Loesung Uebung 2

Übung zu Mikro II (WS 04/05)
Tri Vi Dang
Handout zu Übung 2 (Fehlende Lösungen)
Vorbemerkung 1:
Dieses Zusatz-Handout beinhaltet die Korrektur der Vorzeichenfehler bei einigen
Äquivalenzumformungen in Aufgabe 1 sowie die fehlenden Lösungen zu Aufgabe 2
(insbesondere in der B4 Übung).
Vorbemerkung 2:
Hinweise auf Fehler sind willkommen.
Keine Gewähr für die vollständige Richtigkeit der Ausführungen.
Aufgabe 1 (b)
Frage 5
Welche Beziehung gilt zwischen Preis, Elastizität und Menge im Gewinnmaximum, d.h. im
Punkt (pM,QM)?
Antwort 5
π (Q) = p (Q) ⋅ Q − C (Q)
 dC (Q)
dπ (Q)  dp (Q)
= 
⋅ Q + p (Q)  −
=0
dQ
dQ
dQ
14

442444
3
Pr oduktregel
Optimum gilt
 dp(Q)
 dC (Q)

⋅ Q + p(Q)  =
dQ
 dQ

⇔
 dp(Q)

p(Q)

⋅Q
+ p(Q)  = MC (Q)
p(Q)
 dQ

⇔
 dp (Q) Q

p(Q)
⋅
+ 1 = MC (Q)
 dQ p(Q) 
⇔
 1

p +1 = MC
ε

 Q

ε≡
1
dQ p
⋅
dp Q
Frage 6
Warum produziert ein Monopolist nicht im Bereich εQ∈(−1, 0).
Antwort 6
Optimalitätsbedingung kann nicht erfüllt werden.
 1

p +1 = MC
ε

 Q

Linke Seite<0 und rechte Seite≥0, denn keine negativen MC.
Intuition
Sei εQ=−1/10
Eine 1% (10%) Erhöhung des Preises reduziert die Nachfrage um 0.1% (1%) in dem Bereich.
Æ
Erlös steigt, weil Preiserhöhung die sinkende Nachfrage überkompensiert.
Æ
Kosten fallen, weil weniger produziert werden muss.
Æ
Gewinn steigt.
Zahlenbeispiel: (Preiserhöhung um 10%)
Erlös=pAlt⋅qAlt
ErlösNeu=pNeu⋅qNeu
pNeu=(1+0,1)⋅pAlt
qNeu =(1−0,01)⋅qAlt
ErlösNeu=1,1pAlt⋅0,99qAlt> ErlösAlt.
Aufgabe 1 (ci)
Frage 9
MC sei konstant und εQ=−2. Mit wieviel Prozent t müsste der Staat die MC des Monopolisten
subventioneiren, damit die wohlfahrtoptimale Menge erreicht wird?
2
Antwort 9
 1

