Unendlichdimensionale Optimierung Übung 2

Technische Universität Chemnitz
Dr. G. Wachsmuth
Chemnitz, 3. November 2015
Besprechung am 9. November 2015
Unendlichdimensionale Optimierung
Übung 2
Aufgabe 5: Abschluss einer konvexen Menge ist konvex
Es sei X ein topologischer Vektorraum und C ⊂ X konvex. Zeigen Sie, dass dann auch
der Abschluss C̄ von C konvex ist.
Hinweis: x ∈ C̄ ⇔ ∀U ∈ τ, x ∈ U : U ∩ C 6= ∅
Aufgabe 6: Schwach-? abgeschlossene Mengen
Es sei X ein normierter linearer Raum und K ⊂ X. Zeigen Sie, dass die Polare
K ◦ := {x? ∈ X ? : hx, x? i ≤ 1 ∀x ∈ K}
und der Annihilator
K ⊥ := {x? ∈ X ? : hx, x? i = 0 ∀x ∈ K}
schwach-? abgeschlossen sind. Zeigen Sie, dass für es ein K ⊂ X gibt, sodass K ◦ die
Einheitskugel in X ? ist.
Aufgabe 7: Schwache Topologie in reflexiven Räumen
Es sei X ein reflexiver Banachraum und J : X → X ?? die kanonische Einbettung
in den Bidualraum. Zeigen Sie, dass O ⊂ X genau dann schwach offen ist, wenn
J(O) = {x?? ∈ X ?? : J −1 (x?? ) ∈ O} schwach-? offen ist. Das heißt, dass J : (X, τw ) →
(X ?? , τw∗ ) stetig ist und eine stetige Inverse hat.
Aufgabe 8: Funktion vs. Epigraph und Sublevelmenge
(a) Beweisen Sie Lemma 7.2.
(b) Es sei X ein Vektorraum. Zeigen Sie, dass f : X → R genau dann konvex ist, wenn
epi f konvex ist.
(c) Es sei X ein Vektorraum. Zeigen Sie, dass f : X → R genau dann quasi-konvex
ist, d. h.,
f λ x + (1 − λ) y ≤ max{f (x), f (y)}
∀x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1),
wenn für alle s ∈ R die Sublevelmenge Lf (s) konvex ist.
(d) Zeigen Sie, dass eine konvexe Funktion quasi-konvex ist.
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