Ubungsaufgaben " Numerische Mathematik II\

Prof. Dr. A. Voigt
Institut f
ur Wissenschaftliches Rechnen
SS 2012

Ubungsaufgaben
Numerische Mathematik II\
"
07.-11. Mai 2012 (Optimierungsaufgaben)
Aufgaben mit sind Zusatzaufgaben.

3. Ubungsblatt:
1.
Eine Menge S Rn heit konvexe Menge, falls mit beliebigen Punkten x; y 2 S auch
stets die gesamte Verbindungsstrecke
[x; y ] := fz := (1
)x + y : 2 [0; 1]g
in S enthalten ist, d.h. x; y 2 S ) [x; y ] S . Sei im folgenden S oene, konvexe
Menge. Eine Funktion f : S ! R heit konvex, falls
x; y 2 S ) f ((1 )x + y) (1 )f (x) + f (y);
gilt und f heit streng
konvex, falls
8 2 [0; 1]
x; y 2 S; x 6= y ) f ((1 )x + y) < (1 )f (x) + f (y);
8 2 (0; 1):
Zeigen Sie
(a) Ist die Funktion f dierenzierbar, dann ist f genau dann konvex uber S , wenn
f (y) f (x) + hf 0 (x); y
xi;
fur alle x; y 2 S
gilt.
(b) Ist f 2 C 2 (S ) (also zweimal stetig dierenzierbar in S ), dann ist f genau dann
konvex uber S , wenn
f 00 (x)
ist positiv semidenit fur alle x 2 S:
(c) Es seien gi : S ! R; i = 1 : m konvexe Funktionen. Die Menge
G := fx 2 S : g (x) 0; i = 1 : mg
i
bildet dann eine konvexe Menge.
(d) Die Funktion f sei konvex uber Rn und dierenzierbar. Dann ist die Bedingung
f 0 (x ) = 0 notwendig und hinreichend dafur, dass x eine lokale Losung von
f (x) ! min; x 2 Rn ist.
2.
Welche der folgenden Funktionen sind konvex, streng konvex, konkav oder streng konkav in R2 , bzw. R3 ?
(a) f1 (x1 ; x2 ) := x21 + 2x1 x2 10x1 + 5x2
(b) f2 (x1 ; x2 ; x3 ) := x1 x2 + 2x21 + x22 + 2x23 + 3x1 x3
x2 x3
Bemerkung: f ist konkav , f ist konvex.
3.
4.
Sei k k eine beliebige Norm auf Rn und y 2 Rn . Zeigen Sie, dass die Funktion f (x) :=
kx yk konvex, aber nicht streng konvex auf Rn ist und dass die Niveaumengen von
f kompakt sind.
Eine quadratische Funktion q : Rn ! R sei durch
1
2
q(x) := x> Ax + b> x + c
gegeben, mit einer symmetrischen Matrix A 2 Rnn ; b 2 Rn und c 2 R.
5.
(a) Berechnen Sie den Gradienten und die Hessematrix von q . Versuchen Sie dies,
ohne die Funktion komponentenweise abzuleiten.
(b) Sei A positiv denit, d.h. x> Ax > 0 8x 6= 0, und x := A 1 b. Zeigen Sie, dass
x das globale Minimum von q ist.
Fuhren Sie von x0 = (1:2; 1)> ausgehend zwei Schritte des Newtonverfahrens zur
Losung des Rosenbrock-Problems
f (x) := (x1
x21 )2 ! min
1)2 + 100(x2
bei
x 2 R2
aus.
6.
Fur ein Abstiegsverfahren xk+1 = xk + k dk mit den Richtungen dk := f 0 (xk ) (Gradientenverfahren) wahle man das k gema dem Armijo-Prinzip. Dazu sei eine Testmenge
k
K := f2 j gjjmax
=0 R+ und jmax > 0 fest vorgegeben. Die Schrittweite bestimme man
nun durch
:= maxf 2 K : f (x + d ) f (x ) + hf 0 (x ); d
k
k
k
k
k
k
ig
fur ein festes 2 (0; 1).
Mit Hilfe dieses Verfahrens ist die Aufgabe
f (x) := x21 + x1 x2 + (1 + x2 )2 ! min
bei
x 2 R2
zu behandeln. Dabei sei x0 = (1; 1)> als Startvektor vorgegeben und man fuhre einige
Schritte mit der obigen Armijo-Schrittweitenwahl mit = 0:3 und jmax = 4 durch.
Man vergleiche dies mit einem Gradientenabstieg mit fester Schrittweite k 1.
7.
Gegeben sei die Optimierungsaufgabe
f (x) := 2x21 + x22 ! min
bei
x 2 G := fx 2 R2 : 1 x1
x2 0g;
und wir wahlen eine Straunktion
w (x) := r (maxf0; 1 x1
k
k
x2 g)2
mit Parametern rk > 0; rk ! 1:
Man stelle das unrestringierte Ersatzproblem
T (x) := f (x) + w (x) ! min
k
k
bei
x 2 R2
auf und bestimme die kritischen Punkte xk , fur die gilt rTk (xk ) = 0. Weiterhin bestimme man den Grenzwert xk ! x (sofern er existiert) und untersuche die Kondition
der auftretenden linearen Gleichungssysteme.
8.
Minimiere f (x) := x unter der Nebenbedingung x 1 = 0; x 2 R. Stelle dazu eine
Ersatzzielfunktion T (x; r) mit Hilfe einer geeigneten Straunktion und einem PenaltyParameter r > 0 auf. Man skizziere die neue Zielfunktion fur verschiedene Parameter
r und bestimme die Losung des ursprunglichen Problems.