ohne Null mit der üblichen Multiplikation als
Verknüpfung bilden eine Gruppe (Q\{0}, ·). Analoges gilt für (R\{0}, ·),
(C \ {0}, ·). In allen Fällen ist e = 1 und a−1 = 1/a.
Beispiel 1.12 — Ganze Zahlen ohne Null (Z \ {0}, ·) mit der üblichen Multi-
plikation als Verknüpfung bilden keine Gruppe. Es gibt zwar ein neutrales
Element, aber i.a. (außer für 1) kein inverses.
Beispiel 1.13 — Die Menge aller n × m-Matrizen mit ganzzahligen Matrixele-
menten ({Â | Â ist eine n × m-Matrix mit aij ∈ Z}, +) ist mit der oben
definierten, elementweisen Matrizenaddition eine Gruppe. Analoges gilt
für aij ∈ Q, R, oder C.
Beispiel 1.14 — (General Lineare Group) Reelle, quadratische n × n Matrizen
mit nicht-verschwindender Determinante bilden bezüglich der oben definierten Matrizenmultiplikation eine Gruppe:
GL(n, R) := ({ |  ist n × n-Matrix mit aij ∈ R und det  6= 0}, ·)
Die Forderung det  6= 0 garantiert für jede Matrix  die Existenz ihrer
inversen Matrix Â−1 , sodass  · Â−1 = Â−1 ·  = 1̂. Die praktische
Berechnung von Â−1 wird weiter unten besprochen.
Beispiel 1.15 — (Symmetrische Gruppe) Die Menge aller Permutationen von
n Elementen Sn (siehe Definition 1.3) bildet bezüglich der Hintereinanderausführung ◦ die sog. “symmetrische Gruppe” (Sn , ◦) (oder kurz Sn ).
Wir wollen uns als Beispiel S3 ansehen. In Beispiel 1.5 wurden die 3! = 6
möglichen Permutation mit πi , i = 1, 2, . . . , 6 bezeichnet. Jedes der πi s
ist eine Abbildung, welche die Zahlenmenge I3 = {1, 2, 3} eineindeutig
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auf sich selbst abbildet.

1

π2 = ↓
2
Betrachten wir etwa



2 3
1 2 3



↓ ↓ und π4 = ↓ ↓ ↓ .
3 1
2 1 3
Das bedeutet zum Beispiel
π2 (3) = 1 und π4 (1) = 2 .
Die Hintereinanderasuführung dieser beiden Abbildungen auf 3 angewandt liefert nun
π4 ◦ π2 (3) = π4 (π2 (3)) = π4 (1) = 2 .
Wenn wir nun rausfinden wollen, welche Permutation π4 ◦ π2 ist, müssen
wir analog die Bilder von 1 und 2 bei Hintereinanderausführung von π2
und π4 berechnen. Das können wir in einem Zug erledigen, indem wir wir
die zweizeilige Schreibweise für Permutationen benutzen:

 
 

1 2 3
1 2 3
1 2 3

 
 

π4 ◦ π2 = ↓ ↓ ↓ ◦ ↓ ↓ ↓ = ↓ ↓ ↓ = π5 .
1 3 2
2 3 1
2 1 3
Dabei ist die Permutation, die rechts steht, zuerst auszuführen. Wir
können nun alle möglichen paarweisen Verknüpfungen betrachten, und
diese in einer sog. Gruppentafel zusammenfassen:
◦
π1
π2
π3
π4
π5
π6
π1
π1
π2
π3
π4
π5
π6
π2
π2
π3
π1
π5
π6
π4
π3
π3
π1
π2
π6
π4
π5
π4
π4
π6
π5
π1
π3
π2
π5
π5
π4
π6
π2
π1
π3
π6
π6
π5
π4
π3
π2
π1
Dabei ist die Permutation, die in der ersten Spalte steht auf die Permutation, die in der ersten Zeile steht angewandt worden.
Generell lassen sich für endliche Gruppen solche Gruppentafeln aufstellen.
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