Äquivalenztheoreme des Prädikatekalküls (eine Auswahl)

Äquivalenztheoreme des Prädikatenkalküls (eine Auswahl)
a)
b)
Elimination der Quantoren für endliche Individuenbereiche I = {a1, a2, ..., an}
n
(1)
∀ H(x)
äq
H(a1) ∧ H(a2) ∧ … ∧ H(an) = Λ H(ai)
i =1
n
(2)
∃ H(x)
äq
H(a1) ∨ H(a2) ∨ … ∨ H(an) = V H(ai)
i =1
Verneinung quantifizierter Ausdrücke
(3)
(4)
c)
¬ ∀ (x) H(x) äq
¬ ∃ (x) H(x) äq
e)
f)
Bemerkung: für endliches I
de MORGANsche Regeln
Distributitvität der Quantifizierung
(5)
∀ x (H1(x) ∧ H2(x))
äq
∀ x H1(x) ∧ ∀ x H2(x)
(6)
∃ x (H1(x) ∨ H2(x))
äq
∃ x H1(x) ∨ ∃ x H2(x)
Bemerkung:
d)
∃ x | ¬ H(x)
∀ x | ¬ H(x)
∀ x (H1(x) ∨ H2(x))
⇒
∀ x H1(x) ∨ ∀ x H2(x) allgemeingültig
⇒
∃ x H1(x) ∧ ∃ x H2(x) allgemeingültig
∃ x (H1(x) ∧ H2(x))
die mit „⇐“ formulierten Ausdrücke allerdings nicht
Quantorenverschiebung
(x komme nicht in H1, aber vollfrei in H2 vor)
(7)
∀ x (H1 ∧ H2(x))
äq
H1 ∧ ∀ x H2(x)
(8)
∀ x (H1 ∨ H2(x))
äq
H1 ∨ ∀ x H2(x)
(9)
∃ x (H1 ∧ H2(x))
äq
H1 ∧ ∃ x H2(x)
(10)
∃ x (H1 ∨ H2(x))
äq
H1 ∨ ∃ x H2(x)
Quantorenbegrenzung oder –expansion (x komme nicht H2 in, aber vollfrei in H1 vor)
(11)
∀ x (H1(x) ∧ H2)
äq
∀ x H1(x) ∧ H2
(12)
∀ x (H1(x) ∨ H2)
äq
∀ x H1(x) ∨ H2
(13)
∃ x (H1(x) ∧ H2)
äq
∃ x H1(x) ∧ H2
(14)
∃ x (H1(x) ∨ H2)
äq
∃ x H1(x) ∨ H2
Quantorenvertauschung
(15)
∀ x ∀ y H(x,y)
äq
∀ y ∀ x H(x,y)
(16)
∃ x ∃ y H(x,y)
äq
∃ y ∃ x H(x,y)
⇒
⇒
∀ y ∃ x H(x,y) allgemeingültig
∃ x ∀ y H(x,y) nicht allgemeingültig
Bemerkung:
∃ x ∀ y H(x,y)
∀ y ∃ x H(x,y)
Beispiel für die Verneinung eines P-Ausdruckes
B = [{c}, {f1}, {N1, K2}]
H = ∀ y [Kcy ⇒ ∃ x (Nx ∧ ∀ z ((Nz ∧ ¬Kzx) ⇒ K fzy))]
I:
ωI:
Bereich der reellen Zahlen
ωI (c) = 0
ωI (f)(ξ) =
|aξ| ∈ I
ωI (N)(ξ) = w ⇔ ξ ∈ I ist natürliche Zahl
ωI (K)(ξ,η) = w ⇔ ξ < η
Bemerkung:
Beschreibung des Begriffes der Nullfolge, also
a1, a2, ... ist Nullfolge
ϕω (H) = w ⇔
I
H
¬H
äq ∀ y [¬Kcy ∨ ∃ x (Nx ∧ ∀ z ((¬Nz ∨ Kzx ∨ K fzy))]
äq ∃ y [Kcy ∧ ∀ x (¬Nx ∨ ∃ z ((Nz ∧ ¬Kzx ∧ ¬K fzy))]
Bemerkung:
Es gibt ein y | y > 0 und für alle natürlichen Zahlen x eine natürliche
Zahl z, mit z ≥ x und |az| ≥ y
Einfache Gestalt im mehrsortigen PK
H = ∀ ε ∃ η ∀ ρ (¬K(ρ,η) ⇒ K(f(ρ),ε))
¬H = ∃ ε ∀ η ∃ ρ (¬K(ρ,η) ∧ ¬K(f(ρ),ε))
Beispiel für die Entwicklung einer Normalfom im PK
B = [{ },{ }, {P1,Q1, R2}]
H = ∃x (Px ∧∃y (Qy ∧Rxy)) ⇒ ∃y (Qy ∧∃x (Px ∧Rxy))
H2
H1
H1 äq
∃x∃y (Px ∧Qy ∧Rxy)
(Quantorenverschiebung und –vertauschung, Kommutativgesetz)
also insbesondere : H allgemeingültig bzw. H2 Konsequenz aus H1
spezielle Wahl von ωI: I
I Bereich der Menschen
I Trägermenge eines Ringes
ωI (P)(ξ) = w ⇔ ξ ist männlich
ωI (P)(ξ) = w ⇔ ξ ≠ 0
ωI (Q)(ξ) = w ⇔ ξ ∈ I (Allatribut)
ωI (Q)(ξ) = w ⇔ ξ ≠ 0
ωI (R)(ξ,η) = w ⇔ η Nachkomme von
ωI (Q)(ξ) = w ⇔ η.ξ = 0
ϕωI (H1 ) = w ⇔ „Es gibt einen Vater.“
ϕωI (H1 ) = w ⇔„Es existiert ein Linksnullteiler.“
ϕωI (H2 ) = w ⇔ „Es gibt eine Kind.“
ϕωI (H2 ) = w ⇔ „Es existiert ein Rechtsnullteiler.“
ϕωI (H) = w ⇔ „Wenn es einen Vater
ϕωI (H) = w ⇔ „Wenn es einen Linksnullteiler
gibt, so gibt es auch ein
gibt, so gibt es auch einen Rechtsein Kind.“ (und umgekehrt)
nullteiler.“ (und umgekehrt)
(beides stets wahr)