¨Ubungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen

M. Felsinger / M. Rang
Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2012
Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen
Blatt III vom 20. April 2012
Abgabe bis Freitag, 27.04.12, 12 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors (V3-128)
Aufgabe III.1 (10 Punkte)
Bestimmen Sie jeweils alle x ∈ R, sodass die in der Gleichung auftretenden Ausdrücke
definiert sind. Bestimmen Sie dann die Lösungen der Gleichungen.
√
15x − 40 + 3x = 8.
√
√
b) 4 x + 1 − x − 1 = 0.
a)
d) 2 ln(2x − 2) = ln x + ln(5x − 11).
5x−7
3x−17
= 23
.
e) 32
c) 2 ln(3x − 3) = 1.
Hinweis: Beachten Sie bei der Behandlung derartiger Gleichungen folgendes Beispiel: Aus der
Gleichung 3x = 6 ergibt sich durch Quadrieren 9x2 = 36. Diese Gleichung besitzt nun die
beiden Lösungen x1 = 2 und x2 = −2, jedoch ist nur x1 = 2 Lösung der ursprünglichen
Gleichung. Quadrieren einer Gleichung ist also keine Äquivalenzumformung. Beim Quadrieren
geht jedoch keine Lösung verloren; man muss nur durch Einsetzen ermitteln, ob die Lösungen der
Hilfsgleichung auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. Natürlich tritt dieses Problem
nicht nur beim Quadrieren auf.
Aufgabe III.2 (1+1+2 Punkte)
Die Infektionskrankheit Cholera wird durch das Bakterium Vibrio cholerae, das meist
durch verunreinigtes Wasser verbreitet wird, hervorgerufen. In einem Experiment wird
eine Kolonie von 500 solcher Bakterien in eine Nährlösung gebracht. Bereits 2 Stunden
später sind es 32.000 Bakterien. Es wird davon ausgegangen, dass die Bakterien in diesem
Stadium exponentiell wachsen.
a) Bestimmen Sie die Wachstumsfunktion, falls vereinbart wird, dass die Zeit in Stunden angegeben wird.
b) Bestimmen Sie die Wachstumsfunktion, falls vereinbart wird, dass die Zeit in Minuten angegeben wird.
c) Wieviele Bakterien sind nach 30min vorhanden? Welche Zeitspanne vergeht, bis
70.000 Bakterien vorhanden sind?
Aufgabe III.3 (2 Punkte)
Die Zerfallsrate des radioaktiven Isotops
Jahre−1 . Ermitteln Sie die Halbwertszeit.
238 U
(Uran 238) beträgt etwa 1, 551 · 10−10
Aufgabe 4 auf der nächsten Seite.
Aufgabe III.4 (2+2 Punkte)
Die sog. Radiokarbonmethode funktioniert nach dem folgenden Prinzip:
In der Atmosphäre ist das Verhältnis zwischen dem radioaktiven Isotop 14 C und dem stabilen Isotop 12 C seit Jahrtausenden konstant.1 Organismen nehmen 14 C auf und dadurch
stellt sich in diesen Organismen das gleiche Verhältnis zwischen den beiden Isotopen ein
wie in der Atmosphäre. Stirbt der Organismus nun ab, dann nimmt er kein weiteres 14 C
mehr auf, und das bereits im Organismus befindliche zerfällt nach und nach. Ab diesem
Zeitpunkt ändert sich also im Organismus das Verhältnis von 14 C zu 12 C.
Weiterhin ist bekannt, dass
14 C
eine Halbwertszeit von ca. 5.730 Jahren besitzt.
a) Bestimmen Sie die Zerfallsrate beim radioaktiven Zerfall von
14 C.
(t in Jahren)
b) Im Jahr 1991 wurde in den Ötztaler Alpen Ötzi“ gefunden. Proben ergaben, dass
”
das Verhältnis von 14 C zu 12 C in der Mumie noch 65% des Anteils betrug, der in
lebendem Gewebe vorhanden ist. In welchem Jahr starb Ötzi?
1
Das radioaktive
neues.
14
C zerfällt zwar, aber andererseits entsteht durch die Sonneneinstrahlung dauernd
2