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Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9
Diskrete und stetige Zufallsgrößen
Biostatistik BMT
Prof. Dr.B.Grabowski
Diskrete Zufallsgrößen
Zu Aufgabe 1
Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung:
ai
pi
0
1/10
1
2/10
2
3/10
3
1/10
4
1/10
5
1/10
6
1/10
>6
0
Ein Ausfall des Servers verursacht Kosten. Fällt der Server 1 mal aus, so kostet das 5000 Euro,
genauso müssen bei 2 maligem Ausfall 5000 Euro bezahlt werden. Bei 3 und 4 maligem Ausfall sind
es bereits jeweils 10000 Euro und bei mehr als 4 maligem Ausfall im Monat verursachen die
Reparaturen 20000 Euro Kosten.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Server mehr als 1 mal ausfällt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Server, der bereits 1 mal ausgefallen ist,
mindestens ein weiteres mal ausfällt?
c) Wie groß ist sind die erwarteten Reparaturkosten im Jahr ?
Lösung:
Sei Y=zufällige Reparaturkosten pro Jahr. Die Verteilungstabelle von Y ist:
ai
pi
0
1/10
5000
2/10
5000
3/10
10000
1/10
10000
1/10
20000
1/10
20000
1/10
Zu a) P(X>1) = 1- P(X≤ 1) = 1- P(X=0)-P(X=1) = 1 – 3/10 =0,7
Zu b) P(X ≥2 /X ≥ 1) =
P( X ≥ 2 ∩ X ≥ 1) P( X ≥ 2) 1 − P( X < 2) 0,7 7
=
=
=
=
P( X ≥ 1)
P( X ≥ 1) 1 − P( X < 1) 0,9 9
Zu c)
Die erwarteten Reparaturkosten pro Jahr sind:
1
2
3
1
1
1
1
EY = 0 ⋅ + 5000 ⋅ + 5000 ⋅ + 10000 ⋅ + 10000 ⋅ + 20000 ⋅ + 20000 ⋅
10
10
10
10
10
10
10
= 8500 Euro
Zu Aufgabe 2
Die zufällige Übertragungszeit von Nachrichten in einer Übertragungseinrichtung sei
diskret gleichverteilt auf der Menge {3,4,5,6,7} Sekunden.
Wie groß ist die erwartete Übertragungszeit?
Lösung:
Es gilt P(X=i) = 1/5 für i=3,4,5,6,7.
Daraus folgt:
7
EX = ∑ i ⋅
i =3
1 25
=
= 5 Sekunden
5 5
1
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Zu Aufgabe 3
Sei X eine zweipunkt-verteilte Zufallsgröße:
1
X =
0
p 
.
(1 − p )
Berechnen Sie EX und Var(X) !
Lösung:
Es gilt
EX = 1 ⋅ p + 0 ⋅ (1 − p ) = p .
Var ( x) = (1 − p ) ⋅ p + (0 − p ) ⋅ (1 − p ) = p (1 − p )
Zu Aufgabe 4
Ein Würfel wird geworfen. Sei X die Zufallsgröße, welche die doppelte Augenzahl angibt,
und Y die Zufallsgröße, welche die Werte 1 oder 3 annimmt, je nachdem, ob eine ungerade
oder gerade Zahl erscheint. Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und
die Varianz von
a) X
b)Y
Lösung :
Zu a)
Verteilung von X :
i
2
pi=P(X=i)
1/6
4
1/6
6
1/6
8
1/6
EX = (2+4+6+8+10+12)/6 = 7
1 6
70 35
Var(X) = ∑ (2i − 7) 2 =
=
6 i =1
6
3
Zu b)
Verteilung von Y :
i
1
pi=P(Y=i)
1/2
3
1/2
EY = 1⋅1/2 + 3⋅1/2 =2
1
1
Var(X) = (1 − 2) 2 + (1 − 3) 2 = 2,5
2
2
2
10
1/6
12
1/6
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Zu Aufgabe 5
Ein Spieler wirft zwei Münzen und gewinnt 5 € bei zweimal Wappen, 2 € bei genau einmal
Wappen und 1 €, falls kein Wappen erscheint. Bei welchem Einsatz ist das Spiel
fair, d.h. bei welchem Einsatz ist der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz?
Lösung:
Sei X der zufällige Gewinn pro Spiel.
X ist wie folgt verteilt:
k
pk=P(X=k)
5Euro
1/4
2Euro
1/2
1Euro
1/4
Daraus folgt für den erwarteten Gewinn:
EX = 5/4 + 2(1/2) + 1/4 =2,5Euro.
D.h. wenn der Einsatz 2,5 Euro beträgt, ist das Spiel fair.
Stetige Zufallsgrößen
Zu Aufgabe 6
Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an und begründen Sie Ihre Antwort!
Lösung:
Nr. 2 (Fläche unter der Dichte ist >1) und 4. (Dichten dürfen nicht negativ sein).
Zu Aufgabe 7
Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an und begründen Sie Ihre Antwort!
3
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Lösung:
1) (nicht mon. wachsend), 2) F(x) >=1, 3) F(x) ist negativ 5) nicht monoton wachsend.
Zu Aufgabe 8
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F und der Dichtefunktion f.
Stellen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten grafisch als Fläche unter der Dichtefunktion f dar:
F(b) , 1- P(X>a), 1-F(a), P(a≤ X≤ b), P(|X – a|< b).
Lösung:
4
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Zu Aufgabe 10
Eine stetige Zufallsgröße X die nur Werte im Intervall [a,b] annehmen kann und die
 1


für
x ∈ [a, b]
Dichtefunktion f ( x) =  b − a
.


