Grundlagen der Optimierung

Technische Universität Chemnitz
Dr. S.-M. Grad, Dr. E. R. Csetnek
Chemnitz, 19.10.2010
Abgabe bis 27.10.2010
Grundlagen der Optimierung
Übung 3 [01.11.2010]
1. Bestimme für folgende Funktionen von Rn nach R, für welche Parameter (a ∈ Rn , b ∈ R,
Q ∈ Rn×n mit Q = QT , S ⊆ Rn ) sie auf ihrem Definitionsbereich konvex, konkav oder
weder noch sind
i) f (x) = aT x + b;
(1 Punkt)
ii) f (x) = xT Qx + aT x + b;
(2 Punkte)
ak2 ;
iii) f (x) = kx −
0,
x ∈ S,
iv) δS (x) =
(die Indikatorfunktion der Menge S)
+∞, x ∈
/ S.
(2 Punkte)
(2 Punkte)
2. Für i = 1, . . . , k, P
seien fi : Rn → R konvexe Funktionen und αi nicht-negative reele Zahlen.
(1 Punkt)
Zeige, dass f := ki=1 αi fi konvex ist.
3. Bestimme Gradienten und Hessematrix folgender Funktionen
i) f1 (x) = 12 xT Qx + bT x + d für Q ∈ Rn×n , b ∈ Rn und d ∈ R; wie vereinfacht sich die
Darstellung, falls Q = QT vorausgesetzt wird?
ii) f2 (x, y) = (1 − x)2 + 100(y − x2 )2 (die Rosenbrockfunktion).
3
, d = 2 und Q =
Zeichne f1 für b =
1
5 −3
;
a)
−3 4
5 −3
b)
;
−3 1
5 −3
c)
;
−3 −4
−5 −3
d)
;
−3 −4
auf [−10, 10] × [−10, 10] und f2 auf [−2, 2] × [−2, 2]. Nutze dazu die Matlab Funktionen mesh und contour (es ist günstig, geeignete Niveaus vorzugeben; siehe Beispieldatei
Plot Himmelblau.m).
(4 Punkte)
4. Besitzt die Funktion f : R2 → R, f (x, y) = (x − y 2 )(2x − y 2 ) im Punkt (0, 0) ein lokales
Minimum (Begründung!)?
(2 Punkte)
5. Bestimmen Sie die Extrempunkte von f : R2 → R, f (x, y) = x4 + y 4 − 4c2 xy, mit c ∈ R.
(2 Punkte)
1