10. Nichtlineare Schwingungen und Chaos

Anwengunsübungen FS2013
10. Nichtlineare Schwingungen und Chaos
Jens Sesseg
1 Einführung
In dieser Aufgabe soll das unten dargestellte System mit der Formel y 00 (x) + ay 0 (x) + y 3 (x) = bcos(ωx) beschrieben
werden.
2 Theorie
Obwohl die in dieser Aufgabe behandelten Schwingungsgleichung nicht linear ist, soll die Theorie hier einfachheitshalber nur lineare Differentialgleichungen berücksichtigen.
2.1 Harmonische Schwingung
Die Harmonische Schwingung ist die Einfachste der Schwingungstypen. Sie ist periodisch, nicht gedämpft, nicht
erzwungen, linear und hat nur einen Freiheitsgrad. Die Bewegungsgleichung hat die Form von x00 + ω 2 x = 0 und
lässt sich analytisch auflösen auf die Allgemeine Lösung x(t) = A · sin(ωt) + B · cos(ωt).
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2.2 Gedämpfte Schwingung
Jede makroskopische Schwingung verliert Energie an Reibung. Somit nimmt die Amplitude der Schwingung immer
weiter ab. Wie schnell dies erfolgt wird durch einen Dämpfungsfaktor beschrieben. Die Bewegungsgleichung ist von
der Form mx00 (t) + dx0 (t) + kx(t) = 0. Bei der gedämpften Schwingung wird zwischen drei Fällen unterschieden.
d2
Der Schwingfall tritt ein, wenn 4m
< k ist und beschreibt ein wenig gedämpftes System welches eine ausgeprägte
Schwingung hat. Die Bewegung wird dann durch die Formel des Typs x(t) = x0 · e−dt (A · sin(ωt) + B · cos(ωt)).
Diese Form kommt zustande, da die Lösungen der charakteristischen Gleichung eine negative Zahl unter der Wurzel
d2
haben und somit konjugiert komplexe Zahlen sind. Im Spezialfall dass 4m
= k ist, tritt der aperiodische Fall ein.
In diesem Fall sind beide Lösungen der charakteristischen Gleichung gleich. Die Gleichung dieses Falls hat desshalb
die Form x(t) = A · e−dt + t · e−dt . Der letzte Fall, der Kriechfall, tritt ein wenn der Dämpfungsfaktor sehr gross
ist und führt dazu dass die Schwingung vollständig unter der Dämpfung verschwindet. Dieser Fall ist von der Form
x(t) = A · eλ1 t + B · eλ2 t .
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2.3 Erzwungene Schwingung
Eine freie, ungedämpfte Schwingung, also eine, die durch eine homogene DGL beschrieben werden kann und keine
erste Ableitung in der Formel hat, geht in den Gleichgewichtszustand indem es die Schwingungsperiode an die
Eigenfrequenz anpasst. Wenn ein äusserer Faktor die Schwingung stört, in diesem Fall ein Schwungrad, wird die
Eigenfrequenz nur erreicht, wenn die Störung ebenfalls mit der Eigenfrequenz schwingt. Wenn die Störung eine
andere Periode hat, wird die Schwingungsperiode von der Störung bestimmt.
3 Aufgaben
a)
Nach der vorhergehenden Theorie, lassen sich die einzelnen Terme der Gleichung y 00 (x) + ay 0 (x) + y 3 (x) = b · cos(ωx)
leicht zuordnen.
Der erste Term, y 00 (x) beschreibt die Beschleunigung der bewegten Masse, wurde in diesem Fall aber ohne Vorfaktor
geschrieben. A ist der Dämpfungsfaktor. Dies lässt sich daran erkennen, dass er von der Geschwindigkeit abhängt
von dem auch jegliche Reibung abhängt. Der Term y 3 (x) beschreibt die Federstärke. B beschreibt die Einflussstärke
des Störterms b · cos(ωx), welcher in diesem Fall eine Cosinus Schwingung eines Rads mit dem Radius b beschreibt.
Die Drehgeschwindigkeit des Rads wird durch ω beschrieben.
b)
Bei bestimmten Zahlenwerten für die Variabeln a,b und c haben schon kleinste Unterschiede bei den Randbedingungen
einen grossen Einfluss auf die Form des Graphen. Wiederum können die Werte auch so gewählt werden, dass der
Graph trotz Änderungen der Randbedingungen recht stabil bleibt. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn ω sehr gross
oder sehr klein gewählt wird. Wenn ω sehr klein ist fällt der Störterm praktisch weg und das System kann sich
stabilisieren. Wenn ω sehr gross ist, wird die Schwingung praktisch nur noch vom Störterm bestimmt. Dasselbe
gilt auch für die Variable b, welche die Amplitude der Störung bestimmt. Wenn a sehr gross gewählt wird, dann
wird jegliche Schwingung so stark abgedämpft, dass die vorhergehende Bewegung kaum noch Einfluss hat und die
Schwingung wird, je grösser a, desto mehr nur von der momentanen Ausrichtung des Schwungrads bestimmt.
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References
[1] www.de.wikipedia.org/wiki/Schwingung, 21.5.2012
[2] www.de.wikipedia.org/wiki/Erzwungene_Schwingung, 21.5.2012
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