0
sonst
besitzt, heißt auf [a,b]stetig gleichverteilt.
a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion von X!
b) Zeigen Sie, dass bei einer auf [a,b] gleichverteilten Zufallsgröße alle Teilintervalle in [a,b]
gleicher Länge d die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen! Berechnen Sie diese!
c) Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an!
d) Berechnen Sie EX und Var(X)!
e) Wie groß ist das 90%-Quantil von X?
Lösung:
Zu a) und c)
 0
x − a
F ( x) = 
b − a
 1
falls
x<0 

falls 0 ≤ x ≤ 1
falls
x > 1 
Zu b)
u+h
u
h
−
=
b−a b−a b−a
D.h., die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X in einem Intervall [u,u+h] liegt, hängt nicht von
der Lage (durch u gegeben) des Intervalls, sondern nur von der Breite h ab!
P(u ≤ X ≤ u + h) = F (u + h) − F (u ) =
Zu d)
5
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b
∞
1
a+b
EX = ∫ xf ( x)dx =
xdx =
∫
b−a a
2
−∞
∞
VarX = ∫ ( x − EX ) 2 f ( x)dx =
−∞
1
(b − a) 2
2
(
x
−
EX
)
dx
=
b − a ∫a
12
b
Zu e) Wir suchen das x mit F(x)=0,9.
x−a
= 0,9 ⇔ x = (b − a )0,9 + a = 0,1a + 0,9b
b−a
Zu Aufgabe 11
F ( x) = 0,9 ⇔
Die zufällige Zeit T (Stunden), die bis zum Abbau einer bestimmten Droge (z.B. ein Glas
Wein, 0.1 cl) im menschlichen Blut vergeht, sei exponentialverteilt mit dem Parameter α=1/2,
d.h., sie ist durch folgende Dichtefunktion charakterisiert:
0,
falls x < 0,
x
f(x) =
1 −2
e , falls x ≥ 0
2
{
a)
b)
c)
d)
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(x)!
Berechnen Sie die erwartete Abbauzeit EX und die Varianz Var(X).
In wieviel Prozent aller Fälle dauert der Abbau länger als 2 Stunden?
Welche Abbauzeit überschreiten höchstens 10 % aller Personen?
e) In wieviel % aller Fälle, in denen die Abbauzeit bereits 1 Stunde überschreitet,
überschreitet sie auch 2 Stunden?
Lösung:
Zu a)
 0
x

−
2
F ( x) = 1 − e


falls
falls
x < 0

x ≥ 0


Zu b)
∞
EX =
∞
∫ xf ( x)dx =
−∞
x
1 −2
e xdx = 2
2 ∫0
∞
∞
x
−
1
VarX = ∫ ( x − EX ) f ( x)dx = ∫ ( x − EX ) 2 e 2 dx = 4
20
−∞
2
Zu c) P ( X > 2) = 1 − F (2) = e −1 ≈ 0,37 = 37%
Zu d) Gesucht ist t mit P( X > t ) = 0,1 .
6
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Es ist
P( X > t ) = 0,1 ⇔ 1 − F (t ) = 0,1 ⇔ e
−
t
2
= 0,1 ⇔ −
t
= ln(0,1) ⇔ t = −2 ln(0,1) ≈ 4,61 Stunden
2
Zu e)
1
−
P( X > 2 ∩ X > 1) P( X > 2) 1 − F (2) e −1
1
=
=
= 1 =e 2 =
≈ 0,61 = 61%
P( X > 2 / X > 1) =
−
P( X > 1)
P( X > 1) 1 − F (1)
e
e 2
Zu Aufgabe 12
Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion
FX (x) =
{
0, falls x < 2,
(x 2 / 4 - x + 1), falls 2 ≤ x < 4,
1, falls x ≥ 4.
a) Berechnen Sie die Dichtefunktion fX (x)!
b) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion in ein
Koordinatensystem!
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 < X < 3 gilt?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X> 3 , wenn man weiß, dass X > 2 . 5
ist?
Lösung:
1
 x −1
Zu a) f ( x) = F ' ( x) =  2
 0
für

2 ≤ x ≤ 4


sonst
Zub)
Zuc) P(2 < X < 3)=F(3)-F(2) =
1
4
7
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Diskrete und stetige Zufallsgrößen
Zu d) P ( X > 3 / X > 2,5) =
1 − F (3)
= 0,8
1 − F (2,5)
8
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