p + 1 = MC ⋅ (1 − t )
ε

 Q

⇔
 1 
p − + 1 = MC ⋅ (1 − t )
 2 
⇔
1
p = (1 − t ) ⋅ MC
2
Für t=1/2 (50%) Æ
p=MC Æ sozial optimale Menge
Aufgabe 1 (d)
Frage 10
MC sei konstant. Die Nachfrage ist linear. Der Staat verlangt eine Mengensteuer von t=2. Um
wieviel steigt der Preis.
Antwort 10
Schritt 1 (Monopolpreis Ohne Steuer)
MR=a−2bQ MC=C
MR(Q)=MC(Q)
a − 2bQ = c
QM =
a−c
2b
p M = a − bQ M = a − b
a−c a+c
=
2b
2
Schritt 2 (Monopolpreis Mit Steuer)
MR=a−2bQ MC=C+t
a − 2bQ = c + t
M
QNeu
=
a −c −t
2b
3
M
M
p Neu
= a − bQNeu
= a −b
a −c −t a +c +t
=
2b
2
Schritt 3
Veränderung des Monopolpreises
M
p Neu
− PM =
a+c+t a+c t
−
=
2
2
2
Preis steigt um t/2 Eimheiten. Für t=1 folgt, dass der Preis um 1 Einheit steigt.
Aufgabe 2
Auf einem Markt gibt es n Taxiunternhemen mit identischer Kostenfunktion
C(q)=cq²+F
wobei, q die Anzahl der gefahrenen Kilometer bezeichnet. Die Nachfrage nach
Fahrkilometern wird beschrieben durch
A
p
wobei p den Preis je gefahrenen Kilometer angib.
Q( p) =
Bemerkung:
Die Frage 2 auf dem Aufgabenblatt sind (laut Musterlösung des Aufgabenblattstellers)
folgendermaßen zu konkretisieren und zu erweitern.
Von der Aufgabenstellung sollte man allerdings nicht unbedingt auf die nachfolgend zu
präsentierenden Lösungen kommen (müssen).
Aufgabe 2 (a)
Es herrscht vollkommener Wettbewerb. Wie groß muss der Parameter A sein, damit im
Gleichgewicht mindestens ein Unternehmen auf dem Markt existiert?
Lösungsweg (3 Schritte)
A. Bestimmung der Angebotsfunktion einer Firma
B. Bestimmung der Marktangebotsfunktion
C. Bestimmung des Marktgleichgewichts mit n Firmen
Frage 11 (Schritt A)
Wie sieht die Angebotsfunktion eines Unternehmens aus bei exogenem Preis?
4
Antwort 11
Schritt 1
Gewinnmaximale Menge q*
π = pq − cq ² − F
dπ
= p − 2cq = 0
dq
q * ( p) =
p
2c
Schritt 2
Ist der Gewinn bei q* positiv (bzw, ist das Gewinnmaximum positiv)?
2
p
 p
π (q*) = p − c  − F
2c  2c 
2
⇔
p
 p
p − c  − F ≥ 0
2c  2c 
⇔
p² p²
− −F ≥0
2c 4c
⇔
p²
≥F
4c
⇔
p ≥ 2 cF
Schritt 3
Angebotsfuntion einer Firma
0

q * ( p) =  p

 2c
falls p < 2 cF
falls p ≥ 2 cF
Frage 12
Wie sieht das Markt-GG mit n Firmen aus?
5
Antwort 12
Schritt B
Marktangebot
0

