6. Übung Lineare Algebra II für M Lösungsvorschläge

6. Übung Lineare Algebra II für M
Lösungsvorschläge Gruppenübungen
(G12) Gegeben seien zwei Mengen von jeweils n Vektoren im R3 , welche eine (n4 )-PunktGeraden-Konguration in der projektiven Ebene in homogenen Koordinaten beschreiben.
a) Wie entscheiden Sie, welche der Mengen die Punkte, und welche die Geraden beschreibt?
b) Was müssen Sie prüfen, um sicher zu sein, dass tatsächlich eine (n4 )-Konguration
in der projektiven Ebene vorliegt? Geben Sie Anzahlen dazu an.
Hinweis: Stellen Sie eine Inzidenz-Matrix auf, die Punkte und Geraden in Beziehung setzt.
c) Gibt es eine (103 )-Konguration, die nicht mit der Desarguekonguration übereinstimmt?
a) Wir deuten die Problemstellung in der projektiven Ebene, d.h. Punkte sind 1-dimensionale und Geraden 2-dimensionale Unterräume des R3 . Da wir die Mengen aus
einer Punkt-Geraden-Konguration erhalten haben, stehen jeweils 4 Vektoren der
einen Menge mit einem Vektor aus der anderen Menge in Beziehung. Da beide Mengen durch Vektoren beschrieben werden, kann nun nicht zwischen Punkten und Geraden unterschieden werden. Es ist egal, welche Menge wir Punkte und welche wir
Geraden nennen. Die beiden Begrie sind polar dual zueinander. Man spricht von
der Polarität.
b) Haben wir p1 , . . . , pn Punkte und g1 , . . . , gn Geraden, so bestimmen wir eine Matrix
mit den Koezienten
mit i, j ∈ {1, . . . , n}.
aij := hpi , gj i
Ist aij = 0, so liegt pi auf der Geraden gj . Eine (n4 ) Konguration liegt nun genau
dann vor, wenn in jeder Zeile und in jeder Spalte dieser Matrix genau 4-mal der
Eintrag 0 steht.
c) Ja, es gibt weitere (103 )-Kongurationen. Zum Beispiel die Konguration [124]; [138];
[179]; [237]; [259]; [350]; [456]; [480]; [678]; [690] (kombinatorisch angegeben).
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Eine weitere (103 )-Konguration ist die folgende:
(G13)
Gegeben sei der 4-dimensionale Einheitswürfel {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : 0 ≤ xi ≤ 1}.
a) Schneiden Sie den Würfel mit der Hyperebene, welche durch den Normalenvektor
(1, 1, 1, 1)t beschrieben wird und durch den Mittelpunkt des Würfels verläuft. Welcher
Schnittkörper entsteht hierbei?
b) Verschieben Sie nun die Hyperebene parallel. Wie verändert sich der Schnittkörper?
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst den 3-dimensionalen Fall.
a) Im 3-dimensionalen erhalten wir als Schnittäche ein regelmässiges Sechseck.
Die Ecken des 4-dimensionalen Würfels bestehen gerade aus den 4-Tupel, welche nur
Einträge aus 0, 1 haben. Damit diese Punkte in der Hyperebene x1 + x2 + x3 + x4 = 2
liegen, müssen genau 2 Einträge 1 und genau 2 Einträge 0 sein. Dies ergibt die Punkte
(1, 1, 0, 0)
(1, 0, 0, 1)
(0, 1, 0, 1)
(1, 0, 1, 0)
(0, 1, 1, 0)
(0, 0, 1, 1).
Diese 6 Ecken bestimmen ein Oktaeder in der Hyperebene.
b) Im 3-dimensionalen erhalten wir ein regelmässiges Sechseck für den Fall, dass die
Hyperebene durch den Mittelpunkt geht. Verschieben wir die Hyperebene entlang
des Normalenvektors so wird aus dem regelmässigen Sechseck ein unregelmässiges,
in dem alternierend eine Seite immer länger und eine Seite immer kürzer wird.
Erreichen die kürzer werdenden Seiten Länge 0, so degeneriert das 6-Eck zu einem
Dreieck. Hier geht nun die Hyperebene durch die Eckpunkte die direkt mit der Ecke
(1, 1, 1) verbunden sind.
Verschieben wir die Hyperebene nun weiter, so werden die Seiten des Dreiecks immer
2
kürzer, bis das Dreieck zu einem Punkt degeneriert. Nun geht die Hyperebene durch
die Ecke (1, 1, 1).
Im 4-dimensionalen Fall beginnen wir damit, daÿ die Hyperebene nur einen Punkt
schneidet, nämlich den Punkt (1, 1, 1, 1)t . An diesem Punkt treen 4 Kanten und 4
dreidimensionale Seiten des 4 dimensionalen Würfels aufeinander. Verschieben wir
nun die Hyperebene, so schneidet sie aus jeder Seite (d.h. jedem 3 dimensionalen
Würfel) ein Dreick aus. Diese 4 Dreicke bilden nun ein Tetraeder, dessen Ecken auf
den Kanten des 4 dimensionalen Würfels liegen.
Verschieben wir nun die Hyperbene weiter, so wandern die Ecken des Tetraeders
entlang der Kanten des 4 dimensionalen Würfels, bis sie auf eine weitere Ecke des 4
dimensionalen Würfels treen.
An dieser Ecke treen sich wieder 4 Kanten, einmal die Kante, entlang welcher die
Ecke des Tetraeders verschoben wurde und drei neue. Verschieben wir nun die Hyperebene und damit das Tertraeder weiter, so splitten sich die Ecken des Tetraeders
entlang der drei neuen Kanten auf.
Es entsteht ein Tetraeder, welches an den Ecken abgeschnitten wurde, d.h. ein Körper mit 4 Dreiecken und 4 Sechsecken.
Verschieben wir erneut weiter, so degenerieren die Sechsecke zu Dreiecken, sodass
wir nun einen Körper haben, welcher aus 8 gleichseitigen Dreiecken besteht, das Oktaeder.
Verschieben wir noch weiter, so wird der Prozess rückwärts durchlaufen. Eine Animation hierzu ndet sich unter:
http://www.math.union.edu/∼ dpvc/art/obidos/tour/slice/slice-hcubes.html
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