Ubungsblatt 10 - Mathematisches Institut

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Infinitesimalrechnung I
16.11.2012
Übungsblatt 10
Abgabe: Bereits am Donnesrtag den 29.11. in der Vorlesung oder bis 12:00
Uhr im Mathematischen Institut (in das jeweilige Assistentenfach beim Eingang).
Bemerkung: Am Freitag den 30.11. (dies academicus) finden keine Vorlesungen statt!
Aufgabe 1. Wende die Regel von Bernoulli–de l’Hospital an, um die folgenden
Grenzwerte zu bestimmen:
1
,
a) lim (x cot x), b) lim cot x −
x→0
x→0
x
q
√
√
1
1
c) lim
− 2 , d) lim
x+ x− x .
x→+∞
x→0 sin2 x
x
Wie üblich bezeichnet cot x =
1
tan x
den Cotangens für x ∈ R mit tan x 6= 0.
Aufgabe 2. Sei f : R>0 → R die durch
f (x) =
log x
x
definierte Funktion.
a) Bestimme alle lokalen und absoluten Extrema von f .
b) Bestimme die maximalen Intervalle I ⊂ R>0 , in denen f konvex bzw. konkav
ist.
Aufgabe 3. Zeige die Ungleichung
sin x ≥
2
π
x für 0 ≤ x ≤ .
π
2
Hinweis: Konkavität!
Aufgabe 4. Es sei a, b, c ≥ 0 reelle Zahlen. Beweise die Ungleichung
3
a+b+c
a3 + b3 + c3
≤
.
3
3
Ausserdem: Formuliere und beweise eine möglichst allgemeine Ungleichung dieser
Art.
*Aufgabe 5. Sei f : R → R konvex. Beweise die folgenden Aussagen bzw. gib ein
Beispiel.
a) Jedes lokale Minimum von f ist ein globales Minimum.
b) Ist f strikt konvex, so hat f höchstens eine Minimalstelle.
c) Finde eine konvexe Funktion f : R → R, die keine Extremwerte annimmt.
1
2
Hinweis zu b): Nehme an f habe zwei Minimalstellen x1 and x2 . Nach a) gilt
f (x1 ) = f (x2 ). Leite aus x1 6= x2 einen Widerspruch her, falls f strikt konvex ist.
*Aufgabe 6. Seien I, J ⊂ R Intervalle und f : I → R und g : J → R zwei
konvexe Funktionen mit f (I) ⊂ J. Zeige, ist g zudem monoton wachsend, so ist
die Verkettung g ◦ f : I → R ebenfalls eine konvexe Funktion.
Ausserdem gib ein Beispiel an, bei dem f und g lediglich konvex sind, aber g ◦ f
keine konvexe Funktion ist.