nq * ( p) ≡ Q ( p) =  np

 2c
falls p < 2 cF
S
falls p ≥ 2 cF
Marktnachfrage
Q D ( p) =
A
p
Schritt C
Marktgleichgewicht (p*,Q*) ist gegeben, falls gilt Q D ( p*) = Q S ( p*) = Q *
Q D ( p) = Q S ( p)
⇔
A np
=
p 2c
⇔
np ² = 2 Ac
⇔
p* =
⇔
Q* =
2 Ac
n
A
nA
=
2c
2 Ac
n
Bemerkung
Das Marktangebot>0 ist nur definiert für p ≥ 2 cF .
D.h. damit p* ein GG-Preis ist muss gelten
p* =
⇔
2 Ac
≥ 2 cF
n
2 Ac
≥ 4cF
n
6
4ncF
2c
⇔
A≥
⇔
A ≥ 2nF
Für A ≥ 2nF ist obige (p*,Q*) ein Markt-GG mit n Firmen (per Konstruktion).
Folgerung
Falls mindesten ein Unternehmen am Markt mit vollkommnen Wettbewerb existiert, muss
A ≥ 2F .
Bemerkung
Über die Annahme-Konstellation n=1 und vollkommener Wettbewerb kann man dikutieren.
(Sinn ??)
Aufgabe 2 (b)
Frage 14
Sei n=1. Sei Q* GG-Menge auf einem Markt mit vollkommenen Wettbewerb. Das
Unternehmen soll einen Preis in Höhe von MC(Q*) anbieten. Bis zu welchem Wert von A
wird das Unternehmen die Vorschritt befolgen?
Antwort 14
n=1.
Fall 1 (A≥2F)
Æ
p(Q)=MC(Q)
A
= 2cQ
Q
Æ
Q* =
Æ
p* =
A
2c
(oder einfach obige Formel für n=1 benutzen)
A
= 2 Ac
Q*
Unternehmen wird Vorschrift einhalten und Q* zum Preis p* anbieten, wenn
π ( p*, Q *) = p * ⋅Q * −c(Q *)² − F ≥0
7
⇔
π ( p*, Q *) = 2 Ac ⋅
⇔
π ( p*, Q *) = A −
A
A
−c −F
2c
2c
A
A
− F = − F ≥0.
2
2
Das ist der Fall für A≥2F.
Fall 2
Falls A<2F, dann macht das Unternehmen einen Verlust, falls es Q* Einheiten zum Preis von
p*=MC(Q*) anbietet.
Frage 15 (Intuition)
Woher kommt der (potentielle) Gewinn her, obwohl Preis=MC(Q*) gilt?
Antwort 15
Aus dem Verkauf der “ersten“ Einheiten, die zu MC<Preis hergestellt werden können.
Graphik
Preis
D
MC
AC
Menge
Gewinn =PS−F bzw. (P−AC)⋅Q
Zusatzfragen laut Musterlösung.
Sei A<2F. Wie klein darf A sein, damit dass Unternhmen verlustfrei noch etwas produziert?
(Das Unternhmen soll den kleinstmöglichen Preis wählen.)
Antwort
π = pQ − cQ ² − F = 0
8
π=
A
Q − cQ ² − F = 0
Q
A − cQ ² − F = 0
cQ ² = A − F
A− F
c
Q=
Es gibt somit zwei Fälle
Fall (a) :
F<A<2F
A− F
c
Q=
p=
A
=
Q
A
c
=A
A− F
A− F
c
D
Preis
MC
AC
Menge
Æ Preis=AC
Fall (b) :
Preis
A<F Æ
Q=0
D
MC
AC
Menge
9
Die AC-Kurve liegt strikt über der Nachfragekurve.
AC(Q)>P(Q) ∀Q.
Æ
Gewinn<0.
Preis als Funktion von A
kein Angebot

c

p( A) =  A
A− F

2 Ac

falls A < F
falls F < A < 2F
falls A ≥ 2F
(Preis = Stückkosten)
(Preis = MC)
Preis
2 2 Fc
F
2F
A
Bemerkung
Normalerweise diskutiert man Fälle, wo der Monopolist den Gewinn maximiert. Dann
stellt sich die Frage, ob die Monopolrente die Fixkosten deckt.
Aber hier wurden zwei außergewöhnliche Fälle diskutiert. (Revelanz ?? und Sinn??)
Aufgabe (2c)
Sei A<2F. Welcher Vorschlag ist für den Staat billiger? (i) Erstattung von F und
Preis=MC(Q*) oder (ii) Preis gleich Minimum der Durchschnittskosten und Ersttaung der
Verluste.
Bemerkung:
Diskussion zwei weiterer außergewöhnlicher Fälle. (Sinn??)
10
Frage 16 (Bemerkung zum Vorschalg (i))
Der Staat gibt dem Unternehmen einen Betrag F. Warum erwirtschaftet das Unternehmen
einen Gewinn in Höhe von A/2 bei Vorschlag (i)?
Antwort 16
Gewinn ohne Subvention
π ( p*, Q*)) = A −
A
A
− F = − F <0.
2
2
Gewinn mit Subvention
F+
A
A
−F =
2
2
Frage 17 (Zum Vorschlag (ii))
Unternehmen soll Preis gleich minimalen Durchschnittskosten setzen. Wie hoch sind die
minimalen Durchschnitsskosten?
Lösungsweg (3 Schritte)
Schritt A: Bestimmung minimaler AC.
Schritt B: Bestimmung der Nachfrage bei min. AC.
Schritt C: Bestimmung des Gewinns (Verlust).
Antwort 17 (Schritt A)
Preis=AC(Q)Min
AC (Q) =
C (Q) cQ ² F
F
=
+ = cQ +
Q
Q Q
Q
Min von AC
dAC (Q)
F
=c−
=0
dQ
Q²
F
c
⇔
Qmin AC =
⇔
AC (Qmin AC ) = c
F
F
+
= cF + cF = 2 cF
c
F
c
11
Frage 18 (Schritt B)
Wie viel wird bei Preis =minimalen Durchschnittskosten nachgefagt?
Antwort 18
Q D ( p) =
A
p
Für p = AC min = 2 cF folgt
QD =
A
2 cF
Frage 19 (Schritt C)
Wie hoch ist der Gewinn (Verlust) des Unternehmens bei dieser Nachfrage und zu diesem
Preis?
Antwort 19
  A 2

