Prof. Dr. U. Faigle B. Wienand WS 2004/5 4. Übung zur Vorlesung “ Spieltheorie und Begriffsanalyse” Abgabe und Besprechung am Donnerstag, dem 11. November um 14:00 Uhr im Seminarraum des ZAIK Aufgabe 1 (Zahlen) L R Zeigen Sie, dass jede Zahl G = {g1L , ..., gm |g1 , ..., gnR } äquivalent zu einer Zahl der Form {g L |g R } ist. Aufgabe 2 (Intervallordnungen) Geben Sie ein Beispiel einer Halbordnung an, die keine Intervallordnung darstellt. Aufgabe 3 a) Zeigen Sie, dass eine Menge C genau dann konvex ist, wenn für alle x 1 , ..., xk ∈ C und λ aus dem Standartsimplex ∆k gilt λ1 x1 + ... + λk xk ∈ C. b) Zeigen Sie, dass eine Funktion f : Rn → R genau dann konvex ist, wenn für alle x1 , ..., xk ∈ Rn und λ aus dem Standartsimplex ∆k gilt f (λ1 x1 + ... + λk xk ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λk f (xk ). c) Für eine Funktion f : Rn → R bezeichnet der Epigraph von f die auf Rn+1 definierte Menge epi(f ) = {(x, z)|x ∈ Rn , z ∈ R, z ≥ f (x)}. Zeigen Sie, dass f als Funktion genau dann konvex ist, wenn epi(f ) als Menge konvex ist. 1 Aufgabe 4 (Bodlaenders Spiel) Die beiden Spieler L und R färben abwechselnd die Knoten eines Graphen unter der Vorgabe, dass benachbarte Knoten unterschiedlich gefärbt werden müssen. Hierzu wählen sie Farben aus einer vorgegebenen Farbenmenge C. Der beginnende Spieler L gewinnt, wenn der Graph vollständig gefärbt wird, andernfalls gewinnt R. a) Geben Sie einen Baum (= kreisfreien Graphen) an, auf dem R gewinnen kann, wenn nur 3 Farben zur Verfügung stehen. b) Geben Sie für eine möglichst niedrige Göße der Farbenmenge C eine Gewinnstrategie für L auf Bäumen an. Bemerkung: Die spielchromatische Zahl χg (G) ist definiert als die minimale Größe der Farbenmenge C, bei der L eine Gewinnstrategie auf dem Graphen G hat. Man kann zeigen, dass die spielchromatische Zahl eines Baums 4 ist. Da das allerdings nicht ganz so einfach ist, sollte der Beweis der Schranke 4 als “Sternchenaufgabe” verstanden werden. 2