Lösungen der 3. Serie 2 )1( 321 +⋅ =+ +++ nn n K

Lösungen der 3. Serie
Kl. 5 - 2014 / 2015
Aufgabe 1: (4 Punkte)
a) 111 − 11 = 100
b) 3 • 33 + 3 ÷ 3 = 100
c) 5 • (5 + 5 + 5 + 5) = 5 • 5 • 5 − 5 • 5 = 5 • 5 • (5 − 5 ÷ 5) = 100
d) 9 • 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 98 + 7 − 6 + 5 − 4 + 3 − 2 − 1 = 98 − 7 − 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100
(z. B.)
Aufgabe 2: (6 Punkte)
a) Insgesamt sind 66 Spiele auszutragen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Anzahl günstig zu ermitteln:
1. Variante: Man überlegt sich, dass jeder der 12 Schüler gegen jeden anderen, also 11 andere Schüler, je einmal spielt.
So käme man auf 12 · 11 = 132 Spiele. Allerdings hat man dabei jedes Spiel doppelt gezählt (z. B. Spieler A gegen B ist ja
dasselbe Spiel wie B gegen A). Deshalb muss diese Anzahl noch halbiert werden, und man erhält die richtige Anzahl: 66.
2. Variante: Spieler 1 muss gegen 11 Gegner antreten. Spieler 2 außer seinem Spiel gegen Spieler 1 (dieses Spiel wird nicht
noch einmal gezählt) noch gegen 10 weitere Gegner. Spieler 3 noch gegen 9 weitere usw. - Spieler 11 dann nur noch gegen
Spieler 12. Also 11 + 10 + 9 + … + 2 + 1 = 66. Diese Summe der ersten 11 natürlichen Zahlen kann man schnell mit Hilfe
der Gaußschen Summenformel (* s. u.) berechnen: (11 · 12) : 2 = 66, oder allgemein: n · (n + 1) : 2.
b) Nachdem 54 Spiele ausgetragen waren, waren noch 12 Partien offen. Das heißt, jedes Kind hatte noch zweimal anzutreten.
(Man beachte, dass in 6 Partien alle 12 Schüler einmal antreten.)
Aufgabe 3: (7 Punkte)
Jede Karte wird genauso oft umgedreht, wie ihre Nummer Teiler hat. Damit die Karte am Ende aufgedeckt daliegt (also mit der
Rückseite nach unten), muss sie eine ungerade Anzahl von Umdrehungen erlebt haben, also eine ungerade Anzahl von Teilern
besitzen. Die Zahlen mit einer ungeraden Anzahl von Teilern sind aber gerade die Quadratzahlen.
Begründung: Alle Nicht-Quadratzahlen haben eine gerade Anzahl von Teilern, weil es in ihrer Teilermenge zu jedem Teiler
einen Co-Teiler gibt, so dass deren Produkt die Zahl ergibt. Bei den Quadratzahlen gibt es jedoch genau einen Teiler, der sich
selbst als Co-Teiler hat, nämlich die Wurzel der Quadratzahl. Damit ist bei Quadratzahlen die Teileranzahl ungerade.
Gesucht ist also die Anzahl der Quadratzahlen bis 2015. Wegen 442 = 1936 < 2015 < 2025 = 452 sind das genau die
Quadratzahlen der Zahlen von 1 bis 44, also liegen am Ende genau 44 Karten aufgedeckt da.
Aufgabe 4: (7 Punkte)
a) Da sich die gesuchte Fläche vollständig mit „T“-Fliesen füllen lässt, muss die Anzahl der
enthaltenen kleinen Quadrate durch 4 teilbar sein. Genauso folgt aus der Tatsache, dass man
die Fläche vollständig mit „L“-Fliesen auslegen kann, dass die Anzahl der Quadrate ein
Vielfaches von 5 sein muss. Zusammen folgt daher, dass die Fläche mindestens
kgV (4; 5) = 20 Quadrate groß sein muss.
b) Ein Beispiel für eine solche Fläche mit genau 20 Einheitsquadraten ist in der Abbildung
angegeben.
(*) zu Aufgabe 2:
Vom jungen Carl Friedrich Gauß (1777-1855) wird folgende Anekdote berichtet:
Der Lehrer wollte im Unterricht einmal seine Ruhe haben und stellte seiner Klasse deshalb die Aufgabe, die (natürlichen) Zahlen
von 1 bis 100 zu addieren. Die Schüler machten sich auch eifrig ans Werk. Nur der junge Gauß meldete sich schon nach kurzer
Zeit und konnte dem Lehrer die richtige Lösung sagen. Wie war er so schnell darauf gekommen?
Gauß hatte sich überlegt: Er schrieb die Zahlen von 1 bis 50 (gedanklich)
1
2
3
…
49
50
nebeneinander, darunter die Zahlen von 51 bis 100 in umgekehrter
100
99
98
…
52
51
Reihenfolge. Er erkannte, dass so die Summe der untereinander stehenden
--------------------------------------------------------Zahlen jeweils die Summe 101 ergab.
101
101
101
…
101
101
Wie viele Paare sind das nun? Ganz einfach - genau 50 (sie sind ja in der
ersten Zeile durchnummeriert).
Also gilt: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 50 · 101 = (100 · 101) : 2 = 5050 .
Oder allgemein:
1+ 2 + 3 + K + n =
n ⋅ (n + 1)
2
(Gaußsche Summenformel zur Berechnung der Summe der ersten n natürlichen Zahlen)