A
− c ⋅
π = pQ − C (Q) = 2 cF ⋅
 +F

2 cF   2 cF 



⇔
π = A − c⋅
⇔
π = A−
A²

+F
4cF

A²
−F <0
4F
Begründung für Gewinn<0
Da A<2F, folgt
A−
A²
− F < 0 , denn selbst bei A=2F gilt
4F
2F −
4F ²
−F =0
4F
Falls A kleiner wird, dann fällt der Gewinn (weiter),da
dπ
A
= 1−
>0
dA
2F
(für 0≤A<2F)
12
Frage 20
Ist Vorschlag (i) Erstattung von F oder Vorschlag (ii) Erstattung der tatsächlich entstandenen
Verluste billiger aus Sicht des Staates?
Antwort 20
Kosten von (i) F
Kosten von (ii) A −
F > A−
A²
−F
4F
A²
−F
4F
A²
4F
⇔
2F > A −
⇔
2F − A > −
A²
4F
Per Annahme gilt 2F>A.
Æ
Rechte Seite ist positiv und linke Seite ist nicht positiv.
Frage 21 (Bemerkung)
Warum ist trivialerweise der Vorschlag (i) immer teurer als Vorschalg (ii)?
Antwort 21
F ist der maximal mögliche Verlust.
Somit gilt trivialerweise, dass jede andere Verlustkompensationsregel billiger ist als von
vornherein den maximalen Verlust F zu zahlen und dem Unternehmen einen Gewinn
anzubieten.
Aufgabe (2d)
Welcher Vorschlag maximiert die Wohlfahrt?
Frage 22
Warum kann die Frage (ohne weitere Einschränkungen) nicht beantwortet werden?
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Antwort 22
Egal welche Menge produziert wird, die KS (und somit auch die Wohlfahrt) ist bei jeder
positiven Menge gleich ∞.
In der KS taucht der Term −ln 0 auf (Stammfunktion von 1/x ist ln x.)
Æ
Zwei unendlich grosse Zahlen kann man nicht ordnen.
Zusatzannahme
Es exitiere ein maximaler Preis, zu dem noch etwas nachgefragt wird (KS endlich).
Vorschlag (i) Preis=MC(Q*) induziert effiziente Menge Q*
Vorschlag (ii) Preis=ACMin induziert in der Regel nicht die effiziente Menge Q*
Æ
Vorschlag (i) ist besser.
Bemerkung
Beide Vorschläge sind suboptimal.
Frage 23 (Bemerkung)
Wenn ein Monopolitst reguliert werden soll. Ist die folgende Vorschrift : Preis=MC(Q*) und
Kompensation von A/2−F nicht besser als die Vorschriften (i) und (ii)?
Antwort 23
Die obige Vorschrift induziert effiziente Menge Q* und ist billiger als (i) und (ii)
Kompensation von (ii) A −
A−
A²
−F
4F
A²
A
−F > −F
4F
2
⇔
A A²
>
2 4F
⇔
2F > A .
14