Arbeitsbogen Folgen und Grenzwerte

MATHEMATIK
TELEKOLLEG MULTIMEDIAL
Arbeitsbogen 1 - 3
F OLGEN UND GRENZWER TE
Autor: W. Fraunholz, J. Dillinger
© 2005 by TR-Verlagsunion GmbH, München
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Name
Straße
Ort
Kolleggruppe
Bitte verwenden Sie zur Lösung der Aufgaben gesonderte Blätter (kariertes Papier). Schreiben
Sie darauf Ihren Namen, Ihre Anschrift und die Kolleggruppe. Geben Sie vor jeder Antwort die
Aufgaben-Nummer bzw. Aufgaben-Teilnummer an (z.B. zu 2. a), zu 4. c) u.Ä.).
1.
Wie groß ist die Differenz d einer arithmetischen Folge mit a1 = 0,5 und a22 = 6,8 ?
2.
Das wievielte Glied einer geometrischen Folge mit
a1 = 2 und q = 1,5 ist an = 15,1875 ?
3.
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Monotonie (steigend oder fallend).
Führen Sie gegebenenfalls den Beweis für die Monotonie.
a) n →
3 n2 – 1
n + 1
2
b) n → ( n – 2 ) – 5
4.
Wie groß ist die Summe aller dreistelligen natürlichen Zahlen,
die durch 6 teilbar sind?
5.
Bestimmen Sie die Anzahl der Glieder einer geometrischen Reihe,
für die a1 = 1 , q = 0,5
6.
und
sn = 1,9375
ist.
a) Bestimmen Sie für die Folge n → 1 + 5 n
n
n > S gilt:
1 + 5n
–5
n
eine Zahl S so, dass für alle
< 0,0005 .
b) Zeigen Sie mithilfe der Grenzwertdefinition, dass die Folge von a) gegen 5
konvergiert.
Seite 1
7.
Ein Betrieb, der Halbzeuge herstellt, will in die Produktion von Stahlrohren einsteigen. Die Entwicklungsabteilung erhält vom Management den Auftrag, Rohre in
sechs verschiedenen Größen anzufertigen. Der Außendurchmesser des kleinsten
Rohres soll 20 mm betragen, der Außendurchmesser des größten Rohres soll
200 mm betragen.
a) Geben Sie die Außendurchmesser der sechs Rohre an, wenn eine arithmetische
Stufung gewählt wird.
b) Geben Sie die Außendurchmesser der sechs Rohre an, wenn eine geometrische
Stufung gewählt wird.
c) Geben Sie den prozentuellen Zuwachs der Rohre bei der arithmetischen Stufung
und bei der geometrischen Stufung an.
d) Rohre mit 200 mm Außendurchmesser haben eine Wandstärke von 6 mm.
Berechnen Sie die Masse m eines 6 Meter langen Stahlrohres, wenn ein dm3
Stahl eine Masse von 7,85 kg hat.
Seite 2
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Arbeitsbogen 4 - 5
F OLGEN UND GRENZWER TE
Autoren: W. Fraunholz, F. Weber, J. Dillinger
© 2005 by TR-Verlagsunion GmbH, München
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Name
Straße
Ort
Kolleggruppe
Bitte verwenden Sie zur Lösung der Aufgaben gesonderte Blätter (kariertes Papier). Schreiben
Sie darauf Ihren Namen, Ihre Anschrift und die Kolleggruppe. Geben Sie vor jeder Antwort die
Aufgaben-Nummer bzw. Aufgaben-Teilnummer an (z.B. zu 2. a), zu 4. c) u.Ä.).
1.
Entscheiden Sie, welche der folgenden Folgen einen Grenzwert besitzt und welche
nicht. Begründen Sie Ihre Aussage.
a) n →
5 n2 – 1
n3 + 1
b) n →
c) n → (
n
1
· 2)
5
d) n → cos ( n ·
e)
2.
1
· 2n
5
π
3
)
1 1
3
1
7
1
15
,
,
,
,
,
,
, …
2 4
4
8
8
16 16
Bestimmen Sie mithilfe der Grenzwertsätze die folgenden Grenzwerte, sofern sie
existieren.
n – 1
n3
a) lim (
1
1
+ 2)
n
n
b) lim
c) lim
3 n2
n3 – n 2
d) lim ( 0,2 · ( – 2 ) )
n→∞
n→∞
1
1
e) lim [ ( 2 + n ) ( 1 – n ) ]
n→∞
n→∞
n
n→∞
f) lim (
n→∞
5n – 2 2
)
n
Seite 3
3.
5n – 1
Zeigen Sie, dass die Folge n →
3n + 1
Wie heißt der Grenzwert?
4.
Geben Sie ein Beispiel für eine Folge an, die konvergent, aber nicht monoton ist.
5.
Eine Hofeinfahrt soll durch ein zweiflügeliges Gitter verschlossen werden.
Das Gitter soll aus Metallstäben bestehen, deren größter Stab eine Höhe von
3 Meter hat und jeder folgende Stab nur noch 90% des vorherigen Stabes haben
soll (siehe Skizze).
monoton und beschränkt ist.
a) Wie viele Stäbe müssten pro Flügel verwendet werden, wenn der kürzeste Stab
mindestens eine Höhe von 1,5 Meter haben soll?
b) Es sollen je Flügel 10 Stäbe verwendet werden. Berechnen Sie die Höhe des
10. Stabes.
c) Berechnen Sie die Gesamthöhe der Stäbe, wenn je Flügel 10 Stäbe verwendet
werden.
d) Welche Höhe für die Stäbe würde sich für einen Flügel ergeben, wenn „unendlich viele“ Stäbe verwendet würden, so dass die Höhe des kleinstes Stabes gegen
Null geht?
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