Übungen zur Vorlesung Übungsblatt 07 GESCHICHTE DER

Prof.Dr. W.Koepf
Dr. T.Sprenger
Übungen zur Vorlesung
GESCHICHTE DER ANALYSIS
Übungsblatt 07
29.05.2012
Aufgabe 1 (Tangentenbestimmung nach Barrow)
(a) Bestimmen Sie mit der Methode von Barrow die Tangentensteigung der Zissoide
y 2 (α − x) − x 3 = 0,
wobei α ∈ R+ gilt.
(b) Zeichnen Sie die Zissoide für α = 5 und bestimmen Sie die Tangentensteigungen an der
Stelle 4.
(4 Punkte)
Aufgabe 2 (Logarithmen)
(a) Seien a, b ∈ R+ mit a ≤ b und es gelte a · b > 1. Zeigen Sie die Gleichung
L(ab) = L(a) + L(b)
für
Z
a−1
L(a) =
0
1
dx =
x +1
Z
1
a
1
dt
t
mittels Integralrechnung.
(b) Die Tonhöhe eines Tons wird durch seine Frequenz angegeben, welche in Schwingungen pro
Sekunde (Hz) gemessen wird. Hierbei entsprechen wahrgenommene Tonhöhenunterschiede
(Intervalle) festen Frequenzverhältnissen. Das Frequenzverhältnis 21 wird als Oktave wahrgenommen. Der Kammerton A hat 440 Hz und das nächst höhere A hat also die Frequenz
880 Hz. Hierzulande üblich ist eine Tonleiter aus 12 Tönen. Seit Johann Sebastian Bach
stimmt man Tasteninstrumente wohltemperiert“, das heisst, das Frequenzverhältnis c
”
zweier√aufeinanderfolgender Halbtöne ist immer gleich. Für c gilt also c 12 = 2 und folglich
c = 12 2.
Verwenden
Sie lediglich die Kenntnis, dass log10 2 = 0.3010299957 (ohne Berechnung von
√
12
2) und die umseitige Logarithmentafel zur Basis 10, um die wohltemperierten Frequenzen
der Zwischentöne zu bestimmen.
Ton:
Hz:
A
440
B
H
C
Cis
D
Dis
E
F
Fis
G
Gis
A
880
(6 Punkte)
Abgabetermin: Dienstag, 05.06.2012, 08.15 Uhr in der Übung.
Beispiel: Um mit Hilfe der Logarithmentafel das x zu bestimmen, welches die Gleichung
log10 x = 0.1055
erfüllt, betrachten Sie zunächst die erste Spalte hinter der mit N gekennzeichneten Spalte. Es treten Zahlen von 00 bis 30
auf. Aus dieser Spalte suchen Sie die Zahl 10 (die beiden ersten Nachkommastellen). Danach suchen Sie die Zahl innerhalb
des Bereiches von 10, welche der Zahl 55 (der dritten und vierten Nachkommastelle) am nächsten kommt. In diesem Fall
existiert ein Eintrag mit 55. Nun hängen Sie die dem ausgewählten Eintrag (55) entsprechende Zahl der Kopfzeile (5) an
die Zahl der Leitspalte (127) an und erhalten so die Lösung
x ≈ 1.275