Institut für Operations Research und mathematische Methoden der

Institut für Operations Research und mathematische Methoden
der Wirtschaftswissenschaften der Universität Zürich
Übungen zu Optimierungsmethoden
Serie 2
18.3.2010
FS 2010
1. Die Funktionen f, g : Rn → R seien definiert durch
f (x) = max {qj T x + rj },
1≤j≤k
g(x) = max {ti T x + si }
1≤i≤m
für gegebene Vektoren q1 , ..., qk , t1 , ..., tm ∈ Rn sowie Zahlen r1 , ..., rk , s1 , ..., sm ∈ R.
(a) Wie sieht eine Funktion der Form f für n = 1 graphisch aus?
(b) Begründen Sie mit Aussagen aus der Vorlesung, dass f und g konvex sind.
(c) Wie lässt sich das konvexe Optimierungsproblem min{f (x) | g(x) ≤ 0} in ein lineares
Problem der Form min{cT z | Az ≤ b} transformieren?
2. Seien f : R → R, f (x) = 1 − x und A := epi f = {(x, t) | t ≥ f (x)} (Epigraph von f ).
(i) Finden Sie einen Vektor u, so dass für ẑ = (x̂, t̂) = (0, 0)
hu, ẑi < hu, zi ∀z ∈ A
gilt, indem Sie die Projektion von ẑ auf A berechnen.
(ii) Man sagt, dass eine Hyperebene H(u, β) := {z | hu, zi = β} den Punkt ẑ streng von
A trennt, wenn
hu, ẑi < β < hu, zi ∀z ∈ A.
Bestimmen Sie für das Beispiel in (i) – mit dem dort ermittelten Ergebnis – eine
solche Hyperebene und machen Sie eine Zeichnung.
3. Finden Sie Beispiele für M ⊂ R2 bzw. A, B ⊂ R2 zur Illustration der Trennungssätze
1.1.4 und 1.1.5 im Skript derart, dass x ∈ M (aber x ∈
/ int M ) und A ∩ B 6= ∅ (aber
A ∩ int B = ∅) gilt.
4. Zeichnen Sie an die Niveaulinie {(x, y) | f (x, y) = 1} der konvexen (nicht-differenzierbaren)
Funktion
f (x, y) = |x| + |y|, (x, y) ∈ R2 ,
den Gradienten bzw. alle Subgradienten in den Punkten
(x1 , y1 ) = (− 21 , 21 ), (x2 , y2 ) = (1, 0) und (x3 , y3 ) = (0, −1)
ein.
5. (Übung 1.2.12, Aufgabe 1.) Sei f die Maximumnorm im Rn , d.h.,
f (x) = max1≤i≤n |xi |, x = (x1 , . . . , xn )T .
Zeigen Sie für n = 2 mit Hilfe geeigneter Rechenregeln aus dem Skript, dass (mit den
Einheitsvektoren ej )
∂f (0) = conv {e1 , . . . , en , −e1 , . . . , −en } .
Berechnen Sie auch f 0 (x; u) in x = 0 und ∂f (x) für x 6= 0.
Hinweis: Die Funktion f (x) muss als Maximum-Funktion von differenzierbaren Funktionen
umgeformt werden.
6. Die negative Logarithmus-Funktion − ln(·) ist bekanntlich auf (0, +∞) konvex. Zu zeigen
ist folgende Ungleichung des arithmetischen und geometrischen Mittels
m
X
i=1
λ i xi ≥
m
Y
xλi i
i=1
mit Hilfe von − ln, wobei x1 , x2 , . . . , xm > 0, λ1 , λ2 , . . . , λm ≥ 0 und
Hinweis: Für f (x) = − ln x gilt wegen der Konvexität von f
!
m
m
X
X
f
λ i xi ≤
λi f (xi ).
i=1
i=1
Pm
i=1 λi
